工程数学课件3.1

1、 1 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 2 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 3 条件分布条件分布 4 多个随机变量的函数的分布多个随机变量的函数的分布 第三章第三章 多维多维随机变量及其分布随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 1）定义：）定义： 设设 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是 S=e， 设设 X=X(e) 和和 Y=Y(e) 是定义在是定义在 S 上的随机变上的随机变 量。量。 由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机叫做二维随机 向量，或向量，或二维随机变量二维随机变量。 S e X(e) Y(e) 一、

2、二维随机变量一、二维随机变量 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 注注 意意 事事 项项 维维随随机机向向量量；二二维维随随机机变变量量也也称称为为二二 我我们们应应把把二二维维随随机机变变量量 SeeYeXYX ， 之之间间是是有有联联系系的的；与与看看作作一一个个整整体体，因因为为YX 上上的的随随机机点点 可可看看作作平平面面，量量在在几几何何上上，二二维维随随机机变变YX 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 2 2）二维随机变量的例子）二维随机变量的例子 身身体体状状况况，令令考考察察某某地地区区成成年年

3、男男子子的的例例1 高高；：该该地地区区成成年年男男子子的的身身X 就就是是一一个个二二维维随随机机变变量量，则则YX 重重：该该地地区区成成年年男男子子的的体体Y 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 ，令令考考察察某某地地区区的的气气候候状状况况例例2 ：该该地地区区的的温温度度；X 就就是是一一个个二二维维随随机机变变量量，则则YX ：该该地地区区的的湿湿度度Y 退 出前一页后一页目 录 ，实实数数 则则对对于于任任意意一一对对是是一一个个二二维维随随机机变变量量，设设 yx YX .的的分分布布函函数数， 为为二二维维随随机机变变量量的的函函数数我我们们称称此此函函数数，是是

4、 YX yx yYxXPyxF ， 二、二、联合分布函数联合分布函数 1 二维随机变量 1）定定 义义 第三章 多维随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 2 2）二元分布函数的几何意义）二元分布函数的几何意义 y o (x, y) (X, Y ) 1 二维随机变量 中中的的概概率率为为右右上上顶顶点点的的无无穷穷矩矩形形，以以 落落在在，表表示示平平面面上上的的随随机机点点， yx YXyxF 第三章 多维随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 3 3）一个重要的公式）一个重要的公式 ，设：设： 2121 yyxx 则则 2121 yYyxXxP ， 22 yxF， 21 yxF，

5、y x ox1x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 12 yxF， 11 yxF， 退 出前一页后一页目 录 4）分布函数具有以下的基本性质：）分布函数具有以下的基本性质： （1）F (x , y )是变量是变量 x , y 的不减函数，即的不减函数，即 对于任意固定的对于任意固定的 y , 当当 x1 x2时，时，);,(),( 21 yxFyxF );,(),( 21 yxFyxF 对于任意固定的对于任意固定的 y , ; 0),( yF ; 0),( xF . 1)

6、,(; 0),( FF , 1),(0)2( yxF且且 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 对于任意固定的对于任意固定的 x , 当当 y1 y2时，时， 对于任意固定的对于任意固定的 x , 退 出前一页后一页目 录 （3 3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即即 F (x , y )关于关于 x 右连续，关于右连续，关于 y 也右连续也右连续. y x o x1x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) . 0),(),(),(),()4( 11211

7、222 yxFyxFyxFyxF 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 说说 明明 上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质；条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数（证明略）量的分布函数（证明略） 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 退

8、出前一页后一页目 录 5 5）n n 维随机变量维随机变量 是其样本空间，是其样本空间，是一个随机试验，是一个随机试验，设设SE niSeeXX ii ，21 个个随随机机变变量量是是该该样样本本空空间间上上的的 n 则称则称 SeeXeXeX XXX n n ， ， 21 21 维维随随机机变变量量上上的的为为样样本本空空间间nS 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 6 6）n n维随机变量的分布函数维随机变量的分布函数 ，维实数组维实数组意一意一 维随机变量，则对于任维随机变量，则对于任是一个是一个，设设 n n xxxn nXXX 21 21 维维随

9、随机机变变量量我我们们称称此此函函数数为为 n n XXX， 21 n xxxF， 21 nn xXxXxXP ， 2211 .的的分分布布函函数数 1 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 为为二二维维离离散散型型随随机机变变量量，个个数数对对，则则称称 无无穷穷的的取取值值是是有有限限个个或或可可列列，若若二二维维随随机机变变量量 YX YX 二二维维离离散散型型随随机机变变量量，设设YX的的取取值值为为X ， i xxx 21 的的取取值值为为Y， j yyy 21 则则称称 ，21jiyYxXPp jiij 分分布布律律联联合合的的，为为二二维维离离散散

