方差分析⑵课件

1、方差分析课件 方差分析课件 试验统计学试验统计学 第四章第四章 概率论与数理统计的基础知识概率论与数理统计的基础知识 本课程使用区靖祥编本课程使用区靖祥编 著的著的试验统计学试验统计学 一书作为课本。全程一书作为课本。全程 为为50学时，占学时，占2.5学分。学分。 第二章第二章 常用的试验设计常用的试验设计 第三章第三章 试验数据的整理试验数据的整理 第五章第五章 参数区间估计参数区间估计 第八章第八章 常用试验设计的资料分析常用试验设计的资料分析 第六章第六章 统计假设测验统计假设测验 第七章第七章 方差分析方差分析 第九章第九章 直线相关与回归直线相关与回归 第一章第一章 绪论绪论 第十

2、章第十章 协方差分析协方差分析 方差分析课件 第二节第二节 处理平均数间的多重比较处理平均数间的多重比较 第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理 第三节第三节 方差分量的估计方差分量的估计 第七章第七章 方差分析方差分析 第四节第四节 单向分类资料的方差分析单向分类资料的方差分析 第五节第五节 两向分类资料的方差分析两向分类资料的方差分析 第六节第六节 系统分组资料的方差分析系统分组资料的方差分析 第七节第七节 方差分析的基本假设和数据转换方差分析的基本假设和数据转换 方差分析课件 二、二、组内观察值数目不等的单向分类资料组内观察值数目不等的单向分类资料 l 单向分类资料单向分类资

3、料(one-way classifications)是指那 些只含有一个可控因素的资料。通常这个可控 因素也就是考察因素。 l 根据具体的数据结构又分为两种情况： 第四节第四节 单向分类资料的方差分析单向分类资料的方差分析 一、一、组内观察值数目相等的单向分类资料组内观察值数目相等的单向分类资料 方差分析课件 二、二、每处理组合内有多于一个观察值的两向分类资料每处理组合内有多于一个观察值的两向分类资料 l 两向分类资料两向分类资料(two-way classifications)是指那些 含有两个可控因素的资料。根据具体的数据结构 又分为两种情况： 第五节第五节 两向分类资料的方差分析两向分类

4、资料的方差分析 一、一、每处理组合内只有一个观察值的两向分类资料每处理组合内只有一个观察值的两向分类资料 方差分析课件 l 在动物学的试验中，由于每一个母本不可能同 时与若干个父本交配，所以不能采用交叉式设计的 杂交方式，转而使用另一种被称为 （nested design）的杂交方案。巢式设计的杂交方 案以及相类似的试验设计所取得到数据资料称为 (hierarchal classification) 。 本节介绍对最简单的系统分组的资料的统计分析 方法，这类资料为 方差分析课件 l方差分析的三个基本假定：方差分析的三个基本假定： 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 在结束本章之

5、前，再稍微详细地讨论一下这些假定。 数据中的各种效应应该具有“可加性可加性”； 所有处理应该具有相同的误差方差误差方差，即具有“同质同质 性性”。 误差应该是“随机、独立随机、独立”的，并且具有“平均数为平均数为0、 方差为方差为 的正态分布的正态分布”； 2 方差分析课件 l方差分析的三个基本假定： 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 那么，怎么样的数据是可加性的呢？ 数据中的各种效应应该具有“可加性可加性”； 线性可加模型是方差分析的基础，只有当数据具有可只有当数据具有可 加性时，总平方和才能分解为各项平方和之和加性时，总平方和才能分解为各项平方和之和；并且，由由 于数据具

6、有可加性，又必然导致各项效应之和为于数据具有可加性，又必然导致各项效应之和为0 0，所有，所有 误差之和为误差之和为0 0。 以单向分类资料为例，因为数学模型为： ， 因此才有： 和 ，即SST SSt SSe。也因此有 。此式左边为0， 因此右边自然也应该等于0。于是有 和 。 ijiij x ijiij x 222 )( ijiij x iji ij x )( 0 i 0 ij 表表7.63 可加性资料与非可加性资料的比较可加性资料与非可加性资料的比较 (a) 可加性资料可加性资料(b) 倍加性资料倍加性资料 (c) 对倍加性资对倍加性资 料取对数后料取对数后 处处 理理 分组分组 处处

7、理理 分组分组 处处 理理 分组分组 121212 A1020A1020A1.00 1.30 B3040B3060B1.48 1.78 方差分析课件 l方差分析的三个基本假定：方差分析的三个基本假定： 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 误差应该是“随机、独立随机、独立”的，并且具有“平均数为平均数为 0、 方差为 的正态分布正态分布”； 首先首先，在数学模型中的误差效应必须是随机的在数学模型中的误差效应必须是随机的，因为 数据中的 k 个处理仅仅是从所研究的 k 个总体中随机抽取 出来的 k 个样本，而 F 测验正是通过样本统计量对总体参 数进行判断的手段。 其次其次，在观察

