数学建模第4章

1、1 第第4 4章章 数学的巧妙应用 应用数学解决一些简单问题，初步尝试怎样把数学 应用于解决问题的过程中，通过这些问题展示数学的 奇妙作用，体会将数学用来解决各类实际问题时如何 培养和发挥创造性思维能力，经常性地联想和积累， 开拓思路，更好和更灵活地应用数学去解决问题。 2 1. 铺瓷砖问题铺瓷砖问题 2. 相识问题相识问题 3. 人、狼、羊、菜渡河问题人、狼、羊、菜渡河问题 4. 棋子颜色的变化棋子颜色的变化 5. 椅子的稳定性椅子的稳定性 6. 包饺子问题包饺子问题 7. 七桥问题七桥问题 8. 双层玻璃的功效双层玻璃的功效 9. 席位分配方案席位分配方案 10. 人口预报问题的初等模型人

2、口预报问题的初等模型 3 1. 1. 铺瓷砖问题铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺如下图所示形状的地面,但当 时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块。 一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄 去始终无法铺好.试问是这人的功夫不到家还是这个 问题根本无解呢? 4 我们首先必须解决可能性问题我们首先必须解决可能性问题 在图上黑白相间地染色.然后仔细观察,发现共有19个白格和 21个黑格.一块长方形瓷砖可以盖住一黑一白两个方格。所以 铺上19块长方形瓷砖后,总要剩下2个黑格无法铺,因一块长方形 瓷砖是无法盖住两个黑格的。唯一的解决办法是把最后一块瓷 砖分为两个正方形瓷砖去盖住两个黑格

3、. 5 解决这一问题时所用的方法在数学上称为奇偶校验奇偶校验。 如果两个数具有都是奇数或偶数，则称具有相同的奇 偶性；如果一个是奇数，另一个是偶数，则称具有相 反的奇偶性。 在铺瓷砖问题中，即可认为涂黑色的格子是偶数，涂 白色的格子是奇数，同色的格子有相同的奇偶性。一 块长方形瓷砖显然只能复盖奇偶性相反的一对方格， 因此把19块瓷砖在地面上铺好后，只有在剩下的两 个方格具有相反的奇偶性时，才可能把最后一块长方 形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性， 因此无法铺上最后一块瓷砖。这就从理论上证明了用 20块长方形瓷砖铺如图42所示地面是不可能的。 任何改变铺设方式的努力都是徒劳的。 6

4、讨论题讨论题： （1）. 传说中有一所监狱有64间囚室，按88型 排列，所有相邻的囚室都有门相通。典狱长告诉 关押在一个角落里的囚犯，只要他能够不重复地 通过每间到达对角的囚室，他将被释放，问此囚 犯能够获得自由吗？ A B 7 8 (2) 拟将一批尺寸为124的商品装入尺寸为 666的正方体包装箱中，问最多能装入多少个 商品？ 9 将正方体剖分成27个222的小正方体，并 黑白相间地染色。再将每一222的小正方体剖 分成122的2个小正方体。 由于27个222的正方体中，有14个是黑的， 13个是白的（或13黑14白），故经两次剖分，共计 有28个122的黑色小正方体和26个122的 白色小

5、正方体。 虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但容 易看到，不论将商品放置在何处，每个尺寸为 124的商品都将占据1个黑色和1个白色的 122小正方体的位置，由min26,28=26知道， 最多可以装入26个商品。故商品不可能充满包装箱故商品不可能充满包装箱。 10 2. 相识问题（拉姆齐相识问题）相识问题（拉姆齐相识问题） 1958年，美国的数学月刊上登载着这样 一个有趣的问题：“任何6个人的聚会，其中总会 有3个人相互认识，或3个人相互不认识”。 2.1 2.1 建立模型建立模型 用6个点u1，u2，u3，u4，u5，u6表示6个人， 若两人认识，就在相应的两个点之间连一条边，则 此图

