[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟空间解析几何、无穷级数、常微分方程

1、专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)分类模拟空间解析几何、无穷级数、常微分方程专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)分类模拟空间解析几何、无穷级数、常微分方程专升本高等数学(一)分类模拟空间解析几何、无穷级数、常微分方程一、填空题问题:1. 设平面过点(1，0，-1)且与平面4x-y+2z-8=0平行，则平面的方程为_答案:4x-y+2z-2=0；问题:2. 过两点(1，-1，-1)，(0，2，-1)的直线的方程是_答案:；问题:3. 空间平面：x+2y-z+3=0与空间直线l：的位置关系是_答案:直线在平面内；问题:4. 直线l过点(0，2，-1)且与平

2、面4x-y+2z-8=0垂直，则直线l的方程为_答案:；问题:5. 点(1，0，-1)到平面x+2y-2z-2=0的距离是_答案:二、解答题问题:1. 试确定过m1(2，3，0)，m2(-2，-3，4)及m3(0，6，0)三点的平面方程答案:设m0(x0，y0，z0)=(2，3，0)，由于=-2-2，-3-3，4-0=-4，-6，4， 则法向量 由点法式方程可知 -12(x-2)-8(y-3)-24(z-0)=0， 即3x+2y+6z-12=0为所求平面方程 问题:2. 求过点m0(1，1，-2)且垂直于直线的平面方程答案:2x+3y+z-3=0问题:3. 设平面x+ky-2z=9与平面2x+

3、4y+3z=3垂直，求k答案:记n1=1，k，-2，n2=2，4，3，由于两平面垂直，因此有，可知n1n2=12+k4+(-2)3=4k-4=0，可得k=1问题:4. 作一平面过oy轴且垂直于平面5x+4y-2z=3答案:由于所求平面过y轴，可设其方程为ax+cz=0，即n1=a，0，c，由于此平面垂直于平面5x+4y-2z=3，而后者n2=5，4，-2因此有，可知n1n2=a5+04+c(-2)=5a-2c=0，代入所设方程有，即2x+5z=0问题:5. 作一平面，使其平行oy轴，且过m0(1，-1，-2)和m1(-1，1，1)答案:设所求平面为ax+by+cz+d=0，n=a，b，c，而y

4、轴所在直线的方向向量为s=0，1，0依题意ns=b=0，由于点m0(1，-1，-2)与m1(-1，1，1)在平面上，因此有 可解得a=3d，c=2d，代入所设方程，整理得3x+2x+1=0 问题:6. 求过点m0(1，-1，2)且与平面1，2都垂直的平面，其中 1：x+2y+z=1 2：-2x+y+z=3 答案:设所求平面法向量为n，而1，2的法向量分别为n1，n2，则n1=1，2，1，n2=-2，1，1，取n=n1n2=1，-3，5，取m0(1，-1，2)，则由点法式方程有 (x-1)-3(y+1)+5(z-2)=0， 或 x-3y+5z-14=0 问题:7. 作一条直线，使其过点m0(0，

5、2，4)且与平面1，2都平行，其中 1：x+2z=1 2：y-3z=2 答案:设直线的方向向量为s，由于平面1，2的法向量分别为n1=1，0，2)，n2=0，-1，3，由题意可得s=n1n2=-2，3，1，因为所求平面过点m0(0，2，4)，由直线的标准式方程可知为所求直线方程问题:8. 求过原点，且与直线l1，l2都平行的平面其中 答案:由于所求平面过原点，设m0=(0，0，0)，法向量为n，由于平面与直线l1，l2都平行，且l1，l2的方向向量为s1=1，2，-1，s2=-2，1，1因此n=s1s2=3，1，5，由点法式可知所求平面方程为 3x+y+5z=0 问题:9. 求过原点，且与直线

6、l1平行的直线其中 答案:设已知直线l1的方向向量为s1，则 由于所求直线l/l1，因此s=s1，由于所求直线过点m0(0，0，0)，可由直线标准式方程得所求直线方程为 问题:10. 求点m0(1，-1，0)且与平面1，2都平行的直线，其中1，2方程为 1：x+y+z=3 2：x+2y+4z=5 答案:平面1，2的法线向量n1=1，1，1，n2=1，2，4，所求直线平行于1与2，则所求直线的方向向量s=n1n2=2，-3，1，又因为直线过点m0(1，-1，0)，由直线标准式方程可得，即为所求直线的方程设曲线y=x2+1上一点(x0，y0)处的切线l平行于直线y=2x+1，求11. 切点(x0，

7、y0)；答案:由y=2x，y|x=x0=2x0，可知切线l的斜率为2x0，由于切线l平行于直线y=2x+1，故2x0=2，x0=1，y0=2，即切点的坐标为(1，2)；12. 切线l的方程答案:过点(1，2)，斜率为2的切线方程为y=2x问题:13. 求过点m0(1，-1，2)且与直线l1，l2都垂直的直线，其中 答案:直线l1，l2的方向向量s1=1，2，-1，s2=-2，1，1，直线l与l1，l2都垂直，可取l的方向向量s=s1s2=3，1，5，m0(1，-1，2)，由直线的标准式方程可得知，所求直线方程为试确定下列各组直线与平面间的关系：14.答案:l与平行，但不落在上；15.答案:l落

