10组合变形优质资料

1、10组合变形I(!IyIy图10.1起重机构ACB梁受力分析图10.2传动轴受力分析10.1组合变形的概念和实例分析组合变形问题时，通常是先把作用在杆件上的载荷向杆件的轴线简化，即把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变 形。工程中，常见的组合变形主要有斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲的组合、弯曲与扭 转的组合。下面讨论这三种组合变形的强度计算问题。10.2斜弯曲10.2.1斜弯曲时横截面上的应力外力简化py 二 Pcos,PzPsin内力：M z =巳（I - x） = Pcos （I - x） = M cos :My =FZ（I -x） = Ps i n （I -x

2、） = M s in式中M二P（| -x）是集中力P在横截面m-n上所引 起的弯矩，在计算中可取绝对值。应力：任意截面m-n上任意点C（y，z）处的应力 可采用叠加法计算。在xy平面内的平面 弯曲（由于Mz的作用）产生的正应力为 M zy M co sC = =yIzIz由于在xz平面内的平面弯曲（由于M y的作用）产 生的正应力为” M yZ M s i 榊zw=三三=图10.4斜弯曲分析参考图占八、CT =CT1022M zy M yZZyMIzIy斜弯曲时的强度计算应cos si y +zI zI y jmax(10.1)cos sin :L TZ1强度条件为（10.2）对于有棱角的矩形

3、截面，根据图10.4所示的应力分布，公式（10.2）还可写成 M y max * M zmaxWyWzmax（10.3）若材料的抗拉强度和抗压强度不同，则应分别对D1点和D2点都进行强度计算。cossinzyZo=0cos sin门-y。-z。 = 0I zI y因为M=0 ，所以有（10.4）此即斜弯曲时的中性轴方程。设中性轴与z轴的夹角为，根据公式（10.4）有tan 二丄 tgZ0 Iy由式（10.5）可得出以下两点结论：(10.5)（1）对于h Gz的截面，则1。这表明此种梁在发生斜弯曲时，其中性轴 与外力P所在的纵向平面不垂直（图10.5b）。 对于圆形、正方形及其他正多边形截面，由

4、于Iy = Iz，故可由式（10.5）得，这说明中性轴总是与载荷所在的纵向面垂直，即此类截面的梁不 会产生斜弯曲。10.2.3斜弯曲的变形计算f 一 y 3EIZ3EIy2zPcos :l33EIZP cos l33Ely图10.6斜弯(10.6)10.6b),设总挠度f与y轴的夹角为：tgy Iy（10.7）中性轴及外力P的位置之间的关系，现作进一步讨论： 由式（10.7）知，若梁的横截面Iy Iz，则：；：，这说明梁在变形则有关于挠度、tan :=（图(1)后的挠曲线与外力P所在的纵向面不共面，因此，称为斜截面。 对于Iy = Iz的横截面（如圆形、正方形），则匕仝，即挠曲线与外力 在同一

5、纵向平面内。这种情况仍是平面弯曲。实际上，对于 5z的横截面，过 截面形心的任何一个轴都是形心主惯性轴。因此，外力作用将总能满足平面弯曲 的条件。（3）由式（10.5）及式（10.7）知：中性轴与z轴的夹角等于挠度与y轴 的夹角 二 即和平面弯曲一样，斜弯曲时，中性轴仍垂直于挠度 f所在的平面。【例题10.1】例10.1图所示结构的梁为16号工字钢，材料为Q235-A钢，二 =160MPa, E=200GPa,载荷 P 与 y 轴的夹角=20，P=7kN 梁的跨度 l=4m。 试校核梁的强度及计算梁中点的挠度。解：外力分析将P沿y轴和z轴分解，得Py 二 Pcos =7cos20 = 6.58

6、kNPz = Psi n =7si n202.39kNPy和Pz将分别使梁在xy和xz平面内产生平面弯曲。 内力计算任一横截面上，由Py和Pz作用产生的弯矩分别为Mz和My,其内力图见图（6和（c）。显然，在梁中点C处，M 故为危险截面。Pyl 6.58 46.58kN44Pzl 2.39 42.39kN44和M y同时取得最大值,M zmaxM ymax 强度计算在作用下，截面C的下边缘拉应力 最大，上边缘压应力最大。在 生最大拉应力， 两边缘的交点 压应力（图d）查型钢表，My作用下，前侧边缘产 后侧边缘产生最大压应力。应力叠加后, D1和D2点分别产生最大拉应力和最大o对于16号工字钢,