6、的补图的一条边就表示对应于它的关联顶点的 人互相不认识。 11 2.2 2.2 问题转化问题转化 于是, 问题化为下述命题： 对一个任意的含6顶点的简单图G，要么该图本身，要么 它的补图含有一个三角形（即具有三个顶点的完全图K3）。 证明：不妨考虑u1，则它与 其余的5个顶点不是在G中 相邻，就是在中相邻，因 此在G中或中，至少与3 个点相邻，不妨假定在G中， 有边u1u2，u1u3，u1u4如 右图。 u1 u2 u3 u4 u5 u6 12 (1) 若u2，u3，u4这3个点有两个点在G中相连， 比如说u2u3，则三角形u1u2u3即为所求。 (2) 若u2，u3，u4这3个点中任意两点都

7、不在G中 相连，则它们必在中两两相连，从而三角形 u2u3u4即为所求。证毕。 13 相识问题也可以用图的染色来解决：仍用六个顶 点表示6个人，作6阶完全图，如果这两个人互相 认识，连接相应两个定点的边染成红色，否则染 成蓝色，于是问题转化为：在G中存在一个同色 三角形。 请大家一起画图证明请大家一起画图证明 14 关于拉姆齐相识问题拉姆齐相识问题，有更一般的结论： 给定任意正整数a和b，总存在一个最小整数 r(a,b)，使得r(a,b) 个人中或者有 a 个人互相认 识，或者有 b 个人互相不认识。称 r(a,b) 为 Ramsey数数。 对拉姆齐问题的认识不能仅对拉姆齐问题的认识不能仅 仅

8、停留在仅停留在6人相识问题的水平人相识问题的水平 上。利用图论和逻辑推理方上。利用图论和逻辑推理方 法，实际上还可获得一大批法，实际上还可获得一大批 结果。结果。 15 1717位学者中每人都和其他人通信讨论位学者中每人都和其他人通信讨论3 3个个 方向的课题。任意两人间只讨论其中一个方向方向的课题。任意两人间只讨论其中一个方向 的课题，则其中必可找出的课题，则其中必可找出3 3位学者，他们之间位学者，他们之间 讨论的是同一方向的课题。讨论的是同一方向的课题。 课堂练习：请以图的染色方法证明命题： 16 一个摆渡人F希望用一条小船把一只狼 W，一 头羊 G 和一篮白菜 C 从一条河的左岸渡到右

9、岸去， 而船小只能容纳 F、W、G、C中的两个，决不能 在无人看守的情况下，留下狼和羊在一起，羊和白 菜在一起，应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过 去? 3. 人、狼、羊、菜人、狼、羊、菜 渡河问题渡河问题 17 建模：建模：将人、狼、羊、菜的位置依次用一个四维 向量表示:当一物在左岸时,记相应的分量为1,否则记为 0,如A(1,0,1,0)表示人和羊在左岸,称为一个状态。 智力游戏智力游戏 状态转移状态转移 算法算法 编程编程 （左岸）可取状态（左岸）可取状态： (1,1,1,1)， (0,0,0,0)， (1,1,1,0)， (0,0,0,1)， (1,1,0,1)， (0,0,1,0)，

10、 (1,0,1,1)， (0,1,0,0)， (1,0,1,0)， (0,1,0,1)。 18 （船上）可取运载船上）可取运载： B共4个 (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)。 在上述规定下，问题转化为：从初始状态 (1,1,1,1)经过多少次可取运算才能转化为化为 (0,0,0,0) 渡河过程：可取运算渡河过程：可取运算 可取状态向量与一个可取运载向量相加，相加时 每一分量按二进制法则二进制法则进行计算。例如 (1,1,1,1)+ (1,0,1,0)= (0,1,0,1) 19 不合题意 第一次渡河第一次渡河 第二次渡河第二次渡河 (1,1,

