第二章-分子动力学理论的平衡态理论PPT课件

1、2021/6/71 2021/6/72 2021/6/73 理想气体的压强由大数分子碰撞器壁而产生，温度是理想气体的压强由大数分子碰撞器壁而产生，温度是 分子热运动剧烈程度的量度和宏观描述；分子热运动剧烈程度的量度和宏观描述； 单个分子遵循力学规律，集体运动遵循统计规律；单个分子遵循力学规律，集体运动遵循统计规律； 处于平衡态的气体分子速率有一个确定的分布，能量处于平衡态的气体分子速率有一个确定的分布，能量 也有一个分布按自由度分布；也有一个分布按自由度分布； 2021/6/74 考虑分子之间，分子与器壁之间频繁的考虑分子之间，分子与器壁之间频繁的碰撞碰撞，考虑，考虑 分子之间的分子之间的相互

2、作用力相互作用力，利用，利用力学规律力学规律和和概率论概率论来讨论来讨论 它们的详情；它们的详情； 它的最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的它的最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的 过程，这个过程是热力学中的不可逆过程；过程，这个过程是热力学中的不可逆过程； 我们将讨论：泻流，粘滞现象，热传导，扩散，悬我们将讨论：泻流，粘滞现象，热传导，扩散，悬 浮粒子运动，化学反应等。浮粒子运动，化学反应等。 2021/6/75 是从对物质的微观结构和相互作用的认识是从对物质的微观结构和相互作用的认识 出发，采用出发，采用概率统计概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的方法来说明或预言由大量粒子组

3、成 的宏观物体的物理性质；的宏观物体的物理性质； 它认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表它认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表 现，现，。 ，它们都作一些假设或近似假设，其理论都，它们都作一些假设或近似假设，其理论都 要受到实验的检验。要受到实验的检验。 2021/6/76 伽尔顿板实伽尔顿板实 验是有关概率统验是有关概率统 计的最直观的演计的最直观的演 示。示。 这种在大量这种在大量 随机事件的集合随机事件的集合 中出现的规律性中出现的规律性 叫叫。 2021/6/777 少数分子无规律性 大量分子的统计分布 2021/6/788 二、等概率性与概率的基本性质二、等概率性与概

4、率的基本性质 1、概率的定义、概率的定义 No Image 离散变量xi N N xP i N i lim)( 连续变量x , x-x+dx区间 N xdN dxxfxxfxP N )( lim)()(lim)( 0 x 分布函数分布函数 f(x): xf(x): x处的概率密度（处的概率密度（ x x附近的单位区间内的附近的单位区间内的概率）概率） 2021/6/799 2 2、概率分布函数、概率分布函数 分布函数分布函数 f(x): xf(x): x处的概率密度（处的概率密度（ x x 附近的单位区间内的附近的单位区间内的概率）。概率）。 xN xN xf x )( )( lim 0 dx

5、xf N N xx x x )( 2 1 21 范围内的概率：处于 连续变量x 在 x-x+dx区间概率 N xdN dxxfxxfxP N )( lim)()(lim)( 0 x 分布曲线分布曲线 f(x) x 2021/6/710 在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些（或更在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些（或更 小些）的情况下，每一事件出现的概率都应相等；小些）的情况下，每一事件出现的概率都应相等； 如：抛硬币、掷骰子中各面出现的等概率性。如：抛硬币、掷骰子中各面出现的等概率性。 原因：原因：系统由大数粒子组成系统由大数粒子组成。统计对象越多，其涨。统计对象越多，其涨 落越小，统计

6、平均越正确。落越小，统计平均越正确。 统计物理的基本假定统计物理的基本假定：如果对于系统：如果对于系统 各种可能的状态没有更多的知识，可各种可能的状态没有更多的知识，可 暂时假定一切状态出现的概率相等。暂时假定一切状态出现的概率相等。 2021/6/711 2.2.概率相乘法则：概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关的事件同时或依次发生的，互不相关的事件 发生的概率等于各个事件概率之乘积发生的概率等于各个事件概率之乘积 P(A,B) = PA PB 3.3.概率的归一化条件：概率的归一化条件： P1+P2+P3+Pi=1 n个互相排斥事件发生的总概率是每个个互相排斥事件发生的总概率是每个 事

