文科二轮复习专题限时集训11立体几何

1、专题限时集训(十一)立体几何组真题重组练1. (2019-全国卷I)如图,直四棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形,A4i=4,AB=2, ZBAD = 60。，E, M, N 分别是 BC, BBi, AiD 的中点.(1) 证明：MN平面CiDE；(2) 求点C到平面Ci DE的距离.解I (1)证明：连接5C,ME.因为M,E分别为BBi,BC的中点，所以MEBC,由题设知AiBi練DC,可得BC紋AD,故ME狹ND,因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MNED.又MNG平面CQE,所以MN平面CDE.(2)过点C作CE的垂线，垂足为由已知可得DE丄BC, DECiC,所以DE丄平而C、

2、CE,故DE丄CH. 从而CH丄平面CQE,故CH的长即为点C到平面CQE的距离.由已知可得 CE=1, CiC=4,所以 CiE=yTj,故 CH=. 从而点C到平而CiDE的距离为斗辛.2. (2020全国卷II)如图，已知三棱柱ABC-AxBxCx的底面是正三角形，侧面BBiCiC是矩形，M, N分别为BC, Ci的中点，P为AM上一点.过Ci和P1/ 12的平面交A3于E，交AC于F.(1) 证明：AAiMN,且平面AiAMN丄平面EBCF；(2) 设 O 为AAiBiCi 的中心，若 AO=AB=6, AO平面 EBCF,且ZMPN= 扌，求四棱锥B-EBxCF的体积.解(1)证明：

3、因为M, N分别为BC, BiCi的中点，所以MN/CC.又由已知得A41/7CG,故AAiMN.因为AAiBiCi是正三角形，所以BiCi丄AiN.又BiCi丄MN,故BiCi丄平面AiAMM所以平面AiAMN丄平而EBQF.(2)AO平岳 EBiCiF, AOU 平面 ASMN,平面 AAMNQ 平而 EBCF=PN, 故 AO/PN.又AP/ON,故四边形APNO是平行四边形，所以PN=AO = b, AP=ON= PM=AM=2y/3t EF=*BC=2.因为BC平而EBiCiF,所以四棱锥B-EBCXF的顶点3到底面EBCXF的距 离等于点M到底而EBGF的距离.如图，作 MT丄PN

4、,垂足为T,则由(1)知，丄平面EBQF,故MT= PMsinZMPN=3.c,底而 EBXCF 的面积为*X(5Ci+EF)XPN=4(6+2)X6 = 24.所以四棱锥B-EBiCF的体积为|x24X3 = 24.3. (2019-全国卷III)图1是由矩形ADEB, RtAABC和菱形BFGC组成的一个 平面图形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60.将其沿AB, BC折起使得BE 与重合，连接DG,如图2.图1图2(1) 证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面ABC丄平面BCGE；(2) 求图2中的四边形ACGD的面积.解(1)证明：由已知得AD/BE, CG/

5、BE,所以AD/CG,故AD, CG确定一个平面，从而A, C, G, 四点共面.由已知得 AB丄BE, AB丄BC,又 BE, BCU 面 BCGE, BECBC=B,故 43丄 平面BC.GE.又因为平tSj ABC,所以平ABC丄平面BCGE.(2)取CG的中点M,连接EM, DM.因为AB/DEt 丄平面BCGE,所以DE丄平面BCGE,故DE丄CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且ZEBC=60,得EW丄CG,故CG丄平面DEM.因此DW丄CG.在 RtADEM 中，DE=1, EM=书,故 DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.4. (2018-全国卷III)如图，矩形ABCD所

6、在平面与半圆弧所在平面垂直，M是CD上异于C, D的点h (1) 证明：平面AMD丄平面BMC；(2) 在线段AM上是否存在点P,使得MC平面P3D?说明理由.解 证明：由题设知，平而CMD丄平而ABCD,交线为CD.因为BC丄CD,BCU平面A3CD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM.因为M为上异于C, D的点、,且DC为直径，所以DM丄GW. 又BCHCM=C,所以DM丄平面BMC.而DWU平面AMD,故平AMD丄平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：如图，连接AC, BD, AC交3D于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM中点，所