11、0,0) (0,0,1,1) N (1,1,1,1) + (1,0,1,0) = (0,1,0,1) Y (1,0,0,1) (0,1,1,0) N (1,0,0,0) (0,1,1,1) N (1,1,0,0) (1,0,1,1) N (0,1,0,1) + (1,0,1,0) = (1,1,1,1) R (1,0,0,1) (1,1,0,0) N (1,0,0,0) (1,1,0,1) Y 不合题意 20 (1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 1) Y (1, 1, 0, 1) + (1 , 0, 1, 0) = (0, 1, 1, 1) N (1, 0, 0, 1) (0, 1,

12、 0, 0) Y (1, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 1) R . 继续上面穷举过程，经过7次运算就可从 (1,1,1,1)转化为(0,0,0,0)，最后将整个运算过程 “翻译”回去，就可以得到结果。 第三次渡河第三次渡河 21 用S表示所有可取状态的集合；用 B44 表示运载行向量组 成的矩阵；用向量A14表示可取状态；用S1表示运算过程中第 一次出现的可取状态集合，则执行如下步骤： 1） 可取状态初始化: ； 2） 把可取状态A和运载矩阵B的每一行相加，得到中间矩阵C； 显示每次的运算结果，即矩阵C=（C1，C2，C3，C4）； 3）若存在Ci= (0,0,0,0)则停止；否则继

13、续； 4）判断Ci (i=1，2，3，4) 是否属于集合S和集合S1 ；若Ci属 于集合S，但不属于S1，则令 ，返回2）； 算法步骤算法步骤： 1, 1, 1, 1A i CA 上述穷举过程也可通过计算机编程实现 22 夫妻过河问题夫妻过河问题：这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对 夫妻要过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯法夫妻要过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯法 律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其他男子在一律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其他男子在一 起，问此时这三对夫妻能否过河？起，问此时这三对夫妻能否过河？ 这两个问题与

14、前一问题类似，这两个问题与前一问题类似， 但要复杂一些，状态变量的但要复杂一些，状态变量的 选取和运算与前一题有所不选取和运算与前一题有所不 同。同。 商人过河问题：商人过河问题：三个商人三个商人 各带一名随从渡河。随从各带一名随从渡河。随从 们密约们密约, 在河的任一岸在河的任一岸, 一一 旦随从的人数比商人多旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。但是乘船渡就杀人越货。但是乘船渡 河的方案由商人决定河的方案由商人决定.商人商人 们怎样才能安全过河们怎样才能安全过河? 河河 小船小船(至多至多2人人) 23 4. 棋子颜色的变化棋子颜色的变化 任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个，排成如图4-1所示

15、 的一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子， 在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来 所放的棋子。再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次 的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢? 24 25 方法方法1 1： 穷举法验证28=256初始情况； （请大家动手试试，看规律如何?） 方法方法2 2： 借助于计算机的穷举法验证 怎样编程? 黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 （ 正正得正，负负得正，正负得负 有理数符号规则） 26 方法方法3：杨辉三角形法杨辉三角形法 27 问题的推广问题的推广 练习： 对任意 n n 颗棋子讨论颜色变化的情况， 尝试给出一

16、些结论。 28 关于关于n n颗棋子的一些结论或猜想：颗棋子的一些结论或猜想： 1）n=2m时， 最多经过2m变换后全部变黑； 2）任意n， 至少有2种情况变换后全部变黑； 3）n=2m+1时， 至少有些情况不会全变黑； 4）对所有n， 棋子颜色变化是周期的； 29 5）n=3时： 2种全黑，(-1, -1, -1), (1, 1, 1) 2黑1白：以后不会再出现， (-1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1) 2白1黑：进入循环，周期3 (-1, 1, -1), (1, -1,-1), (-1,-1,1) 30 5. 椅子的稳定性问题椅子的稳定性问题 一把四条腿一样长