8、这个个体时的与观察另一个个体时 的误差应该是无关误差应该是无关的，即误差彼此之间是相互独立的。 前面已讨论过，计算F值的两个方差，所来自的（亚） 总体应该是分布的。 2 方差分析课件 l方差分析的三个基本假定：方差分析的三个基本假定： 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 因为在方差分布中将k个样本的“组内平方和”和 “组内自由度”合并为整个试验的“组内平方和”和 “组内自由度”，并利用它们算出的“组内均方”来估 计试验误差，其前提必须是各处理的方差是相等的， 资料中各组的方差是否相等可以通过 来检验。 所有处理应该具有相同的误差方差，即具有“同质同质 性性”。 方差分析课件 l

9、当试验资料不符合上述假定时要先对数据进行一些适当 的处理，然后用经过处理的数据进行方差分析。 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 常用的数据变换方法有四种，分别适用下述的四种情况： 剔除一些表现“特殊”的观察值、处理或重复。 用同一个体或小区的重复观察值的平均数进行方差 分析。 对需要分析的资料进行研究，了解它们不符合哪个 基本假定，然后针对性地采用下述数据转换方法中 的一种，先对数据进行某种尺度变换，用经变换的 数据进行方差分析(及多重比较)，而在对分析结果 进行解释时，再反代换为原来的尺度。 方差分析课件 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 当数据的 时，各

10、观察值的方差近似与其平 均数成比例关系：即平均数越大，方差越大。这时 宜采用平方根转换，即 ijij k 2 ijkijk xx 当有部分观察值小于10时，采用公式： 5 . 0 ijkijk xx 或 1 ijkijkijk xxx 服从的计数资料宜采用这种转换。通常认为计数 资料，如每一个显微镜视野中的细菌数、每土方中的昆虫 幼蛹数等，都服从泊松分布。 方差分析课件 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 服从资料宜采用这种变换。例如昆虫死 亡率、产品合格率、种子发芽率等都属于这种资料。请注 意上式方根号内xijk是百分数，例如当xijk75.5%时， xijk 60.33。

11、当数据的 时，宜采用反正弦转换， 即 。 )1 ( 2 ijiij ijkijk xxarcsin 有些百分率不是用计数数据换算得到的，而是用度量数据 换算得到的，如玉米种子中的蛋白质含量、花生油中的不 饱和脂肪酸含量等，不应当作离散性随机变量看待。不必 要采用反正弦代换。 方差分析课件 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 当资料不近似服从正态分布或资料不接近于加性模型时， 宜采用这种转换。 当数据的 时，各观察值的方差近似与其 平均数的平方成比例关系。这种资料宜采用对数转 换。即 22 ijij k )log( ijkijk xx 当有部分数据小于10时，采用公式： ) 1l

12、og( ijkijk xx 方差分析课件 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 当数据的 时，各观察值的标准差近似与其 平均数的平方成比例关系。这种资料宜采用倒数转 换，即 ，当有部分数据小于10时，采用公 式 。 2 ijij k ijkijk xx/1 ) 1/(1 ijkijk xx 方差分析课件 第七节第七节 基本假设和数据转换基本假设和数据转换 l 如果能事先把您的离散型数据的各处理平均数和方差 计算出来，看看它们之间的关系，就可以很容易地决定采 用何种尺度变换方法。如果无法决定那种变换更加合适时， 可以只变换少数几种处理的数据（这种处理的原数据最好 能包括有大、中、小

13、的数字），然后再看看经变换的数据 的平均数与方差间有没有上述的关联性，这些关联性最小 的那一种变换往往就是最好的变换方法。 例例7.14 五个病人在三种不同室温下淋巴细胞玫瑰花簇玫瑰花簇形成 率（按200个淋巴细胞计算）如表表7.64所示。试测验不同室 温下这种形成率之间是否有显著差异。 黄成达编制 黄成达编制 31.255.235.4 15.055.534.55 16.065.534.54 40.049.034.03 36.058.034.02 49.048.040.01 3037oC2025oC46oC 室温 病人编号 表表7.64 不同室温下淋巴细胞玫瑰花簇形成率（不同室温下淋巴细胞玫瑰

14、花簇形成率（%） x 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 46oC 5 4 3 2 1 病人编号 表表7.65 经反正弦代换后的数据经反正弦代换后的数据( ) 33.378648.014336.5019 35.638222.786548.157735.9704 37.859423.578254.029635.9704 39.775739.231544.427035.6685 40.714036.869949.603435.6685 42.504144.427043.853839.2315 3037oC2025oC 室温 x j x. . i x 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制

15、黄成达编制 1049.223814总变异总变异 46.3924371.13918误差误差 0.452320.982183.92834病号间病号间 8.64914.45906.4036*297.0782594.15642室温间室温间 F0.01F0.05 FMSSSdf变异变异 表表7.66 例例7.14的方差分析表的方差分析表 黄成达编制 15.230314.43835.004.743 10.32619.93023.393.262 LSR0.01LSR0.05SSR0.01SSR0.05g 表表7.67 查得的查得的SSR值及各种值及各种LSR值的计算值的计算 表表7.687.68 对不同室温