8、在上；16.答案:l；17.答案:l与斜交问题:18. 求所给球面x2+y2+z2+2y-4z-4=0的球心与半径答案:球心(0，-1，2)，半径r=3指出下列方程在空间直角坐标系中所表示曲面的名称19. x2+y2+z2-2z=0；答案:球面，球心(0，0，1)，半径r=1；20. ；答案:椭球面；21. x2-y2+z2=0；答案:圆锥面，顶点在原点，oy轴为轴；22. y2+z2=1；答案:母线平行于ox轴的圆柱面；23. x+2y2+2z2=1；答案:旋转抛物面；24. x2-y2+z2=1答案:旋转抛物面问题:25. 求出曲线l绕oz轴旋转一周所得到的曲面方程，其中l：答案:2x2+

9、2y2+z=1问题:26. 判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.答案:级数收敛，和为问题:27. 判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.答案:级数收敛，和为1原式=问题:28. 判断下列级数的收敛性.答案:级数发散提示：用比较判别法，问题:29. 判断下列级数的收敛性. 答案:级数发散提示：问题:30. 判断下列级数的收敛性.答案:级数收敛提示：问题:31. 判断下列级数的收敛性.答案:级数收敛提示：问题:32. 判断下列级数的收敛性.答案:级数收敛提示：用比值判别法问题:33. 判断下列级数的收敛性.答案:级数收敛提示：用比值判别法或比较判别法均可问题:34. 判断下列

10、级数的收敛性.答案:级数收敛提示：可用比值判别法问题:35. 判断下列级数的收敛性.答案:级数收敛提示：可用比值判别法判断下列级数的收敛性：36. ；答案:级数收敛；37. ；答案:级数收敛；38. 答案:级数收敛判断下列级数的收敛性，如果级数收敛，请说明是绝对收敛还是条件收敛39. ；答案:级数收敛，绝对收敛，40. ；答案:级数收敛，条件收敛；41. ；答案:级数收敛，绝对收敛；42. ；答案:级数发散；43. ；答案:级数收敛，绝对收敛；44. .答案:级数收敛，条件收敛问题:45. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.答案:收敛半径为r=1，收敛区间为(-1，1)问题:46. 求下列幂级

11、数的收敛半径和收敛区间.答案:收敛半径为r=+，收敛区间为(-，)问题:47. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. 答案:收敛半径为，收敛区间为问题:48. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. 答案:收敛半径为r=2，收敛区间为(-2，2)问题:49. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. 答案:收敛半径为r=3，收敛区间为(-6，0)问题:50. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. 答案:收敛半径为r=1，收敛区间为(0，2)问题:51. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. 答案:收敛半径为，收敛区间为将下列函数展开成x的幂级数52. f(x)=ln(1-x)答案:53.答案:提示：将函数拆分

12、，注意n从1开始54.答案:55. f(x)=ax答案:提示：ax=exln a再套ex的展开式56. f(x)=(1+x)ln(1+x)答案:提示：(1+x)ln(1+x)=ln(1+x)+xln(1+x)将下列函数展开成x-x0的幂级数57. f(x)=ln(x-1)，x0=2答案:58. f(x)=ex，x0=1；答案:59.答案:60.答案:提示：问题:61. 将函数展开为麦克劳林级数答案:，x(-1，1)提示：可将看成的导数，然后通过的展开式，x(-1，1)(利用幂级数的逐项微分公式)来求问题:62. 求微分方程xdx+ydy=0的通解答案:通解为x2+y2=c直接分离变量作积分问题

13、:63. 求微分方程y=xey的通解答案:通解为直接分离变量作积分问题:64. 求微分方程的通解答案:通解为利用一阶线性微分方程通解公式，或用常数变易法问题:65. 求微分方程的通解答案:通解为利用一阶线性微分方程通解公式，或用常数变易法问题:66. 求微分方程xy+y=ex的通解答案:通解为先将方程化为，再用通解公式或常数变易法 或者令u=xy，将代入原方程化简，可得 u=ex， 然后再继续求解 问题:67. 求解微分方程xy-y=x2-2答案:通解为y=x2+cx+2将方程化为，再用通解公式或常数变易法问题:68. 求微分方(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0，满足初始条件y

14、|x=0=1的特解答案:特解为可分离变量求解问题:69. 求微分方程x3y+(2-3x2)y=x3满足初始条件y|x=1=0的特解答案:特解为可将方程化为一阶线性微分方程求解问题:70. 求微分方程的通解答案:x=cey+y+1问题:71. 设连续函数f(x)满足积分方程，求f(x)答案:先在积分方程两边对变量x求导，将原方程化为如下微分方程 xf(x)=f(x)+2x 再注意到，然后再求上述微分方程满足此初始条件的特解. 已知二阶常系数齐次线性微分方程有如下两个特解，求该微分方程：72. e-x，ex；答案:y-y=073. 1，e-3x；答案:y+3y=074. e2x，(3+2x)e2x答案:y-4y+4y=0求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：75. y+y-2y=0；答案:y=c1e-2x+c2ex；76. y-5y=0；答案:y=c1+c2e5x；77. 4y-4y+y=0；答案:；78. y+4y=0；答案:y=c1cos 2x+c2sin 2x；79. y+2y+2y=0答案:y=e-x(c1 cos x+c2 sin x)求下列微分方程满足相应初始条件的特解：80. y-3y-4y=0，y|x=0