17、正方形椅子放在起伏不 平的地面上, 问4条腿能否同时着地而放稳? 此问题看来似乎与数学无关。能用数学语 言来描述并证明吗？试试看。 31 5.1 模型假设模型假设 为了能用数学语言描述，对椅子和地面需作一些 必要的假设。 (1).对椅子的假设：椅子四只脚一样长，椅脚与 地面接触处视为一个点，四只脚位于同一平面内， 其连线呈正方形； (2).对地面的假设：地面的高度是连续变化的，即 可视为数学上的连续曲面； (3).对两者关系的假设：地面是比较平坦的，使椅 子在任何时候都同时有三只脚同时着地，而且当椅 子转动时，它的四只脚总在同一个平面内。 32 主要问题是如何用数学语言把椅子四条腿同时着 地的

18、条件表达出来。 5.2 模型建立模型建立 5.2.1 5.2.1 引入函数引入函数 以椅脚正方形的中心为原点，所在平面为坐标平 面建立坐标系。 用表示椅子转动的角度，从而确定椅子的位置。 椅脚着地，即椅脚与地面距离为0，这就是椅子与地 面的数量关系。因此，我们可用的函数表示椅脚与地 面距离，因为图形具有对称性，故不必用4个函数， 而只用2个函数即可。 33 A0 A B0 B C0 C D0 D Ox y 椅子稳定性问题的坐标系. 34 （1）由假设2，函数 与 是的非负连续函数， 02； (2) 由假设3，对任意0,2, 不妨设 ； (3) 当把椅子转动/2时，则AC与BD互换了位置， 由假

19、设(1)， ( )f( )g ( ) ( )0,fg (0)0,(0)0fg ( )(0),( )(0). 22 fggf 5.2.2 函数的性质函数的性质 设 表示椅脚A与C两脚到地面距离之和； 表示椅脚B与D两脚到地面距离之和。 ( )f( )g 35 椅子四只脚同时着地等价于存在一点 0,使 00 ()()0fg 5.2.3 把问题化作数学命题把问题化作数学命题 因此，原问题等价于以下命题： 命题命题 已知函数 与 是的非负连续函数， 0 2，且满足： (1) ; (2)对任意 0，2, 且 则必存在一点0， 使 ( )f( )g (0)0,(0)0fg ( ) ( )0,fg ( /2

20、)(0),( /2)(0).fggf 00 ()()0.fg 36 5.3 5.3 模型求解模型求解 证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由 2 , 0)0(, 0)0(fg可得 ,0) 2 (,0) 2 ( gf 令 , 0)0()0()0( ),()()(gfhgfh则 ,0) 2 () 2 () 2 ( gfh而 由 的连续性， 根据介值定理，在 中至 少存在一点 ,使得 ,即 )(h 0)( 0 h ) 2 ,0( 0 )()( 00 gf 0)()( 00 gf又 0)()( 00 gf所以 5.4 结论：能放稳。 37 连续函数的介值定理连续函数的介值定理 . 0)(,),( 0,)

21、()(,)( fba bfafbaxf 使内至少存在一点则在开区间 上连续，在闭区间若 数学的作用真是奇妙数学的作用真是奇妙！ 思考：如果椅子是长方形的，上面的建模过程又该 如何？ 38 6. 6. 包饺子问题包饺子问题 设在包饺子时通常1kg面和1kg馅包100 个饺子，又一次馅多了0.4kg，问能否将饺子 包大一些或包小一些将这些馅仍用1kg面用完？ 并计算此时的饺子个数。 39 模型假设模型假设: 饺子的体积由饺子馅决定，即与饺子馅的重量成正比 饺子的面积由饺子皮决定，即与饺子皮的重量成正比 建模与求解建模与求解：设大饺子的半径为R，小饺子的半径为r, 则可设每个大饺子和小饺子的饺皮面积

