§1.1-一维振动方程

1、II 数学物理方法 第一章 数理方程的导出 1.1、一维振动方程 1.2、扩散方程 1.3、二维薄膜振动方程 1.4、电报方程 第二章偏微分方程的定解问题 2.1、定解条件 2.2、定解问题的适定性 2.3、偏微分方程的分类 第三章 分离变量法求解偏微分方程 3.1、奇次方程的分离变量法 3.2、高元偏微分方程的分离变量法 3.3、非奇次边界条件问题 3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 3.5、正交曲面坐标系 3.6、区域稳定性问题 第四章、球函数 4.1、Legendre方程及Legendre多项式 4.2、Legendre多项式的母函数 4.3、按Legendre多项式展开 4.4、连带L

2、egendre多项式 4.5、球形区域的Dirichlet问题的解 第五章、柱函数，Bessel函数 5.1、Bessel函数 5.2、Bessel函数的母函数 5.3、半奇数Bessel函数 5.4、按Bessel函数展开 5.5、第二、三类Bessel函数 5.6、球Bessel函数 5.7、虚宗量Bessel函数 5.8、Bessel函数的渐近式 第一章、数学物理方程导出第一章、数学物理方程导出 数学物理方程，是指从物理学或其他自然学科中所给出 的偏微分方程、积分方程、微分方程和常微分方程。例如在 物理学中常碰到的： 1、静电势或引力势满足的Laplace及Poisson方程。 2、波在

3、空间传输所满足的Helmhotz波动方程。 3、热传导所满足的热传导方程。 4、电磁波所满足的Maxwell方程。 5、微观系统所满足的 方程以及相对论量子力 学中的Klein-Gordon方程和Dirac方程。 shrodinger 本课程的目的就是介绍一些求解这类数学物理方程的常用方 法和技巧。 1 1、一维振动方程、一维振动方程 考虑一条轻质柔软的均匀弦，当轻微地拨动这条弦后,弦 会在某一平面上作微小振动。 令u(x,t)为位移量，x为弦上的位置，弦的端点坐标为0、 l，T1、T2 为弦张力，这里忽略剪切力的作用以及纵向运动。 1 1、一维弦的横振动、一维弦的横振动 根据受力情况，可以写

4、出运动方程： 2211 2 2211 2 coscos0 ( , ) sinsin TT u x t TTm t sin( ) tan( )sin( ) cos( ) 2 2 ()cos()( )cos( )0 ( , ) ()sin()( )sin( ) T xxxxT xx u x t T xxxxT xxdx t 对于微小振动，有u(x,t) x, 由此可近似得： 则： tan( ) u x sin u x 所以： cos( )1 所以有： 所以在微小振动下有： 由横向受力方程近似得： ()( )0T xdxT x ( , )( )T x tT t 2 2 sinsin xxx u xT

5、 t 所以： 22 22 0 uu xTx tx 最后得： xxx uu T xx 2 2 u Tx x 若弦在同时受到外加横向力F(x,t) 的作用，则横向受力方程为： 22 22 ( , ) uu xTxF x t tx 22 2 22 0 uu k tx 所以一维弦振动方程为： 这里： ，为弦振动传播的速度. T k 整理得受外力弦振动方程为： 22 2 22 ( , )uuf x t k tx 说明：说明： 22 sxxux xx 所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：( , ) ( )T x tT t 由于： 2 11 u x 2 1 2 u x 考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微

6、振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。 2、均匀杆的纵向振动、均匀杆的纵向振动 根据受力情况，可写出运动方程： 2 2 ( , ) (, )( , ) u x t S xP xx tP x tS t 则： 2 2 ( , )( , )u x tP x t tx 若杆为弹性形变，根据Hooke定律： ( , ) ( , ) uu x t P x t xx 令： ( , ) ( , ) u x t P x tY x 则： 22 22 ( , )( , ) 0 u x tu x t Y tx ( , )P

7、x t xS x 整理得杆纵向振动方程为： 22 2 22 ( , )( , ) 0 u x tu x t tx 这里： ，为杆振动传播的速度. Y 若杆上同时受到外加纵向力F(x,t) 的作用，则纵向受力方程为： 22 22 ( , )( , ) ( , ) u x tu x t xSY xSF x t tx 整理得受外力弦振动方程为： 22 2 22 ( , )uuf x t k tx 这里f(x,t)为力密度： ( , ) ( , ) F x t f x t xS 总 结 根据前两讲的内容，我们可以得到结论，虽然两种机 械振动的机理并不相同，但两者的运动方程都为波动方程， 对于一般的三维振动，波动方程可以推广为： 22 ( , )( , )0 tt u x tu x t 这里 为Laplace算子。 222 2 222 xyz 对于不同的物理过程，描写其力学行为的动力学方程 有可能是相同的，通过对一种微分方程求解