16、的进行比较的梯形表对不同室温的进行比较的梯形表 室温 33.37863037oC 3.123336.501946oC 11.5124*14.6357*48.01432025oC 平均数 1 xxi 3 xx i x 黄成达编制 方差分析课件 人类人类T淋巴细胞表面具有绵羊红细胞淋巴细胞表面具有绵羊红细胞(SRBC)的的 受体，故能与受体，故能与SRBC结合形成花环，目前常用结合形成花环，目前常用E花花 环；目前常用环；目前常用E花环形成试验来检测花环形成试验来检测T淋巴细胞数淋巴细胞数 量，作为了解人体细胞免疫功能状态的指标之一，量，作为了解人体细胞免疫功能状态的指标之一， 总总E花环（花环（

17、Et）试验应用最广，反映）试验应用最广，反映T细胞活性的细胞活性的 是活性花环试验是活性花环试验(Ea)。 E-花环试验作为体外测定细胞免疫方法之一，花环试验作为体外测定细胞免疫方法之一， 其形成百分率下降是细胞免疫功能降低的反映，其形成百分率下降是细胞免疫功能降低的反映， 临床上已用于恶性肿瘤、白血病、自身免疫性疾临床上已用于恶性肿瘤、白血病、自身免疫性疾 病、免疫缺陷病、器官移植排斥反应等方面的研病、免疫缺陷病、器官移植排斥反应等方面的研 究，作为了解这些疾病患者机体细胞免疫状态、究，作为了解这些疾病患者机体细胞免疫状态、 预后及疗效观察的指标。预后及疗效观察的指标。 方差分析课件 T淋巴

18、细胞玫瑰花环：淋巴细胞玫瑰花环：左左.（甲紫染色，（甲紫染色，800)：可见：可见2个被羊红细胞个被羊红细胞 包围而形成玫瑰环的包围而形成玫瑰环的T淋巴细胞；淋巴细胞；右右.（吖啶橙染色）：图中可见（吖啶橙染色）：图中可见3 个染成橙黄色荧光的个染成橙黄色荧光的T淋巴细胞被羊红细胞所包围。淋巴细胞被羊红细胞所包围。 淋巴细胞玫瑰花环电镜照片淋巴细胞玫瑰花环电镜照片 方差分析课件 方差分析课件 一、组内观察值数目相等的单向分类资料一、组内观察值数目相等的单向分类资料 如果资料中含有 如果资料中含有k组数据，每组含组数据，每组含n个观察值，个观察值， 全部共有全部共有nk个观察值。那么，此类资料观

19、察值的个观察值。那么，此类资料观察值的 数学模型为：数学模型为： ijiij x（i1，2，k，j1，2，n） 因此总变异分解为两大部分：因此总变异分解为两大部分：和和 。方差分析表如表。方差分析表如表7.14所示。所示。 方差分析课件 黄成达编制 黄成达编制 2 )(xxnSS it 22 n e 22 n e 2 )( iije xxSS 2 e 2 e 2 )(xxijdfTnk1 总变总变 异异 MSedfek (n1) 误差误差 FMS t/ MSeMStdftk1 组间组间 随机模型随机模型固定模型固定模型 期望均方期望均方(EMS) F值值均方均方平方和平方和自由度自由度 变异变

20、异 来源来源 表表7.14 组内观察值数目相等的单向分类资料的方差分析表组内观察值数目相等的单向分类资料的方差分析表 事实上，在前几节中所举的例子都是这种资料 事实上，在前几节中所举的例子都是这种资料 。这里，我们另举一个例子，并且把整个计算过。这里，我们另举一个例子，并且把整个计算过 程系统地陈述一遍。以后在各种不同试验设计的程系统地陈述一遍。以后在各种不同试验设计的 分析方法中，也都将按这样的方式进行陈述。分析方法中，也都将按这样的方式进行陈述。 方差分析课件 例 例7.7 在一个塑料大棚内进行番茄无土栽培试 验，全部采用同一品种，5种不同的培养液，每种 培养液观察4株。试验指标为单株产量

21、，结果如表 7.15所示，如果培养液的效应为固定模型，试对5 种培养液的效应进行显著性测验。 。 数据整理：数据整理： 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 i T 2 x 2 i T i x 265520013898520 总和总和 20 640016228021162221E 31 15376386812427333331D 28 12544315411230252730C 24 921623189626212425B 27 11664293610826283024A 观察值观察值培养液培养液 表表7.15 番茄无土栽培试验的产量数据番茄无土栽培试验的产量数据 方差分析课件 平方和及自由度的

22、分解：平方和及自由度的分解： 总自由度总自由度dfT 观察值总数观察值总数120119 处理间自由度处理间自由度dft处理数处理数1514 误差自由度误差自由度dfe dfTdft19415 矫正数矫正数C.T. 总和平方观察值总数总和平方观察值总数5202/2013520 总平方和总平方和 = 13898-13520=378 . 2 TCxSST 总平方和总平方和 = 各观察值的平方之和各观察值的平方之和C.T. 处理间平方和处理间平方和 =55200/4-13520=280. 2 TC n T SS i t . )( )( 2 TC 每水平的观察值数目 该因素各水平之和 的平方和各水平间某