7、件发生概率之和事件发生概率之和 PAorB=PA+PB 2021/6/712 12 时：当 N N xN N xNxN x NxNx i ii i i n i ii , 2211 1 三、平均值三、平均值 dxxxfx)( 连续变量连续变量x 离散变量离散变量xi )( ii ii xPx N Nx x 四、平均值的运算法则四、平均值的运算法则 1)x 的某一函数的平均值的某一函数的平均值 dxxfxFxF)()()( )()()( 1 i n i ii xPxFxF 2021/6/713 )()(xfcxfc )()()()(xgxfxgxf )()()()(xgxfxgxf 3).3).常

8、数与随机变量函数的平均值常数与随机变量函数的平均值 4).两个随机变量函数乘积的平均值两个随机变量函数乘积的平均值 2).随机变量函数和的平均值随机变量函数和的平均值 2021/6/714 若任一随机变量若任一随机变量M 的平均值为的平均值为 ，则，则M 在在 附近的偏附近的偏 差差 ，显然，显然 =0 ，但方均偏差不等于零，但方均偏差不等于零 其相对方均根偏差称为其相对方均根偏差称为涨落涨落 )(MMMMM MM MMMMM 2 2 )()( 相对方均根偏差表示了随机变量在平均值附近散开分布相对方均根偏差表示了随机变量在平均值附近散开分布 的程度的程度 2021/6/715 麦克斯韦（麦克斯

9、韦（James Clerk Maxwell 18311879) 19世纪伟大的英世纪伟大的英 国物理学家、数国物理学家、数 学家。经典电磁学家。经典电磁 理论的奠基人，理论的奠基人， 气体动理论的创气体动理论的创 始人之一。始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。的电磁波的存在。 1873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问世，这问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理并驾齐驱，它并驾齐驱，它

10、是人类探索电磁规律的一个里程碑。是人类探索电磁规律的一个里程碑。 在气体动理论方面，在气体动理论方面，1859年提出气体分年提出气体分 子按速率分布的统计规律。子按速率分布的统计规律。 2021/6/716 要深入研究气体的性质，不能要深入研究气体的性质，不能 光是研究一些平均值，光是研究一些平均值， 2 t V ，如 等，还应该进一步弄清分子按速率等，还应该进一步弄清分子按速率 和按能量等的和按能量等的分布分布情况。情况。 个别分子的运动是杂乱无章的，个别分子的运动是杂乱无章的， 但大量分子运动的集体表现存在着但大量分子运动的集体表现存在着 一定的统计规律。一定的统计规律。 2.3 2.3

11、麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 2021/6/717 几个要用的积分公式几个要用的积分公式 高斯积分 2/5 2 2/3 2/1 8 3 4 2 1 3 4 2 2 1 1 2 0 a Qn a Qn a Qn a Qn a Qn ), 3 , 2 , 1 , 0, 0(, 0 2 nadxexQ axn 2021/6/718 由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的 速率是变化的，说某一分子具有多大的运动速速率是变化的，说某一分子具有多大的运动速 率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内 出现的概率。出现的概率

12、。 平衡态的理想气体分子，其热运动速率出现在不同平衡态的理想气体分子，其热运动速率出现在不同 速率间隔区间的几率有无规律性？速率间隔区间的几率有无规律性？ 2021/6/719 19 一、分子射线束实验一、分子射线束实验 实验装置实验装置 No Image No Image No Image No Image 金属蒸汽金属蒸汽 显示屏显示屏 狭缝狭缝 No Image No Image 接抽气泵接抽气泵 2021/6/720 2021/6/721 二二 . 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 1859年年麦克斯韦麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平衡态下，导出了理想气体在无外场的平衡态下，

13、 分子分子速率分布函数速率分布函数为：为： 22/v2/3 v) 2 (4)v( 2 kTm e kT m f m分子的质量分子的质量 T热力学温度热力学温度 2021/6/722 曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条的小窄条 面积面积ds：等于分布在速率：等于分布在速率 区间内的分子数占总区间内的分子数占总 分子数的概率分子数的概率dN/N 。 Sf N N dd)( d vv f(v) 0v v +dv N N f v vv d d)( T，m 一定一定 v f(v)意义是意义是“在速率在速率v 附近，单位速率区间内的分子数附近，单位速率区间内的分子数 占总分子数的比例。占总分子数

