组合(谢)(2课时)

1、 组组 合合 第二课时第二课时 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素 的所有排列的个数称为的所有排列的个数称为从从n个不同元素个不同元素 中中 取出取出m个元素的排列数，记为个元素的排列数，记为 m n A 定义定义1： 定义定义2 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素 的所有组合的个数称为的所有组合的个数称为从从n个不同元素个不同元素 中中 取出取出m个元素的组合数，记为个元素的组合数，记为 m n C ! ()! n n m 1.如何判断一个从如何判断一个从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn)个元素的问题是排列问题还是个元素的问题是

2、排列问题还是 组合问题？组合问题？ 2.排列数公式：排列数公式： m n A (1)(2)(1)n nnn m 有序则是排列，无序则是组合有序则是排列，无序则是组合. mmm nnm ACA（先取再排）（先取再排） ! !()! m n n C m nm 两公式间的关系两公式间的关系 3.组合数公式：组合数公式： (1) mn m nn CC 11 1 (2) mmm nnn CCC 取法数取法数剩法数剩法数= 下同上大下同上大1，下加，下加1上取大上取大 4.组合数公式性质：组合数公式性质： 例例1 . 计算：计算： 972 100100 33117 13122 44444 456715 (

3、1) (2) (3) nnn nnn CC CCC CCCCC 12 (4) 2!3!(1)! n n + + L 1 1 (1)!n - + 例例2.解关于解关于n的方程：的方程： 3 88 322 11 (1) (2)3 n nnn CC CCC 1 89 (3)34 nn AA - = 组组 合合 第第3课时课时 例例1 1 从某从某6 6名学生中选取名学生中选取4 4人分别担任人分别担任 四种不同职务的班干部，由于某种原因，四种不同职务的班干部，由于某种原因， 甲、乙两人不同时入选，求共有多少种甲、乙两人不同时入选，求共有多少种 不同的分工方案不同的分工方案. . 216 练习练习 从

4、从5 5名学生中选出名学生中选出4 4人，分别参人，分别参 加数学、物理、化学、生物四个学科竞加数学、物理、化学、生物四个学科竞 赛，每个学科各一人，其中甲不参加物赛，每个学科各一人，其中甲不参加物 理和化学两个竞赛，求共有多少种不同理和化学两个竞赛，求共有多少种不同 的参赛方案的参赛方案. . 72 例例2：有：有5名男运动员，名男运动员，4名女运动员，其名女运动员，其 中男女队长各一名，从中选中男女队长各一名，从中选5名运动员组名运动员组 成一个运动队，下列情况下各有多少种成一个运动队，下列情况下各有多少种 不同选法？不同选法？ 1.男队长必须当选；男队长必须当选；“选选” 2.某运动员不

5、能当选某运动员不能当选;“不选不选” 3.恰有两名女队员；恰有两名女队员；“恰有恰有” 4.至多有两名女队员；至多有两名女队员； 6.既要有女队员，也要有队长既要有女队员，也要有队长. 5.至少有一名女队员；至少有一名女队员；“至少有至少有” 分类，转化为恰有分类，转化为恰有或间接法或间接法 例例3. 3名女生，名女生，3名男生，名男生，1名老师站成名老师站成 一排照相，下列情况下各有多少种一排照相，下列情况下各有多少种 不同的站法？不同的站法？ 1.老师站老师站在在 ；“在在”正中间正中间两端两端 2.老师老师不在不在两端两端； “ “不在不在” 法法1：特元优先法；：特元优先法； 法法2：

6、特位优先法；：特位优先法；法法3：间接法：间接法. 3.男生甲不站左端，女生乙不站右端；男生甲不站左端，女生乙不站右端； 4.男女生要分别连排在一起；男女生要分别连排在一起； 相邻问题相邻问题方法：捆绑法方法：捆绑法 将大小不同的将大小不同的5 5个红球和个红球和2 2个白球摆成个白球摆成 一排，要求两端都是红球，其最小的红一排，要求两端都是红球，其最小的红 球与最小的白球必须相邻，求共有多少球与最小的白球必须相邻，求共有多少 种不同的摆放方法种不同的摆放方法. . 242114 442244 768AAAAAA鬃+鬃= 6115 6555 ACC A+= 5.三名女生要互不相邻；三名女生要互