23、因素 方差分析课件 误差平方和误差平方和 37828098 tTe SSSSSS 误差平方和误差平方和 = 总平方和总平方和 各项已知因素的平方和各项已知因素的平方和 将各项自由度和平方和填入方差分析表。将各项自由度和平方和填入方差分析表。 黄成达编制 37819总变异总变异 6.5339815误差误差 4.893.0610.72*702804处理间处理间 F0.01F0.05F均方均方平方和平方和自由度自由度变异来源变异来源 表表7.16 例例7.7的方差分析表的方差分析表 方差分析课件 多重比较（以多重比较（以Duncan法为例）：法为例）： 计算标准误：计算标准误： 278. 14/53

24、3. 6/nMSSE e 其中其中MSe为方差分析表中的误差均方；为方差分析表中的误差均方； n 是计算所比较的平均数时用到的观察值数目。是计算所比较的平均数时用到的观察值数目。 查表并计算各种LSR值（误差自由度 dfe = 15）： 黄成达编制 5.854.234.583.315 5.754.154.503.254 5.584.044.373.163 5.323.854.173.012 LSR0.01LSR0.05SSR0.01SSR0.05 g 表表7.17 查得的查得的SSR值及各种值及各种LSR值的计算值的计算 方差分析课件 3. 列梯形表进行比较：列梯形表进行比较： 黄成达编制 5

25、.854.234.583.315 5.754.154.503.254 5.584.044.373.163 5.323.854.173.012 LSR0.01LSR0.05SSR0.01SSR0.05 g 表表7.17 查得的查得的SSR值及计算得到的值及计算得到的LSR值值 黄成达编制 黄成达编制 Ei xx 20E 4*24B 37*27A 148*28C 347*11*31D 平均数平均数处理处理 表表7.18 多重比较的梯形表多重比较的梯形表 Ci xx Ai xx Bi xx 方差分析课件 作统计推断：作统计推断： 黄成达编制 黄成达编制 Ei xx 20E 4*24B 37*27A

26、148*28C 347*11*31D 平均数平均数处理处理 表表7.18 多重比较的梯形表多重比较的梯形表 Ci xx Ai xx Bi xx 培养液培养液D与培养液与培养液E、B之间有显著差异之间有显著差异(=0.01)； 培养液培养液C、A与培养液与培养液E之间有显著差异之间有显著差异(=0.01) ； 培养液培养液B与培养液与培养液E之间有显著差异之间有显著差异(=0.05) ； 。 其余各处理平均数之间没有显著差异。其余各处理平均数之间没有显著差异。 方差分析课件 二、组内观察值数目不等的单向分类资料二、组内观察值数目不等的单向分类资料 如果资料中含有 如果资料中含有k组数据，其中第组

27、数据，其中第i组含组含ni个观个观 察值，全部共有个观察值。此类资料观察值的数察值，全部共有个观察值。此类资料观察值的数 学模型为：学模型为： ijiij x （i1，2，k，j 1，2，ni） 因此总变异分解为两大部分：因此总变异分解为两大部分：组间变异组间变异和和组内变组内变 异异。方差分析表如表。方差分析表如表7.19所示所示 方差分析课件 2 )(xxnSS iit dftk-1 2 )( iije xxSS 2 )(xxSS ijT 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 SSTdfT 总变异总变异 MSeSSedfe 误差误差 FMSt / MSeMStSStdft 组间组间 随机模型

28、随机模型固定模型固定模型 期望均方期望均方(EMS) F值值MSSSdf 变异变异 来源来源 表表7.19 组内观察值数目不等的单向分类资料的方差分析表组内观察值数目不等的单向分类资料的方差分析表 22 n e 22 n e 2 e 2 e 1 iT ndf kndf ie 方差分析课件 其中其中 为各组样本含量的调和平均数，即为各组样本含量的调和平均数，即 但是如果利用随机模型对但是如果利用随机模型对 进行估计，即进行估计，即 时，可能会出现方差估计值为负的奇怪现象。这时，可能会出现方差估计值为负的奇怪现象。这 时可以使用时可以使用 代替代替 进行计算。进行计算。 n k k i i nnn

29、 knkn 111 /1/ 21 1 2 nMSMS et / )( 2 ) 1)( )( 22 0 kn nn n i ii n 方差分析课件 各组内观察值数目相等的试验资料称为各组内观察值数目相等的试验资料称为平衡资平衡资 料料；各组内观察值数目不等的试验资料称为；各组内观察值数目不等的试验资料称为不平不平 衡资料衡资料。利用平衡资料所得到的参数估计值是无。利用平衡资料所得到的参数估计值是无 偏的，利用不平衡资料所得到的参数估计值不是偏的，利用不平衡资料所得到的参数估计值不是 无偏的。一般地说，如果是经过精心设计来安排无偏的。一般地说，如果是经过精心设计来安排 试验的话，应尽可能安排平衡试

30、验，避免采用不试验的话，应尽可能安排平衡试验，避免采用不 平衡试验设计。如果是进行一些野外调查，由于平衡试验设计。如果是进行一些野外调查，由于 特殊条件的要求或限制，不得不采用不平衡设计特殊条件的要求或限制，不得不采用不平衡设计 时，仍应特别注意估计结果的有偏性。时，仍应特别注意估计结果的有偏性。 方差分析课件 例例7.8 调查四个水库中的氯离子浓度，按水库的调查四个水库中的氯离子浓度，按水库的 水面面积大小取不同数目的样本。数据如表水面面积大小取不同数目的样本。数据如表7.20所所 示，如果各水库的效应为固定模型，试测验各水示，如果各水库的效应为固定模型，试测验各水 库间氯离子的浓度之间是否