7、I z =1130cm4, Iy = 93.1cm4, W, = 141cm3,3Wy = 21.2cm。由公式（10.3） M zmax M ymaxWzWy-max6.58 1 032.39 1 03=+21.2 10141 10例10.1图工字钢结构梁= 159.4 106Pa = 159.4MPa :故满足强度条件。 若载荷不偏离Pl 7 疋4M max7kN m44故最C截面弯矩最大max-maxWz7 103141 10占= 49.6 106Pa = 49.6MPa 挠度计算 在py和pz作用下，C截面形心沿y方向和z方向的挠度分 别为所以，总挠度为333Pyl _6.58 104

8、48EI z 一 48 200 109 1130 10Pzl32.39 103439_848EIy 48 200 1093.1 10=3.88 10 m=17.1 10m3.88mm17.1mm二 弋 F .3.882 17.12 = 17.5mmf z17.1tan P =4.4挠度f与y轴的夹角：（图d）为fy 38810.3拉伸（压缩）与弯曲的组合变形图10.7（ a）所示为 一等直杆，两端铰支，载 荷P2为作用在梁跨度中 点C截面上的横向力，而 P为作用于杆两端的轴 向拉力。我们以此为例， 说明杆在拉（压）与弯曲 组合时的强度计算问题。 外力分析 内力分析fl图10.7拉（压）与弯曲组

9、合变形分析10.3.1拉（压）与弯曲组合时的强度计算应力分析 在C截面上，与轴力N对应的正应力；在横截面上均匀分布（图10.7c）其值为：-A而与Mmax对应的弯曲正应力在横截面上沿截面高度线性分布（图10.7d），其值为最大弯曲正应力在 C截面的上、下边缘，其值为Wz 4Wz强度计算强度条件可表示为N . MmaAW,（10.8）【例题10.2】例10.2图所示为一悬臂式吊车架，在横梁AB的中点D作用一集中载荷P=25kN，已知材料的许用应力 二=100Mpa,若横梁AB为工字型梁，试 选工字钢型号。解：横梁AB受力分析 取横梁AB为研究对象，如图（b）所示，由静力平衡条件解得T = 25k

10、N, HA =21.6kN, VA =12.5kN将T沿梁的轴线及梁轴线垂直的方向分解，分别为 和T2，则有Ti 二 Tcos30 -253 =21.6kN21 T2 =Tsi n30 =2512.5kN2可见，在T1和Ha作用下，梁承受轴向压缩；在P、T2和 Va作用下，梁发生弯曲变形。因此，横梁 AB承受的是压缩 与弯曲的的组合。内力分析 横梁AB的轴力图及弯矩图如图（c）和（d） 所示。显然，危险截面是 D截面。其轴力和弯矩值分 别为N - -T - -21.6kN1MPl125 2.6 =16.25kN4截面设计对于工字形梁，抗拉强度与抗压强度相同。在例10.2图悬臂式吊车架D截面的上

11、边缘。叠加后的正应力绝对值（压应力）达到最大值，故为危险点,maxx所以强度条件为WzEr上式中，有两个未知量，即横截面积 A和抗弯截面模量 W。所以，仅由上 式无法确定工字钢型号。工程中一般采用试算法。即先不考虑轴力 N的影响， 只根据弯曲强度条件初选工字钢型号， 然后再根据拉（压）弯组合的强度条件进 行强度校核。W由弯曲正应力强度条件3Mmax 16.25 10 W一 100= 162.5 10m3 =162.5cm332查型钢表，选取18号工字钢，W =185cm , A = 30.6cm强度校核 将以上数据及已求得的N和M max值代入拉（压）与弯曲组合 的强度条件N +Mmax-21

12、.6F0316.25D03A W30.6 0*185X10匚max=94.9MPa S故选取18号工字钢满足强度条件。试算中，若初选出的工字钢型号，拉（压） 弯组合的危险应力大于许用应力则应重新选取工字钢。1032 偏心压缩（拉伸）现通过例题说明此类问题的强度计算。【例题10.3】小型压力机的铸铁框架如例10.3图（a）所示。已知材料的许用拉 应力 匕=30MPa，许用压应力c60MPa，载荷P=42kN，立柱的截面尺寸如 图（b）所示。试校核立柱的强度。例10.3图压力机铸铁框架解：截面几何性质计算a=15 10 m ,z7. 5 cm，二53 4 2. 5c外32Me =4210 汇(35

13、+7.5)汇 10 =仃.85汉103N mMy 二 Me =17.85kN mP = 42kN内力分析 N=P=42kN强度计算3” N 42江10 c C 6厂c c一 c3 =2.8 10 Pa =2.8M Pa A 150与弯矩My对应的正应力沿z轴线性分布，并由公式计算。最大弯曲拉应力和压应力分别是MyZ017.85 103 7.5 10，M yZ1IyJ tmax-cmax5312.5 10*6= 25.2 10 Pa = 25.2MPa忆85 103 (2 -7.5) 10二 A?。16Pa = 42MPa5312.5 10”从图（d）看出，叠加以上两种应力后，在截面的内侧边缘上