14、的比例。” 位速率区间的位速率区间的概率。概率。 对于一个分子来说，对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速率就是分子处于速率 v 附近单附近单 2021/6/723 在在f f( (v v) )vv整个曲线下的面积为整个曲线下的面积为 1 - 1 - 归一化条件。归一化条件。 速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 21 vv 1d )( d 0 0 vvf N N N 归一归一化条件化条件 v )(vf o 1 v S 2 v 2 1 v v dvvf N N S :S 2021/6/724 可分成三部分记忆该可分成三部分记忆该公式公式： 第一部分：第

15、一部分：4 4 v v2 2dvdv是是“球壳球壳”的体积，而的体积，而“球壳球壳”全方位的高全方位的高 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现； kT mv e 2 2 第二部分：第二部分： 是分子热运动速率取值不等几率的表现。值得注意，这个指是分子热运动速率取值不等几率的表现。值得注意，这个指 数衰减律的结果没有单位，数衰减律的结果没有单位，mvmv2 2/2/2是分子热运动的动能，是分子热运动的动能，kTkT是是 体系能量状态特征量，具有能量的量纲。所以指数衰减的指体系能量状态特征量，具有能量的量纲。所以指数衰减的指 数部分

16、是热运动的动能与体系能量状态特征量之比，对于大数部分是热运动的动能与体系能量状态特征量之比，对于大 的速率，指数衰减的速度比的速率，指数衰减的速度比v v2 2增加的速度快得多，二者共同增加的速度快得多，二者共同 影响的结果，分布函数值必然较小。影响的结果，分布函数值必然较小。 2 2 2 3 2 2 4 kT mv e kT m vf 2021/6/725 第三部分：第三部分： 是是归一化因子归一化因子。这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没。这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没 有单位，有单位，4 4 v v2 2dvdv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，具有速度立方的

17、单位，分布律只是分子数的比值， 也没有单位，所以归一化因子必须具有也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方速度负立方的单位。的单位。 23 2 / kT m 2 2 2 3 2 2 4ve kT m vf kT mv 2021/6/726 26 三、三种统计速率三、三种统计速率 1 1、最概然速率、最概然速率 v )(vf o p v max f 0 d )(d p vv v vf m kT m kT 41. 1 2 p v m M RT 41. 1 p v或 得得 在一定温度下在一定温度下,气体分布在最概然速率气体分布在最概然速率 附近单位速附近单位速 率间隔内的相对分子数最多率间隔内的

18、相对分子数最多 . . p v 物理意义物理意义 与与 f( (v) )极大值相对应的速率。极大值相对应的速率。 2021/6/727 1 2/1 8 )( e kT m f p v 当分子质量当分子质量 m 一定时，有一定时，有 )( p p f T v v m kT2 p v 大的分子数比例越大大的分子数比例越大, 气体分气体分 子的热运动越激烈。子的热运动越激烈。 左图表明：左图表明： 温度越高，速率温度越高，速率 T 一一 定，定，m2 m 1, 速速 率分布曲线如何？率分布曲线如何？ N2 分子在不同分子在不同 温度下的速率分布温度下的速率分布 f(v) 0vp1vvp2 1200K

19、 300K 2021/6/728 M 8RT m 8kT 0 f(v)dvvv 2. 平均速率：平均速率： 讨论分子的速率分布时用讨论分子的速率分布时用 p v 讨论分子碰撞问题时用讨论分子碰撞问题时用 v M 3RT m 3kT v 2 3. 方均根速率：方均根速率： m 3kT f(v)dvvv 0 22 73. 1 : 60. 1 : 41. 1 2 v : v : v p 讨论分子平均平动动能时用讨论分子平均平动动能时用 2 v 2021/6/729 29 m kT2 p v m kT 8 v m kT3 2 v N2 分子在不分子在不 同温度下的速率分同温度下的速率分 布布 KT12

20、00 1 1p v 2p v KT300 2 v )(vf o 同一温度下不同气同一温度下不同气 体的速率分布体的速率分布 2 H 2 O 0p v pH vv )(vf o 2021/6/730 课堂练习课堂练习1速率分布函数速率分布函数 的物理意义为：的物理意义为： （）具有速率（）具有速率 的分子占总分子数的百分比的分子占总分子数的百分比 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子 数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比 （）具有速率（）具有速率 的分子数的分子数 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子

21、 数数 vf v v v v （）（） 2021/6/731 练习练习2、下列各式的物理意义分别为、下列各式的物理意义分别为: (1)vvfd)( (2)vvNfd)( (3) 2 1 d)( v v vvf (4) 2 1 d)( v v vvNf 速率在速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比 速率在速率在v-v+dv内的分子数内的分子数 速率在速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比 速率在速率在v1v2内的分子数内的分子数 2021/6/732 练习练习3在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克在平衡状态下，已知理想气体分子的