31、有显著差异。库间氯离子的浓度之间是否有显著差异。 表表7.20 四个水库氯离子浓度的数据资料四个水库氯离子浓度的数据资料 水水 库库 观观 察察 值值 12131415141614 910889109 92101112131211 141011121312 方差分析课件 黄成达编制 黄成达编制 36033711313 28 总和 1286487472 6 1080088480 8 956757163 7 141372138298 7 ni 水库水库 表表7.20 四个水库氯离子浓度的数据资料的整理四个水库氯离子浓度的数据资料的整理 i T 2 x ii nT / 2 i x 数据处理：数据处理

32、： 方差分析课件 平方和及自由度的分解：平方和及自由度的分解： 总自由度总自由度dfT = 观察值总数观察值总数 1 = 28 1 = 27 处理间自由度处理间自由度dft = 处理数处理数 1 = 4 1 = 3 误差自由度误差自由度dfe = dfT dft = 27 3 = 24 矫正数矫正数C.T. = 总和平方总和平方/观察值总数观察值总数 = 3132/28 = 3498.8929 方差分析课件 总平方和总平方和 = 37113498.8929 = 212.1071 . 2 TCxSST 处理间平方和处理间平方和 3603 3498.8929 104.1071 . 2 TC n T

33、 SS i i t 误差平方和误差平方和 = 212.1071 104.1071 = 108 tTe SSSSSS 方差分析课件 列方差分析表：列方差分析表： 表表7.21 例例7.8的方差分析表的方差分析表 变因变因自由度自由度平方和平方和均方均方FF0.05F0.01 处理间处理间3104.107134.70247.712*3.014.72 误差误差24108.00004.5000 总变异总变异27212.1071 多重比较（以多重比较（以Duncan法为例）：法为例）： 先计算样本容量的调和平均数先计算样本容量的调和平均数 或或 ：n 0 n 793. 6 7 1 8 1 6 1 7 1

34、 /4/1/ 1 k i i nkn 方差分析课件 798. 6 84 586 328 198784 ) 14(28 )7867(28 ) 1)( )( 22222 22 0 kn nn n i ii 计算标准误：计算标准误： 806. 07/5 . 4)( / 0 nnMSSE e 或 方差分析课件 表表7.22 查得的查得的SSR值及各种值及各种LSR值的计算值的计算 gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01 22.923.962.3533.192 33.074.112.4743.337 43.154.242.5393.417 查表并计算各种查表并计算各种LSR值（误差自

35、由度值（误差自由度dfe = 24） 如表如表7.22所示：所示： 方差分析课件 a. 第第号水库与第号水库与第、号水库的氯离子浓度有极显著差异；号水库的氯离子浓度有极显著差异； b. 第第号水库与第号水库与第号水库的氯离子浓度有显著差异；号水库的氯离子浓度有显著差异； c. 其余各水库的氯离子浓度之间没有显著差异。其余各水库的氯离子浓度之间没有显著差异。 列梯形表进行比较：列梯形表进行比较： 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 IIi xx IIIi xx IVi xx 9 110 23*12 24*5*14 平均数平均数处理处理 表表7.23 例例7.8的多重比较梯形表的多重比较梯形表 作

36、统计推断：作统计推断： 方差分析课件 如果资料中有两个可控因素如果资料中有两个可控因素A和和B，其中，其中A有有a 个水平，个水平，B有有b个水平，于是共有个水平，于是共有ab个处理组合。个处理组合。 每个处理组合含每个处理组合含1个观察值，全部共有个观察值，全部共有ab个观察值个观察值 。为了陈述上的方便，将数据结构列出如表。为了陈述上的方便，将数据结构列出如表7.24所所 示。示。 其中处理组合其中处理组合AiBj的观察值记为的观察值记为xij；第；第i个个A水水 平的观察值之和及平均数分别记为平的观察值之和及平均数分别记为 ，第，第j个个 B水平的观察值之和及平均数分别记为水平的观察值之

37、和及平均数分别记为 ， 全部观察值的总和及平均数分别记为全部观察值的总和及平均数分别记为 . ii xT 和 jj xT . 和 )( . xxT或和 方差分析课件 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 . i T . i x. i T . 1 x . 2 T. 2 x . i x . a T. a x j T. j T. b T.T j x. 1 . x 2 . x j x. b x. .x xab xaj xa2xa1Aa xib xij xi2xi1Ai x2b x2j x22x21A2 x1b x1j x12x11A1 Bb Bj B2B1 B因素因素(j) A因

