财政收入预测问题1

1、 财政收入预测问题摘要本文针对财政收入预测问题，建立了回归分析模型、灰色预测模型、阻滞增长模型，并对其模型进行了误差分析，解决了2010-2014年财政收入预测问题。模型一：为了预测2010年至2014年的财政收入问题，建立了回归分析模型，首先， 画出财政收入与各个因素的残差图，对残差图进行分析，将波动较大的点剔除；其次，将财政收入与各个因素的数据分别进行拟合，判断出财政收入与各个因素之间为线性关系；再次，利用剔除后的数据进行拟合得出财政收入与各个因素之间的关系式：最后，将各个因素的数据与时间进行拟合，得出其指数关系并将其带入到以上关系式，预测出未来五年的财政收入，其预测结果如下：年份2010

2、2011201220132014财政收入（亿元）85189102274122759147314176742模型二：为了预测2010年至2014年的财政收入问题，建立了灰色预测模型，首先，选择2005年到2009年的各个因素的值进行处理，进行紧邻均值计算，求出发展灰数和内生控制灰数，从而以求时间响应式，得出不同因素的预测值；其次，将后五年不同因素的预测值代入模型一的关系式（财政收入与各个影响因素的关系式），预测后五年各个因素及财政收入的值如下表所示：年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入（亿元）201040417418370241165

3、134159237917858280201147148321023246624134845286161104340201255000124059352807135534344188126673201364159527533959810136226413982153602201474844231510367742136922497928186041模型三：首先，根据全世界经济情况可知，国家经济从低水平到向高度发达国家经济变化的过程中，财政收入的增加将逐渐趋于0，由此可知国家财政收入的增长符合型增长曲线，采用型曲线对影响国民收入的各因素进行拟合，以求得20010-2014年的各个因素的预测值；其次

4、，结合模型一，得到财政收入的预测值如下：年份20102011201220132014财政收入（亿元）70844789068706795206103211最后，把各影响因素与时间的指数表达式，带入到模型一得出的财政收入关系式中，得其财政收入为型增长曲线，以此求出我国在2048年进入发达国家，届时各个因素及财政收入值如下表：年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入（亿元）2048102307447143158146146071341079185800模型四：结合模型一、模型二、模型三得出的结果进行误差分析，最终得到模型二，灰色预测模型较好。

5、1.摘要写得不错！2。模型四没有做好，3。附录没有处理好4。整体相对不错！关键词：回归分析 灰色预测 阻滞增长 财政收入 误差分析 MATLAB1问题重述1.1已知信息财政收入由国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等因素有关。1978-2009年的原始数据已给定（见附录A）。1.2问题提出问题一：构造回归预测模型并由此预测后五年的财政收入；问题二：构造灰色预测模型，预测出后五年各因素的预测值并带入问题一财政收的预测模型预测后五年的财政收入；问题三：构造阻滞增长模型，预测出后五年各因素的预测值并带入问题一财政收入的预测模型预测后五年的财政收入，并估计我国何年成为经济发达国家，届

6、时我国的各项因素值与财政收入值为多少；问题四：用相对误差和绝对误差相结合的办法对问题一、问题二、问题三进行误差分析，并将问题一、问题二、问题三的财政预测结果进行比较分析,说明哪个结果更合理，并说明原因。2模型假设与符号说明2.1模型假设 1.财政收入受多方面因素的影响，波动较大的数据可以进行剔除； 2.后五年无重大的因素，影响财政收入。3.题中所给数据来自权威部门公布，真实可信。2.2符号说明 ：国民收入（元）； ：工业总产值（亿元）； ：农业总产值（亿元）；：总人口（万人）；：固定资产投资（亿元）；：年份的排序序号（1-37）；：财政收入（亿元）；：发展灰数；：内生控制灰数；3问题分析3.1

