第二章系统的状态空间描述

1、2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 1 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 2 1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。 （如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置 和速度）和速度） 2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。 （如果用最少的（如果用最少的n个变量个变量x1(t)， x2(t)， xn(t)就能完全描就能完全描 述系统的状态，

2、那么这述系统的状态，那么这n个变量就是一组状态变量。）个变量就是一组状态变量。） 3、状态向量：设一个系统有、状态向量：设一个系统有n个状态变量，即个状态变量，即x1(t)， x2(t)，xn(t)，用这，用这n个状态变量作为分量构成的向量个状态变量作为分量构成的向量x(t) 称为该系统的状态向量。记为称为该系统的状态向量。记为 T n txtxtxtx)(,),(),()( 21 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 3 4、引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系、引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系 统的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动

3、力学系统统的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动力学系统 可用图可用图2-1所示的方块图来表示。其中所示的方块图来表示。其中x(t)表征系统的状态表征系统的状态 变量，变量，u(t)为系统为系统控制量控制量（即（即输入输入量），量），y(t)为系统的输出为系统的输出 变量。变量。 与输入与输入输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程 的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变系统状态的变 化化，而，而状态和输入则决定了输出的变化状态和输入则决定了输出的变化。 图图2-1 动力学系统结构示意图动力学系统结

4、构示意图 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 4 5、状态方程：、状态方程：状态变量的一阶导数状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，与状态变量、输入量的关系， 称为系统的状态方程。称为系统的状态方程。 例：设单输入线性定常系统例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态的状态 变量为变量为x1(t)，x2(t)，xn(t)，输入为输入为u(t),则一般形式的状则一般形式的状 态方程为：态方程为： )()()()()()()( )()()()()()()( )()()()()()()( 2211 222221212 1121

5、21111 tubtxtatxtatxatx tubtxtatxtatxatx tubtxtatxtatxatx nnnnnnn nn nn 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 5 u上式可写成向量上式可写成向量矩阵形式矩阵形式： n x x x x 2 1 n x x x x 2 1 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 n b b b b 2 1 系统矩阵，表示系内 部状态的联系。 )()()(tbutAxtxbuAxx 或或 输入矩阵或控制矩 阵，表示输入对状 态的作用。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理

6、学院 6 6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出 与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系 统的输出方程。统的输出方程。 例：单输出线性定常系统例：单输出线性定常系统 )()()()()( 2211 tdutxctxctxcty nn 其向量其向量矩阵形式为：矩阵形式为： )()()(tdutcxty 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 7 7、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间 表达式，又称为动态方程。它是

7、对系统的一种完全的描述。表达式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。 例：例：SISO系统状态空间表达式：系统状态空间表达式： 注意：由于注意：由于A、B、C、D矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个 确定的系统简称为系统确定的系统简称为系统 。 系统矩阵系统矩阵A：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。 输入矩阵（或控制矩阵）输入矩阵（或控制矩阵）B：表示输入对每个状态变量的作用情况。：表示输入对每个状态变量的作用情况。 输出矩阵输出矩阵C：表示输出与每个状态变量之间的组成关系。：表示输出与

8、每个状态变量之间的组成关系。 前馈矩阵前馈矩阵D：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情 况况D=0。 ducxy buAxx DuCxy BuAxx MIMO系统状态空间表达式：系统状态空间表达式： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 8 8、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描 述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。 状态空间表达式状态空间表达式 DuCxy BuAxx 的结构图如

9、下：的结构图如下： 图图2 22 2 系统动态方程的方块图结构系统动态方程的方块图结构 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 9 线性系统状态空间表达式的一般形式线性系统状态空间表达式的一般形式： 连续系统：用线性微分方程来描述连续系统：用线性微分方程来描述 DuCxy BuAxx 离散系统：用差分方程来描述离散系统：用差分方程来描述 )()()( )()() 1( kDukCxkY kHukGxkx 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 10 一、状态空间表达式的模拟结构图一、状态空间表达式的模拟结构图 在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图

10、来表示在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示 各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态 空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三 种基本符号种基本符号： （1）积分器）积分器 （3）比例器）比例器 （2）加法器）加法器 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 11 （1）积分器）积分器 （3）比例器）比例器 （2）加法器）加法器 s 1 x x x x x x x x 1 x 2 x 213 xxx k xkx 2009-08 CAUC-空中交

11、通管理学院空中交通管理学院 12 【例【例2.2.1】已知系统动态方程如下，试画出系统结构】已知系统动态方程如下，试画出系统结构 图。图。 uxxxx xx xx 3213 32 21 236 21 xxy 解：写成向量解：写成向量矩阵形式矩阵形式 cxy buAxx 236 100 010 A 1 0 0 b011c ， ， 其中：其中： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 13 u系统结构图（或状态变量图）如下：系统结构图（或状态变量图）如下： 系统结构图（用基本单元来模拟动态方程） uxxxx xx xx 3213 32 21 236 21 xxy 2009-08