22、分别为S=cR2， s=cr2，体积为V=dR3, v=dr3。由此得 23 VS vs 由此可知，饺子越大，它所包的馅越多，它所用的面粉也 越多，但所包的馅量的增加快于所用的面粉量的增加。所以在 面粉一定的情况下，馅多了，我们应该把饺子包大些，少包一 些饺子。 （1） 40 对于本题，我们设要包m个大饺子，则 由面粉重量相同有 mS=100s, （2） 由馅的重量之比得 mV/100v=1.4 （3） 上面三式联立解得 (140/m)2=(100/m)3 所以m大约为51。 41 18世纪，哥尼斯堡（现今即俄罗斯的加里宁格勒， 在波罗的海南岸）城上，普勒格尔河的两条支流，把 整座城市分割成4

23、个区域：河的两岸、河中的岛、和 两条支流之间的半岛。当时有七座桥横跨普勒格尔河 及其支流，把河岸、半岛和河心岛连接起来。有趣的 桥群和4个城区的迷人景色吸引了众多的游客，居民 们在游览时提出这样的问题：能否从某个地方出发， 穿过所有的桥各一次后再回到出发点？ 7. 七桥问题七桥问题 42 当地的居民开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回 不知走了多少回，然而却始终不得其解。七橋問題 很快就傳遍了歐洲，成了知名的難題。 43 大數學家欧拉(Euler)此時正值二十几歲，受俄國之邀， 正在聖彼得堡(現名列寧格勒)的科學院作研究。他的德 國朋友告訴了他七橋問題，也引起了尤拉的高度興趣。 他想：經過這麼多

24、人的努力都找不到能不重複地一次 走完七座橋的路徑，會不會是這樣的走法根本不存在？ 於是他開始著手證明自己的猜想。他最先想到的是用 窮舉法- 把所有可能的走法詳細列出，然後一一 檢查是否可行。但是他馬上發現這樣做太煩了，因為 七座橋排列起來共有7！=5040條路線，逐一檢查實在 太耗時了。況且，這樣的方法沒有通用性， 背景知识简介背景知识简介 44 橋的位置或數量一旦改變，就得再重新檢查一次； 萬 一 橋 增 加 為 1 0 座 ， 那 豈 不 是 要 檢 查 1 0 ！ =362880條路線？！ 接著，他又想到：島的形狀、大小及橋的長短並不 影響結果，相对位置才是重點。於是他聯想到了萊 布尼茲

25、(Leibniz)的位置幾何學；他將圖形簡化，小 島化為點，橋則用線表示，於是就畫出了如下之圖 形，七橋問題就相當於能不能一筆畫出此圖形的問 題。 45 7.1 7.1 建立模型建立模型 把图中被河隔开的陆地抽象成A、B、C、D 4 个点，7座桥抽象成7条连接这4个点的边a、b、c、 d、e、f、g ，如图所示。 46 7 .2 问题转化问题转化： 于是, “七桥问题”就等价于图中所画图形的一 笔画问题了。 欧拉集中精力研究了这个图形，发现中间每经过 一点，总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的 一条线。这就是说, 除了起点和终点外，每个点如果 有进去的边就必须有出来的边，从而连接每个点的边

26、 必须为偶数个才能完成一笔画。图的四个点都连接着 奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一 次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。 抓住关键好重要！抓住关键好重要！ 47 注：欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始， 同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子 。他 证明了一个图形可以“一笔画”当且仅当其奇点个 数为0或2。 48 寒冷的北方, 许多住房都是通过安装双层 玻璃窗保暖，即在窗户上装两层玻璃，且中 间留有一定的空隙，试比较双层玻璃窗与同 样厚度的单层玻璃窗的热量流失？ 8. 8. 双层玻璃的功效双层玻璃的功效 49 2d 墙墙 室室 内内 T1 室室 外外 T2 dd 墙

27、墙 l 室室 内内 T1 室室 外外 T2 假假 设设 （2）热量传播只有传导，没有对流，）热量传播只有传导，没有对流， 即假定窗户密封性好，两层玻璃之间的即假定窗户密封性好，两层玻璃之间的 空气是不流动的；空气是不流动的； 热传导定律热传导定律d T kQ Q1 Q2 （3）室内室外温度）室内室外温度T1, T2不变不变，热传热传 导过程处于稳态，并且导过程处于稳态，并且Q 单位时间单位时间 单位面积通过的热量是常数单位面积通过的热量是常数 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数 建模依据建模依据 （1）双层玻璃窗的两玻璃的厚）双层玻璃窗的两玻璃的厚 度都为度都为d，两玻