7、问题一的分析 要求出后五年的财政收入就必须要知道各个因素与财政收入的数学关系 。=相关关系 首先，根据已知数据（见附录A）利用MATLAB作出财政收入与各个因素之间的残差图，对残差图进行分析将波动较大数据视为不符合回归模型的点将之剔除； 其次，利用剔除后的数据，画出各个因素和财政收入之间的散点图，根据散点图进行拟合，求出财政收入与各个因素之间的数学关系；利用此关系对各个因素和财政收入进行整体拟合，求出其表达式。 最后，画出各因素和时间的散点图，根据散点图进行拟合求出其表达式，将关系式代入整体拟合的关系式，用含有时间的表达式替换整体拟合关系式里的各因素，求出时间和财政收入的关系式。3.1更改后的

8、问题一分析首先，根据已知数据（见附录A）利用MATLAB作出财政收入与各个因素之间的残差图，对残差图进行分析将波动较大数据视为不符合回归模型的点将之剔除，作出财政收入与各个因素之间的散点图，根据散点图及相关数据进行初步拟合，以求其相关关系。其次，根据财政收入与各个因素之间相关关系，设出财政收入与其影响因素之间的回归方程，再依据附录A数据进行拟合，以求出其相关系数。再次，求出判定系数以及误差，进行拟合度的判断。然后，进行假设，检验与之间的关系。最后，根据求得的回归方程对2010-2014年的财政收入进行预测。 3.2问题二的分析首先，对附录A每个影响财政收入的因素进行数据处理（后五年），作累加，

9、进行紧邻均值计算，以求出发展灰数和内生控制灰数，从而以求时间响应式。其次，利用时间响应式以求出各个年份的不同影响因素的预测值。最后，将后五年不同因素的预测值代入问题一得出的关系式（财政收入与各个影响因素的关系式），预测后五年财政的财政收入。 3.3问题三的分析首先，根据全世界经济情况可知，国家经济从低水平到向高度发达国家经济变化的过程中，财政收入的增加将逐渐趋于0，由此可知国家财政收入的增长符合型增长曲线，采用型曲线对影响国民收入的各因素进行拟合，以求得20010-2014年的各个因素的预测值。其次，结合问题一财政收入的预测模型，对财政收入进行预测。最后，利用所求的各因素曲线表达式，结合问题一

10、财政收入预测模型，预测我国何时进入发达国家。3.4问题四的分析 结合前三个问题的误差分析，将问题一预测的财政收入与问题二，问题三的预测结果进行比较，以求哪个模型的预测结果更具有合理性。4模型的建立与求解4.1模型一的建立与求解首先，根据题意，用给定的19978-2009年的原始数据（见附录A），利用MATLAB编程作出残差图（程序见附录B）如下：图1 财政收入与各个因素的残差图由残差分析可得2009、2008、2007、2002、2001的数据为异常数据，导致财政收入有较大的波动，因此将异常数据剔除。利用剩下的各个因素的数据与财政收入数据用MATLAB编程画出散点图如下（程序见附录C）：图2

11、剔除数据后财政收入与各个因素的散点图由图可见财政收入与各因素之间类似线性关系，为进一步确认其关系，分别进行线性拟合（见附录D）得其线性相关系数依次为0.9777，0.9777，0.8923，0.5417，0.9967，可见除第四个线性关系较弱外，其余线性关系较强。可用线性关系进行整体拟合。其次，利用剔除后的数据运用MATLAB编程进行整体线性拟合(程序见附录E)，得到财政收入与各个因素的数学关系为： （1）再次，根据题意运用MATLAB编程画出时间与各个因素的散点图如下(程序见附录F)：图3 时间与各个因素的散点图由图可见各因素与时间之间类似指数关系，为进一步确认其关系，分别进行拟合(见附录G

12、)，得其相关系数依次为0.992，0.988，0.979，0.972，0.989，确定其为指数关系。设利用回归的方法算出与的方程，需将其转化成线性关系求解，分别对两边取对数即得到与之间的线性回归关系：利用编程（见附录H）即可求得，且相关系数比较接近于1，说明回归平方和占总变差平方和的比例较大，回归直线与各观测点较接近，拟合程度较高。进而得到 (2)同理可得： (3) (4) (5) (6)最后，先将2010年到2014年的序号33、34、35、36、37依次分别代入(2)、(3)、(4)、(5)、(6)得到后五年的各个因素的值（见表一）。表一 后五年的各个因素的值年份国民收入（亿元）工业总产值