7、不相邻； 不相邻问题不相邻问题 方法：方法：插空法插空法 6.女生从左往右由高到矮女生从左往右由高到矮(身高不等身高不等). 用完数字用完数字1、2、3组成五位数，组成五位数， 有多少个？有多少个？ 例例4 4 从从5 5张分别写有数字张分别写有数字0 0，2 2，4 4，6 6， 8 8的卡片中，任取的卡片中，任取3 3张组成无重复数字的张组成无重复数字的 三位数，其中写有三位数，其中写有6 6的卡片也可以作的卡片也可以作9 9使使 用，求一共可以组成多少个不同的三位用，求一共可以组成多少个不同的三位 偶数偶数. . 12211 44433 69AAAAA + = 0、2、4、6、8 12

8、44 AA 0、2、4、9、8且必选且必选9 9在百位在百位 2 4 A9在十位在十位 11 33 AA 作业：作业： 1、三个女生和五个男生排成一排，、三个女生和五个男生排成一排， 1）女生全排在一起，有多少种排法？）女生全排在一起，有多少种排法？ 2）女生互不相邻，有多少种排法？）女生互不相邻，有多少种排法？ 3）女生不站两端，有多少种排法？）女生不站两端，有多少种排法？ 4）女生甲排在乙的前面，有多少种）女生甲排在乙的前面，有多少种 排法？排法？ 6.既要有女队员，也要有队长既要有女队员，也要有队长. 练习：练习： 在在100100件产品中有件产品中有9898件合格品，件合格品， 2 2

9、件次品，从这件次品，从这100100件产品中任意抽取件产品中任意抽取3 3件件. . （1 1）抽出的）抽出的3 3件中恰有件中恰有1 1件是次品的抽法件是次品的抽法 有多少种？有多少种？ （2 2）抽出的）抽出的3 3件至少有件至少有1 1件是次品的抽法件是次品的抽法 有多少种？有多少种？ 5.至少有一名女队员；至少有一名女队员；“至少有至少有” 分类，转化为恰有分类，转化为恰有或间接法或间接法 14 48 CC 尝试练习尝试练习 1 . 1 .一位教练的足球队共有一位教练的足球队共有1717名初级学名初级学 员，他们中以前没有一人参加过比赛，员，他们中以前没有一人参加过比赛， 按照足球比赛

10、规则，比赛时一个足球队按照足球比赛规则，比赛时一个足球队 的上场队员是的上场队员是1111人，问：人，问： （1 1）这位教练从这）这位教练从这1717名学员中可以形成名学员中可以形成 多少种学员上场方案？多少种学员上场方案？ （2 2）如果在选出）如果在选出1111名上场队员时，还要名上场队员时，还要 确定其中的守门员，那么教练员有多少确定其中的守门员，那么教练员有多少 种方式做这件事？种方式做这件事？ 11 17 12376C= 111110 17111716 136136CCCC= 2 2 平面内有平面内有1010个不同的点，以其中每个不同的点，以其中每 两个点为端点的线段共有多少条？以

11、其两个点为端点的线段共有多少条？以其 中每两个点为端点的有向线段共有多少中每两个点为端点的有向线段共有多少 条？条？ 2 10 45C= 2 10 90A= 例例2.2.BAC的的AB边上有边上有5 5个点，个点，AC边上边上 有有4 4个点，连同点个点，连同点A共共1010个点，求由这个点，求由这1010 个点一共可构成多少个不同的三角形？个点一共可构成多少个不同的三角形？ 9090 A B C 练习练习1. 平面内有平面内有10个点，除个点，除A、B、C、 D四点共线外，再无任三点共线，过其中四点共线外，再无任三点共线，过其中 两点连直线，可连多少条？两点连直线，可连多少条？ 例例3.过正

12、方体的过正方体的8个顶点中的任两个连个顶点中的任两个连 直线，这些直线中有多少对异面直线？直线，这些直线中有多少对异面直线？ 练习练习2.从三棱锥从三棱锥S-ABC的顶点及各条棱的的顶点及各条棱的 中点中任选四点，这四点不共面的选法有中点中任选四点，这四点不共面的选法有 多少种？多少种？ 3.有有11名学生，名学生，5人只会唱歌，人只会唱歌，4人只会跳人只会跳 舞，另舞，另2人既会唱歌也会跳舞，现从这人既会唱歌也会跳舞，现从这11 名学生中选出名学生中选出4人去参加唱歌比赛，人去参加唱歌比赛，4人人 去参加跳舞比赛，共有多少种不同选法？去参加跳舞比赛，共有多少种不同选法？ 4. 从五双不同鞋子