22、麦克 斯韦速率分布函数为斯韦速率分布函数为 、分子质量为、分子质量为 、最可几、最可几 速率为速率为 ，试说明下列各式的物理意义：，试说明下列各式的物理意义： )(vfm P v （）（） 表示表示_； P v dvvf （）（） 表示表示_ 0 2 2 1 dvvfmv 分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值 分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占 的百分率的百分率 P v 2021/6/733 讨讨 论论 速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算之间的气体分子的平均速率的计算 2 1 2 1 21 v v v v vv dvvf dvvv

23、f v )( )( 2 1 21 v v vv dvvvfv)( 对于对于v的某个函数的某个函数g(v)， 一般地，其平均值可一般地，其平均值可 以表示为以表示为 0 0 dvvf dvvfvg vg )( )()( )( 0 dvvvfv)( N vdN 2021/6/734 练习练习4已知分子总数为已知分子总数为 ，它们的速率分布函数，它们的速率分布函数 为为 ，则速率分布在区间，则速率分布在区间 内的分子的内的分子的 平均速率为平均速率为 N )(vf 21 vv 2 1 v v dvvvf 2 1 2 1 v v v v dvvf dvvvf 2 1 v v dvvNvf N dvvv

24、f v v 2 1 （A） （C） （B） （D） （B） 2 1 2 1 2 1 2 1 v v v v v v v v dvvNf dvvvNf dvvNf vdN v 2021/6/735 讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？ （A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值. （C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比

25、 率最大率最大. p v p v p v p v 2021/6/736 氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示. 解解 例例1 求求 (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 1000 He 2 H m/s1000 104 2 3 RT m/s1041. 1)( 3 2 Hvp )( 2 3 )( 2H 2 2 Hvpv m/s1073. 1 3 M RT He 2 ) p (v )(vf )m/s(v O (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 2 2 4

26、)H( )( )( )H( 2p 2p m Hem Hev v 2021/6/737 有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为 0 00 00 20 2)( 0 vv vvvv vvvv af a (1) 作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数 解解 例例2 求求 0 3 2 v a 1 2 1 00 aavv (1) 由归一化条件得由归一化条件得 1dd 0 0 0 2 0 0 v v v vv v v a a a 0 v )(vf 0 2vv O 2021/6/738 (2) 因为速率分布曲

27、线下的面积代表一定速率区间内因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内 的分子与总分子数的比率，所以的分子与总分子数的比率，所以 3 2 3 2 0 0 v v 因此，因此， vv0 的分子数为的分子数为 ( 2N/3 ) 同理同理 vvp分子数： 同理速率处于v2vp分子数： 954. 0)2(2 2 4 erfe v )(vf o p v max f 43%57% 2021/6/760 由由Maxwell速度分布函数，速度分量速度分布函数，速度分量v x处于处于02vp 的分子的概率的分子的概率 例 习题 2.4.5, 求Maxwell速度布中分量vx大于2vp量的 分子数占总分子数的比率

28、。 f(vx) 0 Vx 0024. 0 N )v20(N 5 . 0 N )v2v(N ppx 4976. 0)2( 2 1 )exp( 1 )( )20( 2 2 0 2 0 erfduudf N vN xxxx p p vv v 速度分量处于速度分量处于vx2vp分子的概率分子的概率 例例.，例，例 2.3 2021/6/761 61 2.5 2.5 气体分子碰撞数及其应用气体分子碰撞数及其应用 的证明一、 4 vn 单位体积内的分子数n ,单位面积为dA， 求单位时间内碰在单位面积上的总分子数。求单位时间内碰在单位面积上的总分子数。 dtv x dA a b c y z x 0 202

29、1/6/762 dtvdAdnVdndN dvnfdndvNfdN x xxxx )()(vv 对于的各种速度求和对于的各种速度求和 dAdtvn m kT ndAdt m kT ndAdt kT m kT m ndAdt dv kT mv v kT m ndAdt dAdtdfvnN x x x xxx 4 1 ) 16 8 ( ) 2 ( ) 2 (2 1 ) 2 ( ) 2 exp() 2 ( )( 2/1 2/1 2/1 2 2/1 0 0 vv 速度分量速度分量v x处于处于v x v xv x的分子数的分子数 kT22 kT nvn 4 1 nkTP m P m 对于理想气体： d