28、璃的间距为，两玻璃的间距为l； 单层玻璃窗的玻璃厚度为单层玻璃窗的玻璃厚度为2d， 所用玻璃材料相同；所用玻璃材料相同； 2d 墙墙 室室 内内 T1 室室 外外 T2 墙 50 dd 墙墙 l 室室 内内 T1 室室 外外 T2 Q1 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度 Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度 k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数 k2空气空气的热传导系数的热传导系数 d TT k l TT k d TT kQ bbaa2 12 1 11 d l h k k hs sd TT kQ , )2( 2 121

29、11 建模建模 51 记同样厚度的单层玻璃窗传记同样厚度的单层玻璃窗传 导的热量导的热量Q2 d TT kQ 2 21 12 2d 墙墙 室室 内内 T1 室室 外外 T2 Q2 双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比 d l h k k hs sQ Q , 2 2 2 1 2 1 21 QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32 对对Q1比比Q2的减少量的减少量 作最保守的估计，作最保守的估计， 取取k1/k2 =16 d l h hQ Q , 18 1 2 1 )2( 21 11 sd TT kQ 建模建模 52 h Q1/Q2

30、 42 0 0.06 0.03 0.02 6 模型应用模型应用 取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多 材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比， 可减少可减少97%的热量损失。的热量损失。 结果分析结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于房间间空气极低的热传导所以如此小，是由于房间间空气极低的热传导 系数系数 k2 2, , 而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。 实际上，房间通过天花板、墙壁实际上，房间通过天花板、墙壁 损失的热量更损失的热量更 多。多。双层窗的功效不会如此之大。双层窗的功效不会如此之大。 d l

31、h hQ Q , 18 1 2 1 53 在n个单位组成的团体中，经常涉及到一些代表名 额分配问题,每个单位都希望自己的代表名额多一些， 以便在委员会中能更好地反应自己单位的意图。试设 计一种公平的代表名额分配方案，并针对下面三种情 况就方案的公平合理性进行说明。 9. 9. 席位分配方案席位分配方案 例例 一个团体有甲、乙、丙三个单位, 开始时甲、乙、 丙三单位的人数分别是100、60、40, 一年以后，由于 人事调动，三单位的人数分别是103、63、34。 就 20名代表和21名代表名额给出分配方案。 54 情形 1 (20席） 单位单位 人数人数 所占比例所占比例 应得席位数应得席位数

32、实际席位数实际席位数 甲甲 100 50% 20100 50% 2050%=10 1050%=10 10 乙乙 60 30% 2060 30% 2030%=6 630%=6 6 丙丙 40 20% 2040 20% 2020%=4 420%=4 4 按比例分配 55 单位单位 人数人数 所占比例所占比例 应得席位数应得席位数 实际席位数实际席位数 A 103 51.5% 20A 103 51.5% 2051.5%=10.3 1051.5%=10.3 10 B 63 31.5% 20B 63 31.5% 2031.5%=6.3 631.5%=6.3 6 C 34 17.0% 20C 34 17.

33、0% 2017.0%=3.4 317.0%=3.4 3 情形情形(20(20席）席） 剩余一个席位该分給哪一方呢？ 56 最大余数准则最大余数准则 单位 人数 所占比例 应得席位数 实际席位数 甲 103 51.5% 2051.5%=10.3 10 乙 63 31.5% 2031.5%=6.3 6 丙 34 17.0% 2017.0%=3.4 3+1 比例加惯例法比例加惯例法 57 单位单位 人数人数 所占比例所占比例 应得席位数应得席位数 实际席位数实际席位数 甲甲 103 51.5% 21103 51.5% 2151.5%=10.815 1051.5%=10.815 10 乙乙 63 31

