初中数学一元二次方程知识点总结与练习.docVIP

1、初中数学一元二次方程知识点总结与练习知识点总结：一元二次方程知识框架数学问题实莓问題升平寿补式法數学问題的琳实际问题的答秦ix4-i?+=0<a0数学问题实莓问題升平寿补式法數学问題的琳实际问题的答秦ix4-i?+=0<a0知识点、概念总结一元二次方程：方程两边都是整式只含有一个未知数(一元)并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点：含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程先看它是否为整式方程若是再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a丰0)的形式则这个方程就为一元二次方程；将方程化为一

2、般形式：ax2+bx+c=0时应满足(a丰0);一元二次方程的一般形式：一般地任何一个关于x的一元二次方程经过整理？都能化成如下形式ax2+bx+c=0(0)。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a_0)后其中ax2是二次项a是二次项系数；bx是一次项b是一次项系数；c是常数项。一元二次方程的解法直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(_a)2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知xa是b的平方根当b0时xa.b,xa.b当b<0时方程没有实数根。配方法xxxx配方法是一种重要的数学方法它不仅在解一元二次方程

3、上有所应用而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2把公式中的a看做未知数x并用x代替则有x22bxb2(xb)2。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式如果q0,方程的根是x=-pVq；如果qv0,方程无实根.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：b、b24ac2x(b4ac0)2a因式分解法因式分解法就是利用因式分

4、解的手段求出方程的解的方法这种方法简单易行是解一元二次方程最常用的方法。一元二次方程根的判别式222根的判别式：一元二次方程axbxc0(a0)中b4ac叫做一元二次方程axbxc0(a0)的根的判别式通常用“”来表示即b24ac一元二次方程根与系数的关系bc如果方程axbxc0(a0)的两个实数根是,x2那么论x2,xm2。也就是说对于任何一个aa有实数根的一元二次方程两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解

5、法是：去分母方程两边都乘以最简公分母解所得的整式方程验根：将所得的根代入最简公分母若等于零就是增根应该舍去；若不等于零就是原方程的根。知识点1?只含有一个未知数并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。例题：1、判别下列方程是不是一元一次方程是的打不是的打“_”并说明理由(1)2x2-x-3=0.-y2=0.4(3)t2=0.x3-x2=1.x2-2y-1=0.(6)-g-3=0.2222(2(2)配方法：要先把二次项系数化为1然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方配成左边是完全平方式,2、已知关于x的方程m1x23x时方程为一次方程；当时两根中有一个为零a。32、已知关于x的方

6、程m1x23x时方程为一次方程；当时两根中有一个为零a。3、已知关于x的方程m(1)m为何值时方程为元一次方程;(2)m为何值时方程为一元二次方程。知识点二?一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是：ax2bx20其中ax是二次项a叫二次项系数;bx是一次项b叫一次x23x=2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2(9)3x2-44+6=0.(10)3x2=x-3.x41、若关于x的方程a(x1)=2x2疋兀1次方程则a的值是()(A)2(B)2(C)0(D)不等于2项系数c是常数项。一次项系数及常数项都特别警示：(1)“a0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；(2)二次项系

7、数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的所以求一元二次方程的各项系数时必须先将方程化为一般形式。知识点三?一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。例题：21、已知方程3x9xm0的一个根是1,则m的值是22、设a是一元二次方程x5x0的较大根b是x3x20较小根那么ab的值是()(A)-4(B)-3(C)1(D)223、已知关于x的一元二次方程xkx20x的一个解与方程13的解相同。x1(1)求k的值；2(2)求方程xkx20的另一个解。知识点四?一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：(1)直接开平方法：如果x2kk0则x右边是非负常数的形式然后用直接开平

8、方法求解;(3）公式法：一元二次方程ax2bxc0a0的求根公式是xb24ac0；2a(4）因式分解法：如果xaxb0则x1a,x2b。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要尤其是因式分解法它使用的频率最高在具体应用时要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：1、解下列方程：(1)2.3y22.3y(2）12x1丄x132(3）（x3)22x523y26y22y2知识点五?一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0a0的根的判别式是b24ac:(1）当b24ac0时方程有两个不相等的实数根；(2）当b24ac0时方程有两个相等的实数根；(3）当b24ac0时方程无实数根。温馨提示：若方

