机械工业出版社-复变函数与积分变换-第2章-解析函数PPT课件

1、第二章 解析函数 12021/6/7 0,0 ; 1,0 zfz zfz 时时取取纯纯虚虚数数趋趋于于当当 时时取取实实数数趋趋于于当当 .lim 0 不不存存在在 z f z 42021/6/7 (2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数). 证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有 1 0 0 1 00 21 0 0 0 )( lim limlim 0 00 n nnn zz nn zzzz nz zz zzzzzz zz zz z -实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广

2、52021/6/7 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) )0)( , )( )( )()()( )( )( 2 zg zg zgzfzgzf zg zf .0 )( )( )( )( 10 外）处处可导在复平面上（除分母为 导；在整个复平面上处处可 由以上讨论 zQ zP zR zazaazP n n 62021/6/7 复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，

3、其中: w=f (z) 与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0。 )( 1 )( w zf ?)(, ;),()(, 2 2 的的可可导导性性复复函函数数中中 内内可可导导在在实实函函数数中中 zzf xxf )1(zwyiyezfzw x ； 例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析： 解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则 析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zw y v x u y v x v y u x u 10 01 282021/6/7 解解(2) f (z)=ex(co

4、sy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny 在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)( cossin sincos yiyezf y u x v y v x u ye y v ye x v ye y u ye x u x xx xx )(sincos)( zfyieye x v i x u zf xx 292021/6/7 仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件，故条件，故 。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在0 2 zzw 解解 (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则 0022 y v x v

5、y y u x x u 302021/6/7 例例2 求证函数求证函数 .0 ),(),( 2222 dz dw iyxz yx y i yx x yxivyxuw 处解析，并求在 证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数， 且满足且满足C-R条件：条件： , )( 222 22 yx xy y v x u 222 )( 2 yx xy x v y u 故函数故函数w=f (z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为 312021/6/7 2222 2 222222 22 1 )( )( )( 2 )( zyx iyx yx xy i yx x

6、y x v i x u z w DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若 例例3 复复常常数数）()( 0 0 1 )( 2121 CiCCzfCvCu vuvu vu i ivuzf yyxx yyxx 证明证明 322021/6/7 No Image 例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且 确定确定,)2(,) 1(2),(uifyxyx 。),(yxv 332021/6/7 ?)(, )()( 2222 在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数 若若 zfdcba ydxycxibyaxyxzf 练习练习:

7、 a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2 342021/6/7 sin 2 )sin( 同理同理 zize z iz sincos Euler,)3()4 成成立立公公式式对对一一切切式式由由 思考题思考题 . 1cos, 1sin: ,cos,sin zz zz 有类似的结果有类似的结果 是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数 显得由 2 )cos( yy ee iy 422021/6/7 三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些 及及指指数数函函数数由由正正弦弦和和余余弦弦函函数数定定义义)5 1cossin sincoscossin)sin( sin

8、sincoscos)cos( 22 212121 212121 zz zzzzzz zzzzzz iyxiyxiyx iyxiyxiyx sincoscossin)sin( sinsincoscos)cos( 432021/6/7 )4( 2 sin 2 cos ishy i ee iy chy ee iy yy yy 由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得 xshyixchyiyx xshyixchyiyx cossin)sin( sincos)cos( z z z z z z z z z z sin 1 csc cos 1 sec sin cos cot cos sin tan

9、其它三角函数的定其它三角函数的定义义(详见详见P43) 442021/6/7 chyiy shy i ee iyy yy cos 2 sin )4()7 当当 式式知知由由 )(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点 Zkkzz 2 cos 的零点为的零点为 .1sin, 1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz 452021/6/7 ) 1 ( thz cthz chz shz thz 22 zzzz ee chz ee shz 定义定义 称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数 q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的

10、性质 为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1 奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz,)2 462021/6/7 . , , 一一定定是是多多值值函函数数 反反函函数数且且是是周周期期函函数数，故故它它的的定定义义的的 函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数 yishxychxiyxch ychiyyishiy sincos)( cossin)4 由由定定义义 析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshz chzshzshzchz )()()3 472021/6/7 三三. 对数函数对数函数 定义定义 指数函数的反函数称为对数函数

