单位冲激函数

1、1 8.2 单位冲激函数单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质二、单位冲激函数的概念及性质 三、单位冲激函数的三、单位冲激函数的 Fourier 变换变换 一、为什么要引入单位冲激函数一、为什么要引入单位冲激函数 四、周期函数的四、周期函数的 Fourier 变换变换 2 一、为什么要引入单位冲激函数一、为什么要引入单位冲激函数 理由理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行阶跃函数等等，都不能进行 Fourier

2、变换。变换。 (2) 周期函数的周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的级数与非周期函数的 Fourier 变变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。质量等等。 3 一、为什么要引入单位冲激函数一、为什么要引入单位冲激函数 细杆取细杆取 的结果。的结果。0a )(xP )(lim 0 xPa a .0,0 ,0, x

3、x 长度为长度为 a ，质量为，质量为 m 的均匀细杆放在的均匀细杆放在 x 轴的轴的 0 , a 区间区间 引例引例 )(xPa .,0 ,0, 其它其它 axam 上，则它的线密度函数为上，则它的线密度函数为 质量为质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于 显然显然 , 该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息 , 相应地，质点的密度函数为相应地，质点的密度函数为 P191 例例 8.5 4 二、单位冲激函数的概念及性质二、单位冲激函数的概念及性质 1. 单位冲激函数的概念单位冲激函数的概念 (1) 当

4、当 时，时， 0 t;0)( t (2) .1d)( tt 显然，借助单位冲激函数，前面显然，借助单位冲激函数，前面引例引例中质点的密度函数中质点的密度函数 定义定义 )(t 单位冲激函数单位冲激函数 满足：满足： 单位冲激函数单位冲激函数 又称为又称为 Dirac 函数函数或者或者 函数函数。 )(t . )()(xmxP 就可表示为就可表示为 P192 5 二、单位冲激函数的概念及性质二、单位冲激函数的概念及性质 1. 单位冲激函数的概念单位冲激函数的概念 (1) 单位冲激函数单位冲激函数 并不是经典意义下的函数，而并不是经典意义下的函数，而是一是一 个个广义函数广义函数( (或者或者奇异

5、函数奇异函数) )，它不能用通常意义下的，它不能用通常意义下的 “值的对应关系值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质来理解和使用，而总是通过它的性质 注注 )(t 来使用它。来使用它。 (2) 单位冲激函数有多种单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式定义方式，前面给出的定义方式 是由是由 Dirac( (狄拉克狄拉克) )给出的。给出的。 单位冲激函数单位冲激函数 其它定义方式其它定义方式 6 二、单位冲激函数的概念及性质二、单位冲激函数的概念及性质 2. 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质 . )(d)()( 00 tfttftt (2) 对称性质对称性质 . )()(tt

6、 函数为偶函数，即函数为偶函数，即 (1) 筛选性质筛选性质 性质性质 设函数设函数 是定义在是定义在 上的有界函数，上的有界函数， )(tf),( 且在且在 处连续，处连续， 0 t. )0(d)()(fttft 则则 一般地，若一般地，若 在在 点连续，点连续， 0 tt )(tf则则 P192 性质性质 8.1 P193 性质性质 8.2 7 函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点 出发长度为出发长度为 1 的有向线段来表示，的有向线段来表示， 同样有，函数同样有，函数 的冲激强度为的冲激强度为 A。 )(tA 代表代表 函数的积分值

7、，函数的积分值， 称为称为冲激强度冲激强度。 二、单位冲激函数的概念及性质二、单位冲激函数的概念及性质 3. 单位冲激函数的图形表示单位冲激函数的图形表示 t 1 )(t )( 0 tt t 1 0 t )(tA t A 其中有向线段的长度其中有向线段的长度 8 三、单位冲激函数的三、单位冲激函数的 Fourier 变换变换 .1 0 e t tj 由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有 利用筛选性质，可得出利用筛选性质，可得出 函数的函数的 Fourier 变换：变换： tt tj d)(e )(t 即即 与与 1 构成构成Fou

8、rier变换对变换对 )(t .1)(t 相等的幅度，称此为相等的幅度，称此为均匀频谱均匀频谱或或白色频谱白色频谱。 t 1 )(t 1 )(t P194 9 重要公式重要公式 . )(2det tj 称这种方式的称这种方式的 Fourier 变换是一种变换是一种广义的广义的Fourier变换变换。 在在 函数的函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据变换中，其广义积分是根据 函数的函数的 注注 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 三、单位冲激函数的三、单位冲激函数的 Fourier 变换变换 按照按照 Fourier

9、逆变换公式有逆变换公式有 10 )(2 . )(2 )( 1 F t tj d1e 解解 )( 1 tf(1) (2) 将等式将等式 的两边对的两边对 求导，有求导，有 t tj de )(2 tt j tj d)(e , )(2 tt tj de , )(2 j )( 2 F )( 2 tf. )(2 j即得即得 P194 例例8.7 修改修改 11 . )( 1 j 它是工程技术中最常用的函数之一。它是工程技术中最常用的函数之一。 解解 tsgn已知已知 , 2 j , )(2 1 , )1(sgn 2 1 )( ttu又又 )(tu t 1 tsgn )( U得得 1( 2 1 ) 称称

10、 为为单位阶跃函数单位阶跃函数，也称为，也称为 Heaviside 函数函数， )(tu注注 P194 例例8.8 修改修改 12 t tj tj dee 0 t tj d )( 0 e )(2 0 . )(2 0 )( 1 F解解 )( 1 tf(1) (2) 由由 ， t 0 cos )( 2 1 00 ee tjtj . )()( 00 )( 2 F )( 2 tf 有有 tj 0 e tj 0 e ( 2 1 ) 0 0 )( 2 F P194 例例8.7 部分部分 P195 例例8.9 13 四、周期函数的四、周期函数的 Fourier 变换变换 . )()(2)( 00 n nnFF 定理定理 设设 以以 T 为周期，在为周期，在 上满足上满足 Dirichlet 条件，条件， )(zf,0T 则则 的的 Fourier 变换为变换为)(zf 其中，其中， ,/2 0 T )( 0 nF 是是 的离散频谱。的离散频谱。 )(zf 由由 有有 证明证明 n tnj nFtf 0 e)()( 0 . )()(2 00 n nnF t tnjtnj dee 0 n nFF)()( 0 P195 定理定理 8.3 14 附：附： 单位冲激函数的其它定义方式单位冲激函数的其它定义