求解稀疏线性方程组的迭代算法

1、沈 阳 航 空 航 天 大 学 理 学 院本 科 学 位 论 文开 题 报 告论文题目：求解稀疏线性方程组的迭代算法 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 指导教师： 报告时间： 2015 年 3 月 18 日指导教师意见： 导师签字：审查小组意见：组长签字： 成员签字：理学院学位评定分委员会审查意见： 主席签字： 年 月 日开 题 报 告 记 录 记录人： 年 月 日开 题 报 告 纸1. 课题的来源及选题的依据，本课题在国内外的研究动态、目前的水平。在许多工程实际应用中，大规模的稀疏线性方程组的数值解法是时常要遇到的问题。由于线性方程组的维数很大，给具体的计算带来很大的问题，这使得理论上较

2、好的算法无法真正的应用到工程实际中，因此寻求一种真正能实际应用的数值算法一直是人们关注的问题。本课题的目的是给出求解此类方程组的有效算法，使之能够很好的应用到工程实际中。迭代法在上个世纪六、七十年代得到很大发展，Varge R.S，Young和Householder等人都曾在自己的著作中对迭代法有历史性的综述。在迭代法的使用中，比较经典的有雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法。1955年，Peaceman&Rachford提出了求解大规模线性系统的交替方向迭代法，该算法主要运用在求解离散椭圆形微分方程边值问题。然而，以上种种迭代法在一定程度上都依赖于参数，而适当的选取这些参数需要很大的计算代价。针

3、对系数矩阵为对称正定的线性系统，瑞士数学家苏黎世应用数学学院的E.Stiefel和美国国家标准局数值分析研究学会的Magnus.R.Hestens进行了研究，并发表了论文。1952年，二者联合在Journal of Research of the national Bureau of Standards(Vol.49,No.6,December 1952)发表了题为线性系统的共轭梯度法的论文，此法避免了上述困难，也开始了Krylov子空迭代法的时代。经过有限步的迭代可得到线性方程组的精确解，共轭梯度法在发展的初期被认为是一种直接法。到1959年，M.Engeli等人第一次把共轭梯度法列入迭代法

4、的类型。Reid后来建议把共轭梯度法运用到求解大型稀疏线性方程组，并认为是一种有效的迭代法。目前，迭代法在我国也有相当高的研究水平，比如于1986年熊西文教授提出的求解大型稀疏线性方程组的中心线法，这种方法具有大范围收敛、计算量小、精度高等优点。2. 开展研究工作的设想，准备在哪些方面取得进展和突破，课题的最终目标以及可能达到的水平。 对于研究工作，我想在前人的基础上，可以提出自己的一些东西，这其中当然包括查阅大量的学术文献等等。现在打算可以在最后的数值案例中，将理论方法与实际例子相结合，通过运行结果来发现方法的优缺点。关于最终目标，暂无太多的想法，希望可以顺利完成，当然，我也会认真的独立自主

5、的去做好毕业设计。3. 课题研究拟采用哪些方法和手段。 首先查阅相关资料，大致了解一下该课题在国内外的发展状况，寻找一些与我课题相近的一些论文。在前辈们的基础上，我试着去寻找新的方法，通过MATLAB编程，将我的方法运用到实际例子中，通过对实际例子的操作结果来发现方法的优缺点。4. 论证完成课题的实验条件，预计研究过程中可能遇到的困难和问题，以及解决的方法和措施。困难有很多。首先，我需要了解很多的概念，定理，定义等等。这些概念，定理，定义在我本科学习中很多都没有学过，所以，在我开始我的课题的时候，我需要查很多资料，来对这些概念有初步的了解。其次是编程，因为最后需要通过实际例子来检验这种方法的正

6、确性，优缺点等等，有了理论，就得把理论加以实践的检验，最后的编程也会是一个很大的困难。5.论文工作计划（分时间段的具体安排和实施内容）。3月1日-3月18日：完成相关论文英文版的翻译，准备毕业论文开题报告。3月19日-4月1日：完成论文课题的背景，简要介绍一些线性方程组的概念，求解线性方程组的一些经典迭代法。此时开始着手论文的书写，争取完成论文部分的一半以上。4月2号-4月25日：完成论文后半部分即核心部分的书写，查阅相关资料并编程，然后通过数值例子加以验证，分析结果。4月26日-4月30日：论文修改，排版，整理。 参考文献：1Varga R S.Matrix iterative analys

7、isM.NJ:Prentice-Hall, Englewood Cliffs 19622Young D M.Iterative Solution of large systemM.New York:Academic Press,19713Hackbusch,Wolfgang.Iterative solution of large systems of equationsM.New York:Springer-Verlag,1994.4Lu Hao.Stair Matrices and their generalizations with applications to iterative meth