30、tv x dA a b c y z x 0 2021/6/763 63 3 2 vnm p 二、气体压强公式 x zyx mv dA vvv 2时施于的冲量 作完全弹性性碰撞分子对 的、一个速度分量为 2 0 2 0 )(2 )()( )(2 2)()( xxxx xxxx xx xxx vnmdvvvfnm dAdt I p dAdtdvvvnfvdN vdNmvI mvvdNvI vxdt x y z vydt vzd t dA o B m kT 2 1 3 , 3 2 2 222 vnm p v vvv zyx 2021/6/764 3 , 3 2 2 222 vnm p v vvv z

31、yx 2021/6/765 65 三、简并压强三、简并压强 四、泻流及其应用四、泻流及其应用 2102 222 2733 107 . 3 5 2 3 1 5 3 , 2 1 0 ,1067. 164,109 . 8 mNE m vnmp vvvmEKT kgmmkg FeF FFeF 时，铜的当 铜 2021/6/766 2 1 1 4 0 n n t dn nV Adtv 4 )( )( Adtvtn tdN s RT M A V Av V t n n e V Atv n n 101 8 44 1ln /1 4 ln 1 2 1 2 可得： 时，到当容器中的分子数减少 解：在dt时间内在面积

32、为A的小孔中流出的分子数为 例 习题 2.5.1, N（t）为容器内的分子数，两边除以体积V 得： V Adtvtn tdn 4 )( )( 2021/6/767 2 1 1 4 0 n n t dn nV Adtv 4 )( )( Adtvtn tdN s RT M A V Av V t n n nkp V Atv n n 60. 2 8 10ln 1610ln16 10ln4 P P lnln T 4 ln 1 2 1 2 1 2 可得： ，当温度不变时由于 解：在dt时间内在面积为A的小孔中流出的分子数为 例 习题 2.5.3, N（t）为容器内的分子数，两边除以体积V 得： V Adt

33、vtn tdn 4 )( )( 2021/6/768 若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的 外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中 气体分子在空间位气体分子在空间位 置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布 ? 气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何 在麦克斯韦速度分布律中，在麦克斯韦速度分布律中， dvve kT m NdN kT mv 2 2 23 2 2 4 )( A 2 2 1 mvEk dvvAedN kT Ek 2 4 2.6 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 2021/6/769 玻尔兹曼对麦克斯韦分布律的推广：玻尔兹曼对麦克斯韦分布律的推广： (1)分子在外力场中分子在外力场中 pkk

34、 EEEE (2)粒子的分布不仅按粒子的分布不仅按速率区间速率区间vv+dv分布，还应分布，还应 按按位置空间位置空间xx+dx,yy+dy,zz+dz分布。分布。 分子势能分子势能 dxdydzenNd kTE p 0 dN气体处在空间任意小体积元气体处在空间任意小体积元dxdydz中的分子数中的分子数 n0势能等于零处的分子数密度势能等于零处的分子数密度 气体分子按势气体分子按势 能分布的特点能分布的特点 dxdydz Nd n kTE p enn 0 2021/6/770 Ni EEEE, 21 能级能级 kTE i i ecN 粒子能量取分立值的情况下玻尔兹曼分布粒子能量取分立值的情况

35、下玻尔兹曼分布 对于任意两个能级，有对于任意两个能级，有 kTEE ec N N )( 12 1 2 2121 NNEE 则, 在正常状态下，能级越低，粒子数越多。在正常状态下，能级越低，粒子数越多。 粒子总是优先占据低能级状态。粒子总是优先占据低能级状态。 处于处于Ei状态状态 的粒子数的粒子数 2021/6/771 例例 氢原子基态能级氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级，第一激发态能级 E2=-3.4eV，求出在室温，求出在室温T=270C时原子处于第时原子处于第 一激发态与基态的数目比。一激发态与基态的数目比。 解：解： 102.394 3001038.1106.12.1