38、素因素 (i) 表表7.24 每处理组合只含一个观察值的两向分类资料每处理组合只含一个观察值的两向分类资料 2 .T 1 .T . 1 T 方差分析课件 此类资料观察值的数学模型为：此类资料观察值的数学模型为： ijjiij x (i1，2，a；j1，2，b) 因此总变异分解为三大部分：因此总变异分解为三大部分： A因素各水平间的变异因素各水平间的变异 B因素各水平间的变异因素各水平间的变异 剩余的变异剩余的变异(即误差变异即误差变异)。 方差分析表如表方差分析表如表7.25所示。所示。 方差分析课件 2 . .)(xxbSS iA 2 . .)(xxaSS jB baTe SSSSSSSS

39、2 )(xxSS ijT 表表7.25 每处理组合内只有一个观察值的每处理组合内只有一个观察值的 两向分类资料的方差分析表两向分类资料的方差分析表 变异变异 来源来源 自由度自由度平方和平方和均方均方 期望均方期望均方(EMS) 固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型 A间间dfASSAMSA B间间dfBSSBMSB 误差误差DfeSSeMSe 总变异总变异dfT SST 22 Ae b 22 Ae b 22 Ae b 22 Be a 22 Be a 22 Be a 2 e 2 e 2 e dfAa1 dfBb1 dfe(a1) (b1) dfT ab1 表中列出了固定模型和随机模

40、型的期望均方，如果两个处表中列出了固定模型和随机模型的期望均方，如果两个处 理效应中有一个理效应中有一个(如如A)为固定，另一个为固定，另一个(如如B)为随机，则其为随机，则其 模型称为模型称为(A固定固定B随机的随机的)混合模型混合模型(mixed model)。对各。对各 效应进行效应进行F测验时采用的测验时采用的F值计算公式应视各项均方的期值计算公式应视各项均方的期 望值而定，例如在固定模型中，测验望值而定，例如在固定模型中，测验A间差异时，间差异时，F MSA/ MSe，测验，测验A间差异时，间差异时，FMSB / MSe。 方差分析课件 例例7.9 六个水稻品种六个水稻品种(A1、A

41、2、A3、A4、A5和和 A6)栽植在四种不同的土壤类型栽植在四种不同的土壤类型(B1、B2、B3和和B4) 中，产量数据如表中，产量数据如表7.26所示，如果品种和土壤类所示，如果品种和土壤类 型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。 方差分析课件 黄成达编制 黄成达编制 黄成达编制 61.563.065.062.5 369378390375 62.50 63.25 63.50 61.75 66.25 60.75 250 253 254 247 265 243 表表7.26 例例7.9的产量资料及数据整理的产量资料及数据整理 59626564A6 64

42、626562A5 61626764A4 60636460 A3 65686765 A2 60616260 A1 B4B3B2B1 土壤类型（土壤类型（B） 品种品种 （A） . i T . i x j T. j x. 方差分析课件 数据处理：如表数据处理：如表7.26所示所示 平方和及自由度的分解：平方和及自由度的分解： 总自由度总自由度dfT =观察值总数观察值总数1= 24 1 = 23 品种间自由度品种间自由度dfA = 品种数品种数 1 = 6 1 = 5 土壤类型间自由度土壤类型间自由度dfB = 土壤类型数土壤类型数 1 = 4 1 = 3 误差自由度误差自由度dfe = dfT

43、dfA dfB = 23 5 3= 15 方差分析课件 95256 24 1512 . 2 观察值总个数 所有观察值总和的平方 矫正数TC 142 95256596260 . 222 2 TCxSST总平方和 方差分析课件 71 95256 4 250265243 . 222 2 . TC b T SS i A 品种间平方和 39 95256 6 369378390375 . 2222 2 . TC a T SS j B 土壤类型间平方和 方差分析课件 误差平方和误差平方和 =1427139=32 BATe SSSSSSSS 列方差分析表：列方差分析表： 变异来源变异来源自由度自由度平方和平方

44、和均方均方FF0.05F0.01 品种间品种间57114.200 6.656* 2.901 4.556 土壤类型间土壤类型间33913.000 6.094* 3.287 5.417 误差误差15322.133 总变异总变异23142 表表7.27 例例7.9的方差分析表的方差分析表 统计推断：统计推断：品种间差异极显著品种间差异极显著 ；土壤类型间差异；土壤类型间差异 也极显著也极显著 。 方差分析课件 多重比较多重比较 在本例中，品种和土壤类型都是固定效应；在本例中，品种和土壤类型都是固定效应；F 测验表明，品种间差异极显著，因此要对不同品测验表明，品种间差异极显著，因此要对不同品 种的平均

45、数进行多重比较；同时土壤类型间差异种的平均数进行多重比较；同时土壤类型间差异 也极显著，如果研究目的要求对土壤差异进行分也极显著，如果研究目的要求对土壤差异进行分 析，也应对它进行多重比较。现以析，也应对它进行多重比较。现以Duncan法为例法为例 说明之。说明之。 方差分析课件 对对品种间差异品种间差异的多重比较：的多重比较： 计算标准误：计算标准误： 7303. 04/1333. 2/bMSSE e 其中b为每品种的观察值数目，在本题 为土壤类型种类数。 查查Duncan表得表得SSR值并计算各种值并计算各种LSR值值 (误差自由度dfe = 15)如表7.28。 方差分析课件 表表7.2