13、(亿元)农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）201037662417790041439138552201390201151144824255352051141634293901201259600328321958336143200355044201369453833070365380144784428908201480936238614873275146386518138再将表二中的数据代入（1）式，得出后五年的财政收入如表二：表二 2010-2014年财政收入年份20102011201220132014财政收入（亿元）85189102274122759147314176742

14、误差分析=格式没有处理好！用（2）（3）（4）（5）（6）式得出不同影响因素的预测值，然后与其真实值比较求的相对误差如表（见附录M）,由表可知，大部分相对误差不超过1%，且最大误差不超过3%，说明不同影响财政收入的因素与时间的关系拟合较好。将1978-2009年的各个因素的值带入（1）式得到一组模型求解所得值与真实值的比较得出两者的相对误差（如表三）表三 真实财政收入与模型求解所得值的误差年份真实财政收入（亿元）模型求解所得值（亿元）相对误差（%）年份真实财政收入（亿元）模型求解所得值（亿元）相对误差（%）1978113212529.5819945218600813.1519791146118

15、93.621995624263581.821980116011862.19199674087124-3.991981117612606.67199786518422-2.721982121212936.2619989876100181.42198313671332-2.6319991144411374-0.62198416431469-11.8420001339513246-1.12198520051773-13.0920011638615401-6.40198621221929-10.0120021890418171-4.03198721992098-4.81200321715220291.

16、4319882357273613.8520042639626087-1.18198926652452-8.69200531649319200.85199029372399-22.4320063876038535-0.58199131492941-7.0720075132247943-7.051992348337878.0320086133057808-6.0919934349496712.44200968477709563.49 由表可知误差百分比最大为-22.43%，且误差在10%-20%间的有7年，虽不同影响财政收入的因素与时间的关系拟合较好，但对财政收入拟合较差，可见回归模型效果不是很好

17、，有待改进。 4.2模型二的建立与求解 首先，通过对附录A的后五年数据（每个影响财政收入的因素）进行累加处理，做紧邻均值，利用最小二乘法求出发展灰数和内生控制灰数如下（编程见附录I）： （国民收入） （工业总产值） （农业总产值） （总人口） （固定资产投资） 其次利用以上得出，分别求得响应时间式如下： （国民收入） （工业总产值） （农业总产值） （总人口） （固定资产投资）最后，利用响应时间式分别求出2010-2014年国民收入，工业总产值，农业总产值，总人口，固定资产投资的预测值，具体数值如下表四： 表四 2010-2014年各因素及财政收入预测值年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农

18、业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入（亿元）201040417418370241165134159237917858280201147148321023246624134845286161104340201255000124059352807135534344188126673201364159527533959810136226413982153602201474844231510367742136922497928186041误差分析： 根据4.2模型中的响应时间式求得2005-2009年预测值，与其真实值进行比较求的得相对误差如下表： 年份2005200620072

19、0082009国民收入（亿元）真实值184089213132259259302853343464预测值184089218263254611297012346475相对误差00.024074-0.01793-0.019290.008767工业总产值（亿元）真实值87365103162124799146183156958预测值87365107097122563140264160520相对误差00.038144-0.01792-0.040490.022694农业总产值（亿元）真实值2242024040286273400035226预测值2242025015283323208936345相对误差00.

20、040557-0.0103-0.056210.031766总人口 （万人）真实值130756131448132129132802133474预测值130756131445132124132799133477相对误差0-2.3E-05-3.8E-05-2.3E-052.25E-05固定资产投资（亿元）真实值88774109998137324172828194138预测值88774113680136731164458197806相对误差00.033473-0.00432-0.048430.018894由表可知误差百分比最大为5.621%，且只有一个，其余都小于5%，可见灰色预测效果较好。 4.3模