7、 以MC/OP.又MCQ平面PBD, OPU平而PBD,所以MC平面PBD.B组模拟重组练1. (2020-怀仁模拟)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M, N分别是AB, PC的中点.(1) 求证：MN平面P1D；(2) 若MN=BC=4,凤=4书,求异面直线与MN所成的角的大小.解|(1)取PD的中点H,连接AH, NH,A m nTN 是 PC 的中点，:.NHDC,TM是AB的中点，且DC狹AB,NH紋AM,即四边形AMNH为平行四边形.:-MN/AH.又 MNQ平PAD, AHU 平面 PAD,MN平面PAD.(2)连接AC并取其中点O,连接OM, ON.ZONM就是异

8、面直线刊 与M/V所成的角，由 MN=BC=4,必=4迈，得 OM=2, ON=2 MO证明：BC丄B4： 若用= PC=*4C=V, Q在线段PB上,满足PQ=2QB,求三棱锥P-ACQ 的体积.解(1)证明：不妨设 AB=2af 则 AC=CD=DA=at+ON2=MN2, Z ONM =30,即异面直线以与MN成30。的角.2. (2020-汕头一模)在四棱锥P-ABCD中，平面P1C丄平面ABCD,且有AB/DC, AC=CD=DA=AB.由心仞 是等边三角形，可得ZACD= :ABDC, ZC4B = .由余弦定理可得BC求点B到平面SCD的距离.懈(1)证明：取SC的中点N,连接M

9、N和DV,=AC2+AB2-1ACAB-cos|= 3a2 ,即 BC=y3at BC2+AC求证：AM平面SCD；=AB1. ZqCB = 90。，即BC丄AC. 又平面必C丄平面ABCD, 平而PACD平面ABCD=AC,BCU平面ABCD, BC丄平而P4C, P1U平而必C,:BC丄BA.(2)依题意得，BA丄PC,Vp ACQ= V。刊（7=亍心C = XBC3（2020-深圳二模）如图所示，四棱锥SJBCD中，SA丄平面ABCD, ZABC= ZBAD=90% AB=AD=SA=, BC=2, M 为 S3 的中点.VM为SB的中点、,:.MN/BC,且 MN=BC,V ZABC=

10、ZBD=90, AD=f BC=2,:.ADBC,且 AD*BC,：AD紋MN,四边形AMND是平行四边形，:.AM/DN,TAMG平而 SCD, DNU 平面 SCD,AM平而SCD.（2Y：AB=AS=f M 为 SB 的中点，:.AM 丄 SB,TSA丄平dQ ABCD, SA丄BC,I ZABC=ZBAD=9Q BC丄AB,:BC丄平dfi SAB, BC丄AM,AM丄平面SBC.由（1）可知 AM/DN,:DN丄平面SBC,：DNU平面 SCD,平面SCD丄平面SBC,作BE丄SC交SC于E,则3E丄平面SCD,在直角三角形SBC中，装BBC=*SCBE,SB BC 22 23血=飞

11、厂=&= 3，即点B到平面SCD的距离为羊.4. (2020-长沙模拟妆口图，已知三棱锥P-ABC的平面展开图中，四边形ABCD 为边长等于血的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中.(1) 证明：平面刊C丄平面ABC：(2) 求三棱锥P-ABC的表面积和体积.解(1)设AC的中点为O,连接BO, PO.由题意，得以=PB=PC=逗,PO=1, AO=BO=CO=.因为在ZXPIC中，PA=PC, O为AC的中点，所以PO丄AC.因为在ZXPOB 中，PO=1, 03=1, PB=dPO2+OB2 = PB2t 所以 PO丄OB.因为 ACQOB = O, AC, OEU 平