12、 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 14 二、状态空间表达式的的建立二、状态空间表达式的的建立 ， ， 四种方法四种方法: 、由传递函数建立 、由微分方程建立 定律建立、由实际系统通过物理 立、由控制系统结构图建 4 3 2 1 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 15 1、 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程 u系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信 号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。号相互关系的图形化的模型，具有形

13、象、直观的优点，常为人们采用。 要将系统结构图模型转化为要将系统结构图模型转化为状态空间表达式状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤，一般可以由下列三个步骤 组成：组成： 第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系 统只有标准积分器（统只有标准积分器（1/s）、比例器（）、比例器（k）及加法器组成，这三种基本器）及加法器组成，这三种基本器 件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（第二步：将上述调整过的

14、结构图中的每个标准积分器（1/s）的）的输出输出作为一个作为一个 独立的状态变量独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi /dt。 第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一 阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可 以从结构图写出系统的输出方程。以从结构图写出系统的输出方程。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 16 【例【例2.2.2】

15、某控制系统的结构图如图】某控制系统的结构图如图23（a）所示，试求出其动态方程。）所示，试求出其动态方程。 ， ， （a） 解解: u 该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。 u 对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一 标准积分器的反馈系统。标准积分器的反馈系统。 u 图图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示）所示 图图2-3 控制系统结构图控制系统结构图 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理

16、学院 17 （b） （a） u图图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示）所示 (b) 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 18 取取y为系统输出，输出方程为：为系统输出，输出方程为： 写成矢量形式，我们得到系统动态方程：写成矢量形式，我们得到系统动态方程： （b） u 我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和，我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和， 积分器的输入端积分器的输入端即和即和。 从图可得系统状态方程从图可得系统状态方程 1 xy 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 19 【例【例2.2.

17、3】 求如图所示系统的动态方程。求如图所示系统的动态方程。 （b）第一次等效变换）第一次等效变换 （a）系统方块图）系统方块图 （c）由标准积分器组）由标准积分器组 成的等效方块图成的等效方块图 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 20 解：图解：图(a)第一个环节第一个环节 可以分解为可以分解为 ，即分解为两个通道，如图，即分解为两个通道，如图(b)左侧点划左侧点划 线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图(b) 右侧双点划线所框部分。右侧双点划线所框部分。 进一步，我们可以得到图进一

18、步，我们可以得到图(c) 所示的由标准积分器组成的所示的由标准积分器组成的 等效结构图。依次取各个积等效结构图。依次取各个积 分器的输出端信号为系统状分器的输出端信号为系统状 态变量态变量 ，由图，由图(c)可得系统状可得系统状 态方程：态方程： uxxuxxx uxxxuxxxx xxx xxx 41144 4311433 312 211 22 33 64 8 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 21 由图可知，由图可知，系统系统输出输出 写成矢量形式，得到系统动态方程：写成矢量形式，得到系统动态方程： 1 xy 81000 640100 10311 10021 10

19、00 xxu yx 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 22 2 2、根据物理定律建立实际系统的动态方程、根据物理定律建立实际系统的动态方程 一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般 先要建立其运动的数学模型（微分方程先要建立其运动的数学模型（微分方程(组组)、传递函数、动态方程等）。根据、传递函数、动态方程等）。根据 具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变 量，并利用各种物理定

20、律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定 律等，即可建立系统的动态方程模型。律等，即可建立系统的动态方程模型。 【例【例2.2.4】 RLC电路如图所示电路如图所示. 系统的控制输入量为系统的控制输入量为u(t)，系统输出为，系统输出为 。建立。建立 系统的动态方程。系统的动态方程。 u(t)uc(t) i LR C 解：该解：该RLC电路有两个独立的储能元件电路有两个独立的储能元件L和和C，设回路电流为，设回路电流为 ，根据基尔霍夫，根据基尔霍夫 电压定律和电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：元件

21、的电压电流关系，可得到下列方程： )()(.)( 1)( tutiRdtti Cdt tdi L dtti C tuc)( 1 )( 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 23 （1）我们可以取流过）我们可以取流过电感电感L的电流的电流 和和电容电容C两端电压两端电压 作为系统的两个状态变作为系统的两个状态变 量，分别记作量，分别记作 和和 ix 1c ux 2 1 2 12 1 1 dt dx L x Cdt dx uRxx 12 211 1 11 x C x u L x L x L R x 2 xy 2 1 2 1 2 1 10 0 1 0 1 1 x x y u L

22、 x x C LL R x x 整理有整理有 写成向量矩阵形式为：写成向量矩阵形式为： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 24 , 1 ix idtx2 1 2 12 1 1 dt dx L x dt dx uRxx C 12 211 11 xx u L x LC x L R x 2 1 x C uy c 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 01 1 x x C y u L x x LCL R x x 整理有整理有 写成向量矩阵形式为：写成向量矩阵形式为： （2）设状态变量）设状态变量 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 25 , 1 1