21、型三的建立与求解我国的国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资在起初增长慢，随着经济的发展增长加快，进入发达国家后其增长缓慢，渐渐趋于平缓，其过程类似型增长曲线，下面我们对国民收入与时间进行型曲线拟合，其余同理可得：由型增长曲线进行配合得： （4.1）两边同时取对数，线性化得： （4.2）并令4.2式中含有三个未知数，需从数据表中取出三组等距的点代入4.2式（取始点、中间两点平均数、末点）：（1,3645），（16.5,41684.5），（32,343464）得三元方程组：解这个三元一次方程组，消去得： 其中因此得出关于的式子为：将代入即为求出的值之后将求出的值代入（指19782

22、009年的国民收入）其中，将上述数据关系式利用编程（见附录J）即可求得将的值代入4.1式可得型曲线为：同理可得： （国民收入与时间的关系） （工业总产值与时间的关系） （农业总产值与时间的关系） （总人口与时间的关系） （固定资产值与时间的关系）将带入问题一所求的回归方程： （4.3）令分别等于33,34,35,36,37（代表2010-2014年），带入（4.3）求出2010-2014年的财政收入（程序见附录k） 2010-2014年财政收入年份20102011201220132014财政收入（亿元）70844789068706795206103211画出国民收入与时间的图形如下（见附录L）

23、 由图可知当时，财政收入不在随时间的增加而增加，稳定在亿元处，由此知我国在39年后的2048年步入发达国家行列，届时我国的各项因素值与财政收入值如表：年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入（亿元）2048102307447143158146146071341079185800误差分析：国民收入，工业总产值，农业总产值，总人口，固定资产投资，财政收入以及其预测值和相对误差如表：年份财政收入预测财政收入绝对误差相对误差（%）年份财政收入预测财政收入绝对误差相对误差（%）197811321274.6142.6312.619945218490

24、7.3-194.07-5.9197911461303.6157.6313.7199562425837.9-310.67-6.4198011601337.4177.3915.2199674086982.8-404.12-5.7198111761377.7201.6717.1199786518383.6-425.16-3.1198212121426.7214.7217.71998987610087-267.392.1198313671487.4120.368.819991144412143210.626.1198416431563.2-79.838-4.820001339514606698.799

25、.0198520051658.6-346.42-17.2200116386175331211.37.0198621221779.2-342.82-16.1200218904209771146.910.9198721991931.8-267.18-12.1200321715249872072.615.1198823572125-231.97-9.8200426396296033271.812.1198926652369.2-295.78-11.1200531649348513207.110.1199029372677.2-259.84-8.8200638760407363201.75.11991

26、31493064.3-84.656-2.6200751322472411975.7-7.9199234833549.566.4691.920086133054323-4081.1-11.4199343494154.9142.63-4.420096847761913-7007.0-9.5由表可知最大的相对误差为17.7%，且相对误差在5%-10%的较多，由此可见阻滞模型拟合效果较差。4.4模型四的建立与求解 由问题一误差分析中表三知：回归模型中误差百分比最大为-22.43%，且误差在10%-20%间的有7年，误差波动较大，可见回归模型效果不是很好，有待改进。由问题二误差分析表格可知误差百分比最大

27、为5.621%，且只有一个，其余都小于5%，误差波动平缓，可见灰色预测效果较好，由问题三误差分析，最大相对误差为17.7%，且相对误差在5%-10%的较多，误差波动较大，可见阻滞增长模型预测效果较差。 综上所知，对财政收入采用灰色预测效果较好。4.4自改：模型四的建立与求解 由模型一求得的5模型的评价与推广5.1模型的评价优点1.建立的模型能与实际紧密联系，并结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。2.模型中数据的不确定影响因素有很多，因此使用灰色预测法、回归分析、人口阻滞模型三种方法求解目标数值，并经过比较选出最为准确的一种方法，使得所得数值更具有准确性和说