13、中选从五双不同鞋子中选4只鞋子，其中恰只鞋子，其中恰 有两只是同一双的不同选法有多少种？有两只是同一双的不同选法有多少种？ 5. 从从1、2、3、20中选两个数，其和中选两个数，其和 能被能被3整除的选法有多少种？整除的选法有多少种？ 6.一层楼梯共一层楼梯共12级，每次可上一级或两级级，每次可上一级或两级 有多少种不同的上楼梯的方法？有多少种不同的上楼梯的方法？ 7.如图从如图从A处沿图中的路径到处沿图中的路径到B(只能向右只能向右 或向下或向下)，共有多少种不同的走法？，共有多少种不同的走法？ B A 例例4. 将将10个相同小球放入编号为个相同小球放入编号为1、2、 3的盒子内，下列情况

14、各有多少放法？的盒子内，下列情况各有多少放法？ （1）每个盒子不空；）每个盒子不空； （2）每个盒子中的球数不少于盒子的编）每个盒子中的球数不少于盒子的编 号数；号数； （3）随意放）随意放. 隔板法隔板法 排列组合排列组合 的综合应用的综合应用 例例1. 从从0、1、2、3、4、5、6中选中选5个数个数 组成没有重复数字的五位数，满足下列条组成没有重复数字的五位数，满足下列条 件的五位数各有多少个？件的五位数各有多少个？ 3.各个数位上的数字之和是偶数；各个数位上的数字之和是偶数； 2.能被能被25整除；整除； 1.是偶数是偶数 练习练习: : 由由0 0到到9 9这这1010个数字组成六位

15、数，个数字组成六位数， 要求其中恰有三个数位上的数字是要求其中恰有三个数位上的数字是5 5，其，其 它无重复数字，求这样的六位数共有多它无重复数字，求这样的六位数共有多 少个？少个？ 21233 85586 +9520C A AC A 先选再排先选再排 例例2 2 某某4 4个男生和个男生和3 3个女生站成一排个女生站成一排 照相，其中有且只有两个女生相邻的站照相，其中有且只有两个女生相邻的站 法共有多少种？法共有多少种？ 4222 4352 2880NA C A A= 例例3 3 从从6 6名短跑运动员中选名短跑运动员中选4 4人参加人参加 4 4100100m接力赛，如果甲不能跑第一棒，接

16、力赛，如果甲不能跑第一棒， 乙不能跑第四棒，求共有多少种不同的乙不能跑第四棒，求共有多少种不同的 参赛方案？参赛方案？ 411323112 423443224 ()252NAC A AC AC C A=+= 例例4 4 将将6 6本不同的书按下列要求分发，本不同的书按下列要求分发， 求各有多少种不同的方法：求各有多少种不同的方法： （1 1）按）按1 1，2 2，3 3的本数分成的本数分成3 3组；组； （2 2）按）按1 1，2 2，3 3的本数分发给的本数分发给3 3个人；个人； （3 3）平均分发给）平均分发给3 3个人；个人； （4 4）平均分成）平均分成3 3组；组； （5 5）按）

17、按1 1，1 1，4 4的本数分成的本数分成3 3组；组； （6 6）按）按1 1，1 1，4 4的本数分发给的本数分发给3 3个人个人. . 6060 360360 9090 1515 1515 9090 练习练习1 1 将将4 4个不同的小球放入个不同的小球放入4 4个不同个不同 的盒子里，求在下列条件下各有多少种的盒子里，求在下列条件下各有多少种 不同的放法不同的放法. . （1 1）恰有一个盒子里放）恰有一个盒子里放2 2个球；个球； （2 2）恰有两个盒子是空盒）恰有两个盒子是空盒. . 23 43 1144NC A=（ ） 3222 4444 1 284 2 NC AC A=+=（

18、 ） 2 2 将将3 3名医生和名医生和6 6名护士分配到名护士分配到3 3所学校所学校 为学生体检，每所学校去为学生体检，每所学校去1 1名医生和名医生和2 2名名 护士，求共有多少种不同的分配方案？护士，求共有多少种不同的分配方案？ 540540 例例5 5 从某从某4 4名男生和名男生和5 5名女生中任选名女生中任选5 5人人 参加三项不同的实践活动，要求男生甲参加三项不同的实践活动，要求男生甲 和女生乙不同时入选，每项活动至少一和女生乙不同时入选，每项活动至少一 人，求共有多少种不同的选派方法法？人，求共有多少种不同的选派方法法？ 例例6 6 将将8 8名工程技术人员平均分到甲、名工程技术人员平均分到甲、 乙两个企业作技术指导，其中某乙两个企业作技术指导，其中