10、型型随随机机变变量量)(YX 第三章 二维随机变量的分布 1）定义：定义： 三、二维离散型随机变量三、二维离散型随机变量 2）二维离散型随机变量的联合分布律）二维离散型随机变量的联合分布律 下下表表表表示示的的联联合合分分布布律律也也可可以以由由， YX 第三章 二维随机变量的分布 的的联联合合分分布布律律，试试求求YX 解：解： 号号盒盒中中的的球球数数；：放放入入 1X 号号盒盒中中的的球球数数：放放入入 2Y 1 21 23 的的三三个个盒盒子子中中令令，编编号号为为将将两两个个球球等等可可能能地地放放入入321例例1 1 2 1 23 1232 12 3 2 1 123 123 1 1

11、2 3 2 2 2 1 123 12 3 1 123 2 2 1 1 2 1 1 第三章 二维随机变量的分布 ；，的可能取值为的可能取值为210X，的的可可能能取取值值为为210Y 00 YXP， 9 1 2 3 1 用古典概型用古典概型 求联合概率求联合概率 9 1 9 2 9 1 9 2 9 2 9 1 0 00 1,2X的可能取值；的可能取值； 解：解： 1,2Y Y 的的可可能能取取值值； (1)有放回抽取有放回抽取 盒子中有三个球，其中两个号码为盒子中有三个球，其中两个号码为2，一个号码为，一个号码为1. 从中任取两球，从中任取两球，X，Y分别分别表示第一次、第二次取出表示第一次、第

12、二次取出 球的号码。求球的号码。求(X,Y)的联合概率分布。的联合概率分布。 例例2 2 1 2 X Y 有放回有放回 无放回无放回 2 11 (1,1) 39 P XY 2 1 22 (1,2) 39 P XY 2 9 2 9 4 9 1 9 第三章 二维随机变量的分布 (2)无放回抽取无放回抽取 1 0 (1,1)0 3 2 P XY 1 21 (1,2) 3 23 P XY 1 3 1 3 1 3 0 2 11 (2,1) 3 23 P XY 2 11 (2,2) 3 23 P XY 2 1 2 X Y 有放回有放回 无放回无放回 掷掷2次质地均匀的骰子，用次质地均匀的骰子，用X、Y分别

13、表示第一次和第分别表示第一次和第 二次所掷的点数。写出二次所掷的点数。写出X、Y的联合分布列。的联合分布列。 123456 11/361/36.1/361/36 21/361/361/361/36 3. 4. 51/361/36.1/361/36 61/361/36.1/361/36 X Y 例例3 第三章 二维随机变量的分布 3)二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质 ：性性质质 1 0 jiij yYxXPp，有有 1 ijij ijij pp ， ：性质性质 2 ，对对任任意意的的21 jiji 第三章 二维随机变量的分布 四、已知联合分布律求边缘分布律四、

14、已知联合分布律求边缘分布律 i.iij P = P X = x=P X = xY = y ij jj P ( ,1,2) iji P = P X = x ,Y = yi j 的分布律：的分布律：现求随机变量现求随机变量X 的分布律为：的分布律为：同理，随机变量同理，随机变量 Y jjij P = P Y = y=P X = xY = y ij ii P 第三章 二维随机变量的分布 下下表表表表示示的的边边缘缘分分布布律律也也可可以以由由以以及及YX Y X 1 y 2 y j y i p 1 x 11 p 12 p j p1 1 p 2 x 21 p 22 p j p2 2 p i x 1 i

15、 p 2i p ij p i p j p 1 p 2 p j p 第三章 二维随机变量的分布 Y X 0 1 2 i p 0 9 1 9 2 9 1 9 4 1 9 2 9 2 0 9 4 2 9 1 0 0 9 1 j p 9 4 9 4 9 1 1 例例1 1的边际分布的边际分布 1 2 1 23 第三章 二维随机变量的分布 练习：练习：写出例写出例2 2、例、例3 3中中X、Y的边际分布。的边际分布。 1616161616161 613613613613616 613613613613615 614 613 613613613613612 613613613613611 654321YX

16、 / /./ /./ /. /. / /./ 第三章 二维随机变量的分布 2 1 2 X Y 有放回有放回 无放回无放回 第三章 二维随机变量的分布 五、离散型随机变量的独立性五、离散型随机变量的独立性 ，其其联联合合分分布布律律为为是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，设设YX jiij yYxXPp， 的的分分布布律律为为又又随随机机变变量量 X ，21 ji ii xXPp ， 21 i 的的分分布布律律为为随随机机变变量量 Y jj yYPp 有有，如如果果对对于于任任意意的的, ji ijij pp p 是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量，则则称称YX 第三章 二维随机变量

17、的分布 定义定义 例例4 4 的的联联合合分分布布律律为为，设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YX Y X 1 2 3 1 6 1 9 1 18 1 2 3 1 相相互互独独立立与与使使得得随随机机变变量量试试确确定定常常数数YX, 解：解： 的的边边缘缘分分布布律律为为与与由由表表，可可得得随随机机变变量量YX 用独立性定义判断前面几个例子中的独立性用独立性定义判断前面几个例子中的独立性 第三章 二维随机变量的分布 Y X 1 2 3 i p 1 6 1 9 1 18 1 3 1 2 3 1 3 1 j p 2 1 9 1 18 1 相相互互独独立立，则则有有与与如如果果随随机机变变量量YX jiij ppp 32121，；， ji 由由此此得得 第三章 二维随机变量的分布 ；由