28、服力。3.数据来源据来自权威网站的公开数据，可信度很高。并且数据的处理利用了计算机数学软件，严格地对模型求解，具有科学性。4.采用的数学模型有成熟的理论基础，具有很强的可靠性。缺点 1.一些数据中，我们对数据进行了必要的处理，如取整数据、舍弃数据等，这些方法会带来一定误差。 2.社会中的随机性因素较多，使得该模型不能将其准确地反映出来5.2模型的推广 本文建立的四个模型最终解决了由多个因素决定的财政收入问题，采用了多因素分层次解决问题的方法。因此，本模型还可应用与其他类似的由多因素决定单变量的确定问题，如：工程预算、人口预测、国民生产总值的预测、城市最低生活保障金的确定等，尤其对费率的粗略估算

29、与预测方面的问题，更是简便易行，效果明显。6参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊主编数学模型（第三版）高等教育出版社 2003.2 2 孙祥 徐流美 吴清编著MATLAB7.0基础教程清华大学出版社 2005.5 3 吴建国主编数学建模案例精编中国水利水电出版社 2005.5 4 钱小军主编 数量方法 高等教育出版社 1999.8 5 吴振奎 王全文 主编运筹学 中国人民大学出版社 2006.2 7附录附录A1978-2009年的原始数据年份国民收入（亿元）工业总产值(亿元)农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入(亿元)197836451745102696259550113

30、219794063191412709754256411461980454621921372987055681160198148902256156010007296111761982533123831777101654120012121983598626461978103008136913671984724431062316104357183316431985904138672564105851254320051986102744493278910750731212122198712051525232331093003792219919881503765873865111026475423571

31、989170017278426611270444102665199018718771750621143334517293719912182691025342115823559531491992269371170058671171718080348319933526016454696411851713072434919944810922445957311985017042521819955981128680121361211212001962421996701433383514015122389229147408199778061375431444212362624941865119988302

32、4390041481812476128406987619998847941034147701257862985511444200098001455561494512674332918133952001108068.4951215781127627372141638620021190965389716537128453435001890420031351746243617382129227555672171520041595877390421413129988704772639620051840898736522420130756887743164920062131321031622404013

33、144810999838760200725925912479928627132129137324513222008302853146183340001328021728286133020093434641569583522613347419413868477附录Bfunction cc()x=3645 1745 1026 96259 550 1132 4063 1914 1270 97542 564 11464546 2192 1372 98705 568 11604890 2256 1560 100072 961 11765331 2383 1777 101654 1200 12125986

34、 2646 1978 103008 1369 13677244 3106 2316 104357 1833 16439041 3867 2564 105851 2543 200510274 4493 2789 107507 3121 212212051 5252 3233 109300 3792 219915037 6587 3865 111026 4754 235717001 7278 4266 112704 4410 266518718 7717 5062 114333 4517 293721826 9102 5342 115823 5595 314926937 11700 5867 11

35、7171 8080 348335260 16454 6964 118517 13072 434948109 22445 9573 119850 17042 521859811 28680 12136 121121 20019 624270143 33835 14015 122389 22914 740878061 37543 14442 123626 24941 865183024 39004 14818 124761 28406 987688479 41034 14770 125786 29855 1144498001 45556 14945 126743 32918/p>

36、. 49512 15781 127627 37214 16386119096 53897 16537 128453 4350062436 17382 129227 55567 21715159587 73904 21413 129988 70477 26396184089 87365 22420 130756 88774 31649213132 103162 24040 131448 109998 38760259259 124799 28627 132129 137324 51322302853 146183 34000 132802 172828 61330343

37、464 156958 35226 133474 194138 68477;%1978-2009年国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资、财政收入的原始数据y=x(:,6);%1978-2009年的财政收入X1=ones(32,1),x(:,1);X2=ones(32,1),x(:,2);X3=ones(32,1),x(:,3);X4=ones(32,1),x(:,4);X5=ones(32,1),x(:,5); %各个因素列向量前加全1列b1,bint,r1,rint1,stats1=regress(y,X1);b2,bint,r2,rint2,stats2=regress(y

38、,X2);b3,bint,r3,rint3,stats3=regress(y,X3);b4,bint,r4,rint4,stats4=regress(y,X4);b5,bint,r5,rint5,stats5=regress(y,X5);%各个因素与财政收入的线性拟合subplot(1,5,1);rcoplot(r1,rint1);subplot(1,5,2);rcoplot(r2,rint2);subplot(1,5,3);rcoplot(r3,rint3);subplot(1,5,4);rcoplot(r4,rint4);subplot(1,5,5);rcoplot(r5,rint5);%