11、。即，指数函数的反函数称为对数函数。即， Lnzw zfwzze w 记作记作称为对数函数称为对数函数 的函数的函数把满足把满足 , )()0( )(2,lnZkkvruree rezivuw iivu i 那么那么令令 ), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0( )2(arglnArgln k kzizzizLnz 或或 (1) 对数的定义对数的定义 482021/6/7 .2 , ,)0( 的的一一个个整整数数倍倍相相差差 其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值 的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数；它它实

12、实部部是是 它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zz zz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw , )(, )2(lnargln ,0 主值支的主值称为的一单值函数为 时当 记作 LnzLnz zzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故 492021/6/7 .(负数也有对数).(负数也有对数) , ,LnzLnz1)1) 复数都有意义复数都有意义 对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正数有意义 w ZkikaLnz azLnzaz 2ln lnln0 的的主主值值当当例例如如 ikaLnz iazLnzaaz )12(ln lnln)0

13、( 的的主主值值当当 A .,这与实函数不同多值性 了对数函数的指数函数的周期性导致 2)2) 502021/6/7 (2) 对数函数的性质对数函数的性质 21 2 1 2121 ,)()1LnzLnz z z LnLnzLnzzzLn .ln:)2处处连续在除去原点与负实轴外连续性z ,arglnln:zizz 主主值值 ;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z .arg 连续在原点与负实轴上都不而z .ln,在在复复平平面面内内处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z 512021/6/7 0)( eeez ze d dz z dz d111 )(ln z z

14、 1 )(ln 即即 .ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平面内解析在除去原点与负实轴的解析性z z Lnz Lnz 1 )( 且且 负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和 .,2zie z 求求设设 例例4 , 1, 02 2 2ln kikiz 522021/6/7 四四. 乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 b a b z q 乘幂乘幂ab , 0, aba且且为为复复数数设设 定义定义 . bLnab ea 定定义义乘乘幂幂 ., 0,为实数为实数实变数情形实变数情形ba A kiaLna2ln 多值多值 一般为多值一般

15、为多值 )2(ln kiabbLnab eea 532021/6/7 .,它它是是单单值值函函数数为为整整数数时时b abab ebkibke lnln )2sin2(cos kbiabkiabbLnab eeeea 2ln)2(ln 为为整整数数当当 b )0,( qqp q p b且且为为互互质质的的整整数数当当 )2(argln)2arg(ln kaiaikaia bq p q p q p eeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk )2(argsin)2(argcos ln ka q p ika q p e a q p q支支 具有具有一般而论一般而论 b a,.无穷多支 54

16、2021/6/7 (2)当当b=1/n(n正整数正整数)时，乘幂时，乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。 A (1)当当b=n(正整数正整数)时，乘幂时，乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。 LnaLnaLna eee LnaLnaLnanLnan eea 个个n aaaa n ka n nnn ia ikaiaLna ee eea 2arg 1 111 ln )2arg(ln ) 2arg sin 2arg (cos n ka i n ka a n )12 , 1 , 0( nk n a 552021/6/7 ik ik Ln eee 22 )21(ln2 1

17、22 1 )2()2(ln 22 kikiii iLnii eeei )2 , 1 , 0( k )sin()cos( 3 4 3 4 )2()2(ln 23 2 23 2 3 2 3 2 kk kiikiiLni i eeei ),2,1,0( k )22sin(22cos( kik )2,1,0( k 解解 .1 3 2 2 的的值值和和、求求ii i 例例5 562021/6/7 q 幂函数幂函数zb 称称为为幂幂函函数数。 得得为为复复变变数数中中，取取在在乘乘幂幂, bb zwza 定义定义 当当b = n (正整数正整数) w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数 为正整数）n n b( 1 n kz nnnn izikzizLnz eeeez 2arg 1111 ln)2arg(ln ) 2arg sin 2arg (cos n kz i n kz z n )12 , 1 , 0( nk n z .解解析析除除原原点点与与负负实实轴轴外外处处处