46、8 查得的查得的SSR值及各种值及各种LSR值的计算值的计算 gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01 23.014.172.203.05 33.164.372.313.19 43.254.502.373.29 53.314.582.423.34 63.364.642.453.39 方差分析课件 列梯形表进行比较，如表列梯形表进行比较，如表7.29所示。所示。 1 xxi 3 xxi 6 xxi 5 xxi 4 xxi 60.75A1 1.0061.75A3 0.751.7562.50A6 0.751.502.50*63.25A5 0.251.001.752.75*63.50

47、A4 2.75*3.00*3.75*4.50*5.50*66.25A2 平均数平均数品种品种 表表7.29 对品种平均数的进行比较的梯形表对品种平均数的进行比较的梯形表 方差分析课件 根据多重比较做出统计推断：根据多重比较做出统计推断： 品种品种A2的产量最高，并且与其它所有品的产量最高，并且与其它所有品 种之间都有显著或极显著差异；种之间都有显著或极显著差异； b. 品种品种A4与品种与品种A2、品种、品种A1间有显著差异；间有显著差异； c. 品种品种A5与品种与品种A1间有显著差异；间有显著差异； d. 其余各品种之间没有显著差异。其余各品种之间没有显著差异。 方差分析课件 对对土壤类型

48、间差异土壤类型间差异的多重比较：的多重比较： 计算标准误：计算标准误： 5963. 06/1333. 2/aMSSE e 其中a为每土壤类型的观察值数目，在 本题为品种的数目。 查查Duncan表得表得SSR值并计算各种值并计算各种LSR值值 (误差自由度dfe = 15)如表7.30。 方差分析课件 表表7.30 查得的查得的SSR值及各种值及各种LSR值的计算值的计算 gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01 23.014.171.792.49 33.164.371.882.61 43.254.501.942.68 方差分析课件 列梯形表进行比较，如表列梯形表进行比较，如

49、表7.31所示。所示。 1 xxi 3 xxi 61.5 B4 162.5 B1 0.51.563.0 B3 2*2.5*3.5*65.0 B2 平均数平均数土壤类型土壤类型 表表7.31 对土壤类型平均数进行比较的梯形表对土壤类型平均数进行比较的梯形表 4 xxi 方差分析课件 根据多重比较做出统计推断：根据多重比较做出统计推断： 土壤类型土壤类型B2与其它所有类型之间都有显著与其它所有类型之间都有显著 或极显著差异；或极显著差异； b. 其余土壤类型之间没有显著差异。其余土壤类型之间没有显著差异。 如果土壤类型虽然是可控因素，但不是考察如果土壤类型虽然是可控因素，但不是考察 因素，那么，尽

50、管土壤类型之间的因素，那么，尽管土壤类型之间的F测验显著也可测验显著也可 以不进行多重比较（因为你对它的差异与否不感以不进行多重比较（因为你对它的差异与否不感 兴趣）。兴趣）。 方差分析课件 如果资料中有两个可控因素如果资料中有两个可控因素A和和B，其中，其中A有有a 个水平，个水平，B有有b个水平，于是共有个水平，于是共有ab个个处理组合处理组合。 每个处理组合含每个处理组合含n个观察值，全部共有个观察值，全部共有abn个观察个观察 值。值。 当每组合含有多于一个观察值时，可以通过当每组合含有多于一个观察值时，可以通过 方差分析考察因素间的交互作用，我们记因素方差分析考察因素间的交互作用，我

51、们记因素A和和 因素因素B之间的交互作用为之间的交互作用为(AB)。 方差分析课件 xabnxab2 xab1 xajnxaj2 xaj1 xa2n xa22xa11Aa xibnxib2 xib1 xijnxij2 xij1 xi2n xi22xi11Ai x2bnx2b2 x2b1 x2jnx2j2 x2j1 x22n x222x211A2 x1bnx1b2 x1b1 x1jnx1j2 x1j1 x11n x112x111A1 Bb Bj B1 B因素因素(j)A 因素因素 (i) 表表7.32 每处理组合内含有每处理组合内含有n个观察值的两向分类资料个观察值的两向分类资料 . i T .

52、 1 T . 2 T . a T . i x . i x . i T . 1 x . 2 x . a x . j T. j T. .1T.bT . j x. j x. .1x. .bx .x .T 为了陈述上的方便，将数据结构列于表为了陈述上的方便，将数据结构列于表7.32。 方差分析课件 xijk处理组合处理组合AiBj的第的第k个观察值记；个观察值记； 上表其中：上表其中： . i TA因素第因素第i个水平的观察值总和；个水平的观察值总和； B因素第因素第j个水平的观察值的平均数；个水平的观察值的平均数； . . j x . . j TB因素第因素第j个水平的观察值总和；个水平的观察值总和

53、； A因素第因素第i个水平的观察值的平均数；个水平的观察值的平均数； . i x .T全部观察值的部和数；全部观察值的部和数； .x全部观察值的平均数。全部观察值的平均数。 方差分析课件 此类资料观察值的数学模型为：此类资料观察值的数学模型为： ijkijji ijkijijk x )( （i1，2，a；j1，2，b；k1，2，n） 方差分析课件 从以上数学模型看出，对于这类资料的分析从以上数学模型看出，对于这类资料的分析 可以分两步进行：可以分两步进行： 先按模型先按模型 将总变异分解为处将总变异分解为处 理理(组合组合)间变异和误差变异；这是一个单向分类的间变异和误差变异；这是一个单向分类