34、.5% 2163 31.5% 2131.5%=6.615 631.5%=6.615 6 丙丙 34 17.0% 2134 17.0% 2117.0%=3.570 317.0%=3.570 3 情形情形3 (213 (21席）席） 58 最大余数准则最大余数准则 单位单位 人数人数 所占比例所占比例 应得席位数应得席位数 实际席位数实际席位数 甲甲 103 51.5% 21103 51.5% 2151.5%=10.815 10+151.5%=10.815 10+1 乙乙 63 31.5% 2163 31.5% 2131.5%=6.615 6+131.5%=6.615 6+1 丙丙 34 17.0

35、% 2134 17.0% 2117.0%=3.570 3+017.0%=3.570 3+0 59 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0 总和总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 比比 例例 加加 惯惯 例例 对对 丙丙 系系 公公 平平 吗吗 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 6

36、3 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4 总和总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 席位的公平分配问题席位的公平分配问题 60 “公平公平”分配方分配方 法法 衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A

37、方方 p1 a1 B方方 p2 a2 当当p1/a1= p2/a2 时，分配公平时，分配公平 p1/a1 p2/a2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度 p1=150, a1=10, p1/a1=15 p2=100, a2=10, p2/a2=10 p1=1050, a1=10, p1/a1=105 p2=1000, a2=10, p2/a2=100 p1/a1 p2/a2=5 但后者对但后者对A的不公平的不公平 程度已大大降低程度已大大降低! ! 虽二者虽二者的的绝对不绝对不 公平度相同公平度相同 若若 p1/a1 p2/a2 ，对，对 不公平不公平A p1/a1 p2/a2=5 61 公平

38、分配方案应使公平分配方案应使 rA , rB 尽量小尽量小 设设A, B已分别有已分别有a1, a2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还还 是是B ? 1122 12 22 / (,) / A papa r a a pa 对对A的的相对不公平度相对不公平度 将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量 类似地定义类似地定义 rB(a1,a2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即 “公平公平”分配方分配方 法法 若若 p1/a1 p2/a2 ，定义，定义 不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2, A相对不公平

39、相对不公平 62 2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算rA(n1, n2+1). 若若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B 由于公平的席位分配方法应该是使相对不公平度由于公平的席位分配方法应该是使相对不公平度 尽量地小，所以我们比较尽量地小，所以我们比较rB(n1+1, n2) 与与rA(n1, n2+1)， 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，则这席应给 A；否则否则 问：问：p1/n1 0，人口增长率r ( x ) b xM 。 现在，人口演化方程(1)应该改写为 x k+1 = x k 1+ r (x k) = x k 1

40、+ b(x M - x k ) 阻滞增长模型阻滞增长模型 建立建立 86 现在，人口演化方程(1)应该改 写为 x k+1 = x k 1+ b(x M - x k ) (6) 由于方程(6)考虑 到了自然资源和环境条件对人口 增长的阻滞作用，它所对应的模型称为阻滞增长模 型。 你能不能说说公式中系数 b 的实际意义，并根 据它的意义给它起一个适当的名字吗？ 系数 b 反映了人口增加对增长率的阻滞作用， 可以称为人口增长率的阻滞系数。 到此，我们的数学建模工作完成了吗？ 阻滞增长模型阻滞增长模型 建立建立 87 公式（6）给出了阻滞增长情况下，人口变化 的规律。从理论上来说，模型已经完成。然而

41、，公 式（6）中除了变量 x 之外，还有b 和 xM 两个参 数没有确定，因此从应用的角度来说，模型还没有 完成。 那么，应该如何确定这两个参数呢？ 从原则上说，这两个参数可以根据人口的统计 数据来确定。 阻滞增长模型阻滞增长模型 参数参数 88 假定我们已经得到了初始的人口统计数据x0、 x1 和 x2 ，将它们代入到方程（6）中，我们得到 x 1 = x 0 1+ b (x M - x 0 ) x 2 = x 1 1+ b (x M - x 1 ) 由上面两个式子，很容易求出参数 b 和 xM 的值。 以美国19世纪末、20世纪初的人口演化为例， 应用统计表中的数据，代入上面的方程，我们可