39、各个因素与财政收入的残差图附录C%财政收入y与各个因素的散点图function yx()x=3645 1745 1026 96259 550 11324063 1914 1270 97542 564 11464546 2192 1372 98705 568 11604890 2256 1560 100072 961 11765331 2383 1777 101654 1200 12125986 2646 1978 103008 1369 13677244 3106 2316 104357 1833 16439041 3867 2564 105851 2543 200510274 4493 27

40、89 107507 3121 212212051 5252 3233 109300 3792 219915037 6587 3865 111026 4754 235717001 7278 4266 112704 4410 266518718 7717 5062 114333 4517 293721826 9102 5342 115823 5595 314926937 11700 5867 117171 8080 348335260 16454 6964 118517 13072 434948109 22445 9573 119850 17042 521859811 28680 12136 12

41、1121 20019 624270143 33835 14015 122389 22914 740878061 37543 14442 123626 24941 865183024 39004 14818 124761 28406 987688479 41034 14770 125786 29855 1144498001 45556 14945 126743 32918 49512 15781 127627 37214 16386119096 53897 16537 128453 4350062436 17382 129227 55567 2

42、1715159587 73904 21413 129988 70477 26396184089 87365 22420 130756 88774 31649213132 103162 24040 131448 109998 38760259259 124799 28627 132129 137324 51322302853 146183 34000 132802 172828 61330343464 156958 35226 133474 194138 68477;y=x(:,6);subplot(1,5,1);plot(x(:,1),y,*);xlabel(财政收入);ylabel(国民收入

43、);subplot(1,5,2);plot(x(:,2),y,*);xlabel(财政收入);ylabel(工业总产值);subplot(1,5,3);plot(x(:,3),y,*);xlabel(财政收入);ylabel(农业总产值);subplot(1,5,4);plot(x(:,4),y,*);xlabel(财政收入);ylabel(总人口);subplot(1,5,5);plot(x(:,5),y,*);xlabel(财政收入);ylabel(固定资产投资);附录Dfunction xx()t=1:32;x=3645 1745 1026 96259 550 11324063 1914

44、 1270 97542 564 11464546 2192 1372 98705 568 11604890 2256 1560 100072 961 11765331 2383 1777 101654 1200 12125986 2646 1978 103008 1369 13677244 3106 2316 104357 1833 16439041 3867 2564 105851 2543 200510274 4493 2789 107507 3121 212212051 5252 3233 109300 3792 219915037 6587 3865 111026 4754 23571

45、7001 7278 4266 112704 4410 266518718 7717 5062 114333 4517 293721826 9102 5342 115823 5595 314926937 11700 5867 117171 8080 348335260 16454 6964 118517 13072 434948109 22445 9573 119850 17042 521859811 28680 12136 121121 20019 624270143 33835 14015 122389 22914 740878061 37543 14442 123626 24941 865

46、183024 39004 14818 124761 28406 987688479 41034 14770 125786 29855 1144498001 45556 14945 126743 32918 49512 15781 127627 37214 16386119096 53897 16537 128453 4350062436 17382 129227 55567 21715159587 73904 21413 129988 70477 26396184089 87365 22420 130756 88774 31649213132

47、 103162 24040 131448 109998 38760259259 124799 28627 132129 137324 51322302853 146183 34000 132802 172828 61330343464 156958 35226 133474 194138 68477;y=x(:,6);X1=ones(32,1),x(:,1);X2=ones(32,1),x(:,2);X3=ones(32,1),x(:,3);X4=ones(32,1),x(:,4);X5=ones(32,1),x(:,5); b1,bint,r,rint,stats1=regress(y,X1)b2,bint,r,rint,stats2=regress(y,X2)b3,bint,r,rint,stats3=regress(y,X3)b4,bint,r,rint,stats4=regress(y,X4)b5,bint,r,r