23、Ridti C x c uidt C x 1 2 , )()(.)( 1)( tutiRdtti Cdt tdi L dtti C tuc)( 1 )( u L R x RC x L R RC xu L R x RC x RC Riuu L Rx RC x RCdt di Rxx x RC x RC xx RC i C x c 21121 2121 21212 1 ) 1 ()( 11 )( 111 11 )( 111 2 xy （3 3）设状态变量）设状态变量 整理有：整理有： 写成向量矩阵形式为：写成向量矩阵形式为： 2 1 2 1 2 1 10 0 11 11 x x y u L R x

24、 x RCRC RCL R RC x x 注意：选取不同的状态变量，便注意：选取不同的状态变量，便 会有不同的状态空间表达式，会有不同的状态空间表达式， 并且各状态空间表达式之间存在并且各状态空间表达式之间存在 着某种线性关系。着某种线性关系。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 26 3 3、由系统的微分方程建立状态空间表达式、由系统的微分方程建立状态空间表达式 从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发 建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为“实现问题实现问题

25、”。关。关 于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。 注意：实现是非唯一的。注意：实现是非唯一的。 （1）输入量中不含导数项）输入量中不含导数项 SISOSISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为：线性定常连续系统微分方程的一般形式为： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 27 n xxx, 21 第一步：选择状态变量（选择第一步：选择状态变量（选择n n个状态变量个状态变量）, ,令：令： )1( 3 2 1 n n yx yx yx yx n xxx, 21 uxaxaxax xx xx xx nnn nn

26、012110 1 32 21 1 xy 第二步：化高阶微分方程为第二步：化高阶微分方程为的一阶微分方程组。的一阶微分方程组。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 28 cxy buAxx 0 0 0 0 b 0001c 1210 1000 0100 0010 n aaaa A 第三步：将方程组表示为向量第三步：将方程组表示为向量矩阵形式：矩阵形式： 其中：其中： 注注 意：矩阵意：矩阵A A为为 友矩阵。友矩阵的友矩阵。友矩阵的 特点：主对角线上特点：主对角线上 方元素为方元素为1 1，最后，最后 一行的元素可以任一行的元素可以任 意取，而其余的元意取，而其余的元 素均

27、为零。素均为零。 系统结构图系统结构图 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 29 uyyyy67416 , 1 yx , 2 yxyx 3 uxxxx xx xx 66417 3213 32 21 1 xy cxy buAxx 6417 100 010 A 6 0 0 b001c 【例【例2.2.52.2.5】已知】已知 ，试列写动态方程。，试列写动态方程。 状态方程：状态方程： 输出方程：输出方程： 状态空间表达式为：状态空间表达式为： 其中：其中： 解：选状态变量解：选状态变量 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 30 2 2 )( )( )

28、( 2 sssU sY sG uyyy22 yx 1 yx 2 uxxx xx 22 212 21 1 xy 【例【例2.2.62.2.6】已知系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式。】已知系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式。 解：解： 故微分方程为：故微分方程为： 选状态变量选状态变量: : 状态方程：状态方程： 输出方程：输出方程： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 31 12 10 A 2 0 b01c 其中：其中： uxxx xx 22 212 21 1 xy 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 32 ububububyayayay

29、 in n n n n n n 01 )( 1 )( 01 ) 1( 1 )( 10 11 (2,3, ) iii xyh u in xxh u ducxy buAxx 1210 1000 0100 0010 n aaaa A n h h h b 2 1 0 1000 n cdhb （2 2）输入量中含导数项）输入量中含导数项 SISOSISO线性定常连续系统的一般形式：线性定常连续系统的一般形式： 取取 状态空间表达式为：状态空间表达式为： 其中：其中： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 33 n hhh, 21 0413223144 03122133 021122

30、 0111 0 hahahahabh hahahabh hahabh habh bh nnnnn nnnn nnn nn n 这里这里 可用可用待定系数法待定系数法确定，即：确定，即： 注注 意：这种方法不实用。意：这种方法不实用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 34 1 110 1 110 ( ) ( ) ( ) nn nn nn n b sbsb sbY s G s U ssasa sa )( )( )( 01 1 1 01 1 1

31、 sD sN b asasas ss bsG n n n n n n n 4 4、由传递函数建立状态空间表达式、由传递函数建立状态空间表达式 SISOSISO系统传递函数为：系统传递函数为： 应用综合除法有：应用综合除法有： n bducxyd n bd SISOSISO系统结构图系统结构图 上式中的上式中的就是就是中的中的 ，即，即 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 35 )( )( sD sN )( )( sD sN zyz, , 1