14、发生最大拉应L力，且口 tmax = 口 * D tmax = 2.8 *25.2 = 28MPa 在截面的外侧边缘上，max42 -2.8 =39.2MPa : - :故立柱满足强度条件。【例题10.4】如例10.4图所示，短柱受载荷 角点A，B，C和D处的正应力。发生最大压应力，且P和H的作用，试求固定端截面上解：外力分析：立柱承受的是斜弯曲与压缩的组合。 内力分析固定端截面为危险截面，内力为N=P = 25kN33M y = my = Pe = 25 1025 106 2 N m333Mz=H 600 10=5 10600 10=3000N m 应力计算与轴力N,对y轴的弯矩M y及对z

15、轴的弯矩Mz对应的正应力在横截面的分布如图（b）所示。与轴力N对应的应力值为25 103N25106A 150X00 疋 10 与弯矩M y和M z对 应的最大应力分别为625Wy1 150 1002 1063000Wz1 100 1502 106故四个角点A，B，C 和D的应力分别为.5 1-26 =1.67 106 Pa =1.67 MPaJ :- -1.67 2.5 8 =8.83MPa6 Y Y j67_2.5例8低3.图3M短柱的组合变形二 c-；-厂- -1.672.58 - -12.2MPa匚A -c -1.67 2.587.17MPa10.4扭转与弯曲组合变形F面以图10.9（

16、a）所示机床传动轴为例，来说明处理弯扭组合问题的方法。外力的简化 把外力P和R向C截面形心处简 化，因径向力R过形心，故简化后仍为R，而周 向力P向形心处简化时，将有附加力偶矩（D为齿轮直径）。简化后的力学模型见图 10.9（b）内力计算圆轴在pr作用下，将在xy平面内发 生弯曲变形，横截面上存在弯矩 Mz ；在P力作 用下，将在xz平面内发生弯曲变形，横截面上存 在弯矩My。而在外偶矩m。作用下，圆轴产生扭 转变形，横截面上存在着扭矩T,圆轴内力图如图10.9（c）、（d）、（e）所示。由内力图看出危险 截面为C截面，该截面的内力值分别为y maxPablM zmaxPrabl 对于截面为圆

17、形的轴，包含轴线的任意纵向面都是纵向对称面，所以,0i5T虬图10.9机床传动轴受力分析把Mymax , Mzmax矢量合成后，合成弯矩 M的作用面仍然是纵向对称面，故产生的变形仍为平面弯曲。Mymax, Mzmax的合成弯矩为 M （图 10.10a）M2y max2M zmax应力计算及强度条件合成弯矩M作用的平面垂直于矢量M。在危险截面上与扭矩T对应的剪应力在边缘各点上达到TWt3何(ff)图10.10合成弯矩的方向及危险点应力分析极大值，其值为: 与合成弯矩M对应的弯曲正应力沿线（图10.10b）线性分布，Di D2点正应力达_ _ M到最大值，其值为=W所以在危险截面上，D1、D2弯

18、曲正应力匚、扭转剪应力同时达到最大，这两 点就是危险点。D1点的应力状态如图10.10（ c）所示。由于D1 （或D2 ）点处于二向应力状态，所以需要采用强度理论来进行强度计算。 工程中，承受弯扭组合的杆件常为塑性材料， 故应采用第三或第四强度理论。由 第九章例9.8图10.10（ c）所示的应力状态相当应力分别为：(10.9)工Wt分别(10.10)兀d3nd3n MWt=4-,W=-. O.A.对于圆形截面因为1632，所以Wt =2W，将 W代入上两式得-r3二（M）2 4（Wt）2-r42 +T2 = JM2_+ M 2_+T2 Wymaxzmax（M ）2 . 3（T）2 = 1 M

19、 2 0.75T2 二 1 M 爲x M ZLx 0.75T2 :WWtWW所以圆轴弯扭组合变形由第三强度和第四强度理论建立的强度条件为：6 = ： , M；max M；max T2 (10.11)在截面 D处有铅垂方向的G+3T1 = 300 3 2 103 =6.3kN2G1 +3T1和外力偶矩 mD，它们的值分别为m。- (2- T1)在这些外力作用下，根据平衡条件，求得这些值为Rb=4276N， Hb=3000NAB轴的受力简图如图（b）两个平面内的弯曲与扭转的组合。A、B600 103J32= 2 103 300 10两处的支座反力分别设为RaRa =2233N， H A =6000