54、的 方差分析。方差分析表如表方差分析。方差分析表如表7.33所示。如果这一步所示。如果这一步 的的F测验不显著，就不必进行第二步。分析就此结测验不显著，就不必进行第二步。分析就此结 束。束。 ijkijijk x 方差分析课件 CnTxxnSS ijijt /)( 2 . 2 . tTe SSSSSS CxxxSS ijkijkT 22 )( 表表7.33 第一步的方差分析表：第一步的方差分析表： 将将总变异分解为处理总变异分解为处理(组合组合)间变异和误差变异间变异和误差变异 变异来源变异来源自由度自由度平方和平方和均方均方F值值 处理间处理间dftab1SStMStMSt / MSe 误差

55、误差dfeab (n1)SSeMSe 总变异总变异dfTabn1SST 方差分析课件 如果第一步的如果第一步的F测验显著，应进一步按模型测验显著，应进一步按模型 将处理变异分解为将处理变异分解为A因素各水因素各水 平间的变异、平间的变异、B因素各水平间的变异和交互作用因素各水平间的变异和交互作用 (AB)引起的变异。引起的变异。 ijjiij )( 该步骤的方差分析表如表该步骤的方差分析表如表7.34所示，在第二步所示，在第二步 中的中的F测验值如何计算需要视研究目的所确定的模测验值如何计算需要视研究目的所确定的模 型而定。型而定。 方差分析课件 表表7.34 第二步的方差分析表：第二步的方差

56、分析表： 将将处理间变异分解为处理间变异分解为A间变异、间变异、B间变异和交互作用间变异和交互作用 变异来变异来 源源 自由度自由度平方和平方和均方均方F值值 A间间dfAa1SSAMSA 视模视模 型而型而 确定确定 B间间dfBb1SSBMSB AB互作互作 dfAB(a1) (b1)SSABMSAB 处理间处理间dft ab1SStMSt CbnTxxbnSS iiA /.).( 22 CanTxxanSS jjB /.)( 2 . 2 . BAtAB SSSSSSSS CnTxxnSS ijijt /)( 2 . 2 . 方差分析课件 将以上两步合并，得到总的方差分析表，如将以上两步合

57、并，得到总的方差分析表，如 表表7.35所示。表中列出了固定模型和随机模型的期所示。表中列出了固定模型和随机模型的期 望均方。如果两个处理效应中有一个望均方。如果两个处理效应中有一个(例如例如A)为为固固 定模型定模型，另一个，另一个(例如例如B)为为随机模型随机模型，这时的模型，这时的模型 称为称为(A固定固定B随机的随机的)混合模型混合模型(mixed model)。如。如 表表7.35也列出了也列出了(A固定固定B随机的随机的)混合模型的期望均混合模型的期望均 方。方。 方差分析课件 SSTdfT 总变异总变异 MSeSSedfe 误差误差 MSABSSABdfAB AB互作互作 MSB

58、SSBdfB B间间 MSASSAdfA A间间 视视 模模 型型 而而 定定 MStSStdft 处理间处理间 A固定固定 B随机随机 随机模型随机模型固定模型固定模型 期望均方期望均方(EMS) F 值值 均方均方 平平 方方 和和 自自 由由 度度 变异变异 来源来源 表表7.35 每处理组合内含有多于一个观察值的每处理组合内含有多于一个观察值的 两向分类资料的总方差分析表两向分类资料的总方差分析表 2 e 22 ABe n 22 Be an 22 Ae bn 22 n e 2 e 22 ABe n 22 ABe n 2 e 222 BABe ann 222 AABe bnn 22 n

59、e 22 Be an 222 AABe bnn 21340 方差分析课件 例例7.10 三个水稻品种三个水稻品种(A1、A2、A3)种在四种不种在四种不 同的土壤类型同的土壤类型(B1、B2、B3和和B4)中，每个组合种了中，每个组合种了 两个小区。产量数据已经过简化，列于表两个小区。产量数据已经过简化，列于表7.36。试。试 对资料进行适当的分析。对资料进行适当的分析。 数据处理：数据处理： 方差分析课件 5.258.55.58.04.06.07.03.53.55.04.03.54.5 1462289121256641441964949100644981 750145651303472982

60、52952342541 126171116812147710879 847567354534 979367426345 观观 察察 值值 B4B3B2B1B4B3B2B1B4B3B2B1 合合 计计 A3A2A1处处 理理 组组 合合 表表7.36 例例7.10的产量资料及数据整理的产量资料及数据整理 .ij T k ijk x 2 2 .ij T .ij x 方差分析课件 为了计算因素间的交互作用，将各处理组合为了计算因素间的交互作用，将各处理组合 之和列成之和列成AB二向表如表二向表如表7.37所示。所示。 6.50 5.00 4.25 表表7.37 AB二向表二向表 6.55.55.04