36、0 )( 1 2 1058.1 2316 12 e e e N N kTEE 在室温下，氢原子几乎都处于基态。在室温下，氢原子几乎都处于基态。 2021/6/772 例例由玻尔兹曼分布律证明恒温气压公式由玻尔兹曼分布律证明恒温气压公式 kTmgh ePP 0 式中式中P0为为n=0处的大气压强，处的大气压强，P为为h处的大气压强，处的大气压强， m是大气分子质量。是大气分子质量。 证：证： kTE p enn 0 mghE p kTmgh enn 0 由气体状态方程由气体状态方程nkTP , 00 kTnP kTmgh enn 0 kTmgh ePP 0 大气密度和压强随高度增加按指数规律减小

37、大气密度和压强随高度增加按指数规律减小 （高空空气稀薄，气压低）（高空空气稀薄，气压低） 2021/6/773 kTmgh ePP 0 Rk m h RT g ePP 0 两边取对数两边取对数 P P RT g h 0 ln 测知地面和高空处的压强与温度，测知地面和高空处的压强与温度， 可估算所在高空离地面的高度。可估算所在高空离地面的高度。 实际实际 应用应用 2021/6/774 74 二、等温大气标高二、等温大气标高 定义定义大气标高：大气标高： gM RT mg kT H m 大气标高大气标高是粒子按高度分布的特征量，它反映 了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。 2021/6

38、/775 1) )平动平动 质点质点 例例1 自由运动的自由运动的质点质点 (三维空间三维空间) 3 个个 平动自由度平动自由度 记作记作 t = 3 若受到限制自由度降低若受到限制自由度降低 平面上平面上 2个个 平动自由度平动自由度 t=2 直线上直线上 1个个 平动自由度平动自由度 t=1 任一直线形成一组平行线任一直线形成一组平行线 2021/6/776 76 2) )转动转动 3) )振动振动 3 个个 平动自由度平动自由度 记作记作 t = 3 3 个个 转动自由度转动自由度 记作记作 r = 3 若受到限制自由度降低若受到限制自由度降低 2021/6/777 原子间距离不会改变的

39、分子。原子间距离不会改变的分子。 原子间存在相对振动的分子。原子间存在相对振动的分子。 组成分子的原子都连接在一条直线上。组成分子的原子都连接在一条直线上。 （同自由质点）（同自由质点） 三个平动的自由度三个平动的自由度 刚性：刚性： 非刚性：非刚性： 五个（五个（3个平动，个平动，2个转动）个转动） 六个（六个（3平动平动,2转动转动,1振动）振动） 刚性：刚性： 六个（六个（3个平动，个平动，3个转动）个转动） 非刚性：非刚性： 3N 个个 线性分子（线性分子（3个平动，个平动，2个转动，个转动，3N-5振动）振动） 非线性分子（非线性分子（3个平动，个平动，3个转动，个转动，3N-6振动

40、）振动） 2021/6/778 对于单原子分子组成的理想气体，略去分子大对于单原子分子组成的理想气体，略去分子大 小，只有平动小，只有平动： 刚性双原子分子刚性双原子分子 分子平动：分子平动：t=3 分子转动：分子转动：r=2 3i = 刚性刚性双双原子分子原子分子 1 m 2 m * C y z x 绕绕y轴和轴和z轴转动轴转动 5i = 2021/6/779 非刚性双原子分子：非刚性双原子分子： 非非刚性刚性双双原子分子原子分子 1 m 2 m * C y z x 分子平动：分子平动：t=3 分子转动：分子转动：r=2 分子振动：分子振动：v=1 6i = 2021/6/780 每个的原子

41、各有每个的原子各有3个自由度，个自由度， 系统最多有系统最多有3N个自由度个自由度 : 由由 N N 个原子组成的分子的自个原子组成的分子的自 由度由度 ( (一般性讨论一般性讨论) ) 平动平动 + 转动转动 + 振动振动 t r v 随某点平动随某点平动 t = 3 过该点轴的转动过该点轴的转动 r = 3 其余为振动其余为振动 v= 3N-6 2021/6/781 2 13 22 kt mvkT = 下标下标k表示动能，表示动能，t表示平动。处于平衡态时，分子在表示平动。处于平衡态时，分子在 各个方向的运动是等概率的，有：各个方向的运动是等概率的，有： 2222 1 3 xyz vvvv

42、= 可得：可得： 222 1111 2222 xyz mvmvmvkT= 分子的平均平动动能分子的平均平动动能 对于单原子分子组成的理想气体，略去分子大对于单原子分子组成的理想气体，略去分子大 小，只有平动动能小，只有平动动能： 2021/6/782 处于温度为处于温度为T的平衡态的气体中的平衡态的气体中, 分子热运动动分子热运动动 能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，能平均分配到每一个分子的每一个自由度上， 每每 一个分子的一个分子的的的都是都是kT/2。 能量按自由度均分定理（简称能量按自由度均分定理（简称能量均分定理能量均分定理） 对于振动自由度对于振动自由度, ,由于还有势能由于还