20、N，所示。可见，轴AB承受的是作内力图 外力偶mc和mD使轴AB产生扭转，而铅垂 方向的外力G2、G+3T1、Ra和Rb等使轴产生xy平面内的弯 曲，水平面的外力3T2、Ha、Hb使轴在xz平面内产生弯曲。 在这些外力作用下，轴的内力图如图 10.15（c）、（ d）、（e） 所示。C、D两截面处对y轴和z轴的弯矩分别为C 截面.M y = H A 父 0.5 = 6000 疋 0.5 = 3000N m=3kN m Mz=Ra 0.5 =2233 0.5 =1117N m =1.12kN mD截面：My =Hb 0.5 =3000 0.5 =1500N m =1.5kN mMz =Rb 0.

21、5 =4267 0.5 =2134N m = 2.13kN m确定危险截面 将轴的各个横截面上所得的弯矩和M z按矢量合成为一个合成弯矩 M，大小为M = My m；二 600N mHaRB 和 H B。e BJ|)3h例10.5图皮带轮传动轴M沿轴线的变化情况如图（f）所示，称作合成弯矩图。 由合成弯矩图可见，C截面的合成弯矩值最大，因为在CD段内，扭矩T为常数, 故C截面为危险截面，该截面的合成弯矩值为MeMCy+M Cz *32 +1.122 =3.2kN m ； 2 2 2 r4 = p M ymax * M zmax * 0.75T 兰（10.12）【例题10.5】在例10.5图（a

22、）所示的传动轴AB上，C处皮带轮作用着水平方 向的力，D处皮带轮作用着铅垂方向的力。已知皮带张力 T1=2kN，=3kN，皮 带轮自重G1=300N, G2=200N,轴的直径d=76mm,许用应力 =80MPa，试用 第四强度理论校核轴的强度。解：外力简化将两个皮带轮的张力向轮心简化，可知，在C截面处有铅垂方向的力G2和水平方向的力，以及外力偶mC，这些值分别为G2 二 200N,3T2 = 3 3 二 9kN400_33_3mc=(2T2-T2)10 =3 10200 10 =600N m校核强度1 2 2 j 二 M；0.75T2W = 74.5 106Pa =74.5MPa ：故该轴满

23、足强度条件。393.220.75 0.62103二 76310【例题10.6】矩形截面曲拐水平放置并在自由端承受铅直向下的集中力P的作用（例10.6图a）。已知：P=2kN，曲拐的横截面尺寸皆为 h=6cm, b=4cm,曲 拐的各段长度皆为a=0.5m，材料的许用应力！=100MPa。 试按第三强度理论校核曲拐强度。解：外力分析 根据曲拐的受力情况，知BC段只产生平 面弯曲。为了分析AB段受力情况，可将P力向曲拐B处平 移。平移的结果得到一个力P和一个附加力偶矩m=Pa,它 们分别使AB杆产生弯曲和扭转变形，即AB杆承受的是弯 曲和扭转的组合。 内力计算 根据以上外力分析，作出曲拐的弯矩图和

24、 扭矩图如图（c）和（d）所示，在曲拐B处的1-1截面上， 弯矩值为M1 = Pa 二 2 0.5 二 1kN m此值为BC段内的最大弯矩值。在 AB段内，固定端截面A处，弯矩和扭矩值分别为Ma二Pa=2 0.5 = 1kN mT 二 Pa = 2 0.5 1kN m由此可见，在固定端A截面上，弯矩和扭矩值同时达到 最大，即此截面为危险截面。 危险点的判定 在危险截面A上，弯曲正应力和扭 转剪应力的分布如图（e）和（f）所示。由应力分布图可见， 在危险截面的上边缘（或下边缘）的中点点1处，弯曲正应例10.6图矩形截面曲拐受力分析力为最大值，而点1处的扭转剪应力在上边缘的诸点中也为最大值， 故点1是个危险点。在中性轴上的点2处，虽然弯曲正应力为零，但该点处的扭转剪应力 却为最大值，此值大于点1处的剪应力，况且在点2处还存在有最大的弯曲剪应力Q，故点2也是一个危险点。 强度计算 在危险截面A上，点1和点2的应力计算如下 点1Ma31 1031 4 62 10-666二 41.66 10 Pa 二 41.7MPaT1106“厂 0.85826 = 38.69 106 Pa = 38.7M Paahb0.231 汉6汉4 0点233T 丄 3Q10332汇103s 2ahb22 bh 0.231 6 42 10* 2 4 6 10*= 46.3 106 Pa =46.3MPa围绕着点1和