垂径定理课件 (3)

1、24.1.224.1.2垂直与弦的直径垂直与弦的直径 l圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？ 如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条你能找到多少条 对称轴？对称轴？ O 你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ? l圆是轴对称图形圆是轴对称图形. . 圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无 数条对称轴数条对称轴. . O 可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. . AM=BM, 垂径定理垂径定理 lAB是是 O的一条弦的一条弦. l你能发现图中有哪些等量关系你能发现图

2、中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由. n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M. O n下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么? AB C D M AmB n由由 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 题设题设 结论结论 垂径定理垂径定理 l如图如图,小明的理由是小明的理由是: l连接连接OA,OB,OA,OB, O AB C D M 则则OA=OB. 在在RtOAM和和RtOBM中中, OA=OB，OM=OM， RtOAM RtOBM. AM=BM. 点点A和点和点B关于关于C

3、D对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称, 当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B 重合重合, AC和和BC重合重合, AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD. 垂径定理垂径定理三种语言三种语言( (文字、图形、符号）文字、图形、符号） l定理定理: 垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. l老师提示老师提示: l垂径定理是垂径定理是 圆中一个重圆中一个重 要的结论要的结论,三三 种语言要相种语言要相 互转化互转化,形成形成 整体整体,才能运才能运 用自如用自如. O AB C D M CDAB, 如图如

4、图 CD是直径是直径, AM=BM, AC =BC, AD=BD. CDAB, 垂径定理的垂径定理的推论推论 lAB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM. l你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说 你的想法和理由你的想法和理由. n过点过点M作直径作直径CD. O n右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么? C D n由由 CD是直径是直径 AM=BM 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. M AB 平分平分弦（不是直径）的弦（不是直径）的直径直径 垂直于弦垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两

5、条弧. 不是直径不是直径 如图，已知在如图，已知在 O中，中， 弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心 O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米， 求求 O的半径。的半径。 E . AB O 练一练：试 金 石 解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则OE3厘米，厘米，AEBE。 AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。 n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗? 垂径定理的垂径定理的推论推论 l如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件只要具

6、备其中两个条件, 就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论. O AB C D M CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC = BC, AD = BD. 垂径定理及推论垂径定理及推论 O AB C D M 条件条件 结论结论命命 题题 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的 另一条弧另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂

7、直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平 分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦 ,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. CD是直径是直径 , AM=BM, CDAB, AC=BC, AD=BD. 垂径定理的推论垂径定理的推论 l如果圆的如果圆

8、的两条弦互相平行两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗那么这两条弦所夹的弧相等吗? l老师提示老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况: O AB CD 1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧 O AB CD 2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等. M M 已知：已知： O中弦中弦 ABCD。 求证：求证：ACBD 证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD， MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂（垂 直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧）直于弦的直径平分弦，且平分弦所对

9、的弧） AMCM BM DM ACBD . M CD AB O N 讲解讲解 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等 试一试试一试P93 挑战自我挑战自我填一填填一填 l1、判断：、判断： l 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两条弧的两条弧. （ ） l平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧对的另一条弧. （ ） l经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） l圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. l弦的垂

10、直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） l2.已知：如图已知：如图, O 中中,弦弦ABCD,ABCD, 直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F. 图中相等的线段有图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: . F E O M N A B C D l3、已知：如图，、已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径OA. D O A B C l4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长. A BC D 0 E F GH M N 已知：已知：ABAB和和CDCD是是OO内的两条平