43、有势能, , 故每一个振动故每一个振动 自由度均分的能量为自由度均分的能量为 kT 。 2021/6/783 刚性双原子分子刚性双原子分子 分子平均平动动能：分子平均平动动能： 222 111 222 ktCxCyCz mvmvmv =+ 分子平均转动动能：分子平均转动动能： 22 11 22 kryz JJ =+ 刚性刚性双双原子分子原子分子 1 m 2 m * C y z x m=m1+m2为双原子分子质量为双原子分子质量 , J为转动惯量，为转动惯量，y 和和 z分别是绕分别是绕y轴和轴和z轴的转动的角速度。轴的转动的角速度。 2021/6/784 ktkr =+ 共有共有5个独立的平方

44、项，其中个独立的平方项，其中3个平动，个平动，2个转动。个转动。 刚性双原子分子的平均动能为：刚性双原子分子的平均动能为： 222 111 222 CxCyCz mvmvmv=+ 22 11 22 yz JJ + 5 2 kT= 2021/6/785 非刚性双原子分子：非刚性双原子分子： 这种双原子分子的平均振动能量为：这种双原子分子的平均振动能量为： 22 11 22 vCx vk x =+ 非非刚性刚性双双原子分子原子分子 1 m 2 m * C y z x 12 12 m m mm = + 其中，其中， 称为双原子分子的折合质量。称为双原子分子的折合质量。 2021/6/786 ktkr

45、v =+ 所以非刚性双原子分子的平均能量为：所以非刚性双原子分子的平均能量为： 222 111 222 CxCyCz mvmvmv=+ 22 11 22 yz JJ + 22 11 22 Cx vkx + 共有共有7个独立的平方项，其中个独立的平方项，其中3个平动，个平动，2个转动，个转动， 2 个振动。个振动。 7 2 kT= 2021/6/787 )2( 22 )2(vrtikT ikT vrt， 单原子分子：单原子分子： 平均总动能平均总动能=平均平动动能平均平动动能 3 2 kT i = 3 双原子分子：双原子分子： i = 5 平均总动能平均总动能=平均平动动能平均平动动能+平均转动

46、动能平均转动动能 rt kTkTkT 2 5 2 2 2 3 2021/6/788 以以t、r和和v分别表示分子的平动、转动和振动的自由分别表示分子的平动、转动和振动的自由 度数。则分子的平均能量可表示为：度数。则分子的平均能量可表示为： 1 () 22 i trvkTkT =+= 对单原子分子：对单原子分子： 3 3;0;3, 2 trvikT有有= 对刚性双原子分子：对刚性双原子分子： 5 3;2;0;5, 2 trvikT 有有= 对非刚性双原子分子：对非刚性双原子分子： 7 3;2;2;7, 2 trvikT 有有= 对刚性多原子分子：对刚性多原子分子：3;3;0;6,3trvikT

47、有有= 2021/6/789 1mol理想气体的内能为：理想气体的内能为： 22 AA ii UNN kTRT = 2 Mi UR T = mol理想气体的内能为：理想气体的内能为： M 2 M i dURdT = 当气体的温度改变当气体的温度改变dT,其内能相应地改变其内能相应地改变dU： 2021/6/790 90 dT dQ T Q C T 0 lim 四、理想气体的热容四、理想气体的热容 热容：热容： C=Cm, C=mc Cm为为摩尔热容摩尔热容，c为为比热（容）比热（容） Cm 是是摩尔热容摩尔热容：每摩尔物体的热容；：每摩尔物体的热容；单位：单位：J/mol K c 是是比热容比热容：单位质量物体的热容，：单位质量物体的热容，单位：单位：J/kg K 2021/6/791 物质在物质在等体过程等体过程中，每升高（或降低）中，每升高（或降低）1 1度所吸收度所吸收 的热量。的热量。 定体热容定体热容 ： V V dT dQ C 理想气体等体过程不做功，由能量守恒知，系统吸理想气体等体过程不做功，由能量守恒知，系统吸 收的热量应等于内能的增加，即：收的热量应等于内能的增加，即：dUdQ dT dU C