42、 以解出参数的值分别为 xM = 1042.7，b = 0.36032 阻滞增长模型阻滞增长模型 参数确定参数确定 89 阻滞增长模型阻滞增长模型 求解求解 阻滞增长模型的人口增长方程为 x k+1 = x k 1+ b(x M - x k ) (6) 由于上面的递推关系右边出现了自变量的平方 项，因此(6)式是一个非线性的递推方程。 一般来说，非线性方程(6)式求不出通项公 式，这下怎么办？没关系，我们可以用迭代法 来求问题的近似解。 90 先把已知的初始数据 x0 代入到（6）式的右边， 我们得到 x1 ； 再把所得到的数据 x1 代入到（6）式的右边，我 们又得到 x2 ； 经过这样反复

43、的代入，我们不难算出所要求的所 有xk 。 这种通过反复代入来进行求解的方法，称为迭代迭代 法法。 迭代法是数值计算中非常常用的方法。 阻滞增长模型阻滞增长模型 的的迭代求解迭代求解 91 为了确保人口预报的可靠性，我们同样必须对上面的 阻滞增长模型进行检验。 下表列出了美国19世纪、20世纪的实际人口统计数据 与阻滞增长模型的比较结果。 实际人口统计数据与理论模型计算结果的比实际人口统计数据与理论模型计算结果的比 较：较： 两种理论模型与实际的相对误差的比较两种理论模型与实际的相对误差的比较： 由表中的数据容易看出阻滞增长模型的结果比等比数 列模型的有了很大的改进。 但是预报的人口数和人口增

44、长率与实际情况的误差仍 然相当大，最高误差还超过100%。 阻滞增长模型阻滞增长模型 检验检验 92 实际人口与两种模型计算结果的比较 93 两种模型计算的增长率的相对误差 94 阻滞增长模型已经考虑到了增长率变化的因素， 为什么还有这么大的误差？ 从实际数据与理论数据的比较，我们容易看出 无论是人口数还是增长率的误差都随着时间而迅速 增加，这又是为什么？ 我们回顾一下模型的建立过程，在模型中我们 把参数近似地当成了常数。然而，我们对这些参数 的具体取值的确定却存在着问题。 在确定参数的时候，我们用了1790年、1800 年和1810年的实际人口数据。虽然这些数据是准确 的，但由此得到的参数值

45、却不一定是适当的。 阻滞增长模型阻滞增长模型 误差分析误差分析 95 阻滞增长模型阻滞增长模型 误差分析误差分析 随着时间的推移，误差就会逐渐显现。如果不 能及时地调整，时间相隔的越久，由于积累效应，误 差就越大。 这就很好地说明了实际数据与理论数据的差异。 那么，应该如何来对参数的误差进行调整呢？ “实践是检验真理的唯一标准”。误差是对实际 情况的偏离，调整的标准和方法是充分利用最新的实 际数据。 除了参数之外，对模型在理论上是否也要修正？ “饭要一口一口地吃，事要一件一件地做”， 先调整了参数再看下一步。 96 通过上面的分析，我们发现误差的出现和增加与通过上面的分析，我们发现误差的出现和增加与 确定参数值仅仅用到几个初始数据有关。确定参数值仅仅用到几个初始数据有关。 如果我们利用不同年份的数据，将得到不同的参如果我们利用不同年份的数据，将得到不同的参 数值。数值。 按照模型的假设，参数应当取为常数，怎么取？按照模型的假设，参数应当取为常数，怎么取？ 最简单的办法是对所有可能的参数值求平均数，最简单的办法是对所有可能的参数值求平均数， 一般来说，这样做比较适当。一般来说，这样做比较适当。 对于前面的例子，我们可