9、程有实数根则有b24ac0。例题：21、已知方程x3xk0有两个不相等的实数根则k=。22、当m满足何条件时方程mx2m1x9m10有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？223、关于x的方程mx2m2xm50无实根试解关于x的方程m5x2m2xm0。22224、已知关于x的一元二次方程x4m1x2m10求证：不论m为任何实数总有两个不相等的实数根。知识点六?一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2若一元二次方程ax2bxc0a0的两个实数根为为_2则捲_2bc,xix2aa温馨提示：利用根与系数的关系解题时一元二次方程必须有实数根。例题:22xkx4k3022xkx4k30的两个实数

10、根分别是_i,_2且满足为_2_1_2贝yk的值为:33(A)1或(B)1(C)442、已知_的一元二.次方程_2m23xm是关于值是()(A)3或-1(B)3(C)11、关于x的一元二次方程(D）不存在0的两个不相等的实数根且满足-1则m的(D)-3或123、方程x3x60与方程x26x30的所有根的乘积是4、两个不相等的实数m,n满足m26m4,n26n4贝Umn的值为4、两个不相等的实数5、设5、设_1,_2是关于_的一元二次方程_2pxq0的两个根_11,_21是关于_的一元二次方程_qxp0的两个根则p,q的值分别等于多少?知识点七?一元二次方程的实际应用列一兀二方程解应用题的一般步

11、骤：(1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、有一个两位数十位数字比个位数字大3而此两位数比这两个数字之积的二倍多5,求这个两位数。2、市政府为了解决市民看病难的问题决定下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后由每盒200元下调至128元求这种药品平均每次降价的百分率是多少？成本共成本共24元该经营户要想每天盈利200元应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?1、下列方程中关于x的一元二次方程是A.3x122x1B.l1xx220C.ax222、方程(m1)x+mx5=0是关于一元二次方程综合复习22bxc0D.x

12、2xx1兀二次方程则m满足的条件是()(A)mz1(B)mz0(C)3、右x1疋兀2:二次方程axbx20的K4、实数b24ac是方程的根2a(A)ax2bxc0(B)ax2bx(C)ax2bxc0(D)ax2bx25、方程x250的解是：A.x1x25B.x1x225C.x15兀(D)m=1|m|丰1则D.x125,x2250两个不相等的实数根则k的取值范围是()(A)k1(b)k17、在下列方程中有实数根的是A)x3x10B)4x118、关于x的一元2二次方程2x2x/八51(A)m-(B)m3226、关于x的一元二次方程kx2x1(C)k0(D)k1且k0()2x1C)x2x30D)x1

13、x13m10有两个实数根_1,_2,且mx2551(C)m-(D)m332x1x24贝Um的取值范围是9.若(x+y)(1xy)+6=0贝Ux+y的值是()A.2B.3C.2或3D.2或310、若(m+1)xm(m2)1+2mx仁0是关于x的一元二次方程则m的值是11、填上适当的数使等式成立：x25x=(x)2.12、当x=时代数式x23x比代数式2x2x1的值大2.13、某商品原价每件25元在圣诞节期间连续两次降价现在商品每件16元则该玩具平均每次降价的百分率17、设_j_?是关于_的方程_2|求17、设_j_?是关于_的方程_2|求m的值。x-ix219、已知关于x的一元二次方程x2kx1

14、0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根;设的方程有两根分别为x1,x2且满足x1x2x-ix2设的方程有两根分别为x1,x2且满足x1x2x-ix2求k的值。221.已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x22k3xk3k20的两个实数根第三边BC的长为5,问：k取何值时ABC是以BC为斜边的直角三角形?22、一块长方形铁皮的长是宽的2倍四角各截去一个正方形制成高是5求这块铁皮的长和宽。cm容积是500cm3的无盖长方体容器。23、如图有一面积为150m2的长方形鸡场鸡场的一边靠围成如果竹篱笆的长为35m,求鸡场的长与宽各为多少米？墙(墙长18m),另三边用竹篱笆lBnjF2

15、4、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜以3元/千克的价格出售每天可售出200千克为了促销,该经营户决定降价经调查发现这种小西瓜每降价0.1元/千克每天可多售出40千克另外每天的房租等固定25、在矩形ABCD中AB=6cm,BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发用t(s)表示移动的时间(Owt<3)。那么当t为何值1.(I)已知a,b,c均不为0且a2b3bc2cac2b2b3a的值;1.(I)已知a,b,c均不为0且a2b3bc2cac2b2b3a的值;(n)已知：x0,且x6j_y7y0求的值.y2.已知关于x的一元二次方程x24x+k+1=0若x=1是方程的一个根求k值和方程的另一根；设_1,_2是关于x的方程x24x+k+1=0的两个实数根是否存在实