12、 ABC,所以PO丄平面ABC,因为POU平面PIC,所以平而PIC丄平而ABC.(2)三棱锥P-ABC的表而积S=2X*X也X述+2XX(迈尸=2+书,由(1)知，PO丄平面ABC,所以三棱锥P-ABC的体积为V=S.abcXPO =|xC组重点强化练1. 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AD丄DC, AB=, AD=DC=2, AAi=2,且AAi丄平面ABCD. F为Aib的中点.n(1) 在图中画出一个过BCi且与AF平行的平面(要求写出作法)；(2) 求四棱柱ABCD-AxBCD的表面积.解(1)在平面CDDC中，过作交Cih于P,在平面CDDC 中，过Ci作C

13、E/DP,交CD于E,连接BE,此时AF/CE,过3Ci且与AF 平行的平面为平面BECi.(2) V四棱柱ABCD-ABCD的底而是直角梯形，AD丄DC, AB=y AD=DC=2f A4i=2,且 A4|丄平而 ABCD,四棱柱ABCD-AiBCDi的表而积为：S=2S 枷 abcd+S 矩形 ABBiAS 矩形 ADDiAi+S 矩形 DCCDi+S 矩形 BCCi5i=2X-X2+l X2+2X2+2X2+V2求证：AC丄BE； 在线段BE上求点M(说明M点的具体位置)，使得DE平面GMC,并证+PX2=16+2V5.2. 如图，在三棱柱FAB-EDC中，侧面ABCD是菱形，G是边AD

14、的中点.平 面ADEF丄平面ABCD. ZADE=90.明你的结论.解(1)证明：如图，连接BD,则由四边形ABCD是菱形可得AC丄BD,平面ABCD丄平而ADEF,平面ABCDH平面ADEF=AD,且DEYAD, :.DE 丄平 ABCD.又 ACU 平而 ABCD, :.AC 1.DE.BDQDE=D, AC丄平面BDE,TBEU平面 BDE, :.AC丄BE.(2)设BDGCG=O,在BDE中，过O作DE的平行线交BE于点M, M点 即为所求的点.TOM在平而MGC內，DE不在平面MGC内，且OMDE, :.DE/平面MGC.四边形ABCD为菱形，且G是AD的中点，AA、OD DG :.

15、DOGsBOC,且而=就=3, 又OM/DE,于是镌=箸詁 故点M为线段BE上靠近点E的三等分点.3. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB/DC, ZABC=90。，AB=2DC=2BC, E为AB的中点，沿DE将/XADE折起，使得点A到点P位置，且PE丄EB, M为 PB的中点，N是BC上的动点(与点3, C不重合).(1) 求证：平面EMN丄平面PBC；(2) 设三棱锥B-EMN和四棱锥P-EBCD的体积分别为匕和，当N为BC中 点时，求认的值.解(1)证明：VPE1EB, PE丄ED, EBQED=E,PE丄平面EBCD,又PEU平面PEB,平面PEB丄平面EBCD,：BCU 平面

16、EBCD, BC丄EB,平面PBC丄平面PEB.：PE=EB, PM=MB, ：EM丄PB,BCCPB = B, :.EM丄平面 PBC,又*：EMU平而EMN,平而EMN丄平面PBC.1S.(2) VN 是 BC 的 中点，.= fr =N，Wmebcd Lddl 4点M, P到平面EBCD的距离之比为.w 評嘶11 11:厉=F 2=?4=8B刃EBCD4如图，三棱柱ABCAiBiCi中，平面AAiBiB丄平面ABC, D是AC的中点.(1) 求证：5C平面AxBDx(2) 若Z4AB=ZqCB = 60。，AB=BBlf AC=2, BC= 1,求三棱锥 C-AAB 的 体积.解连接A5交A/于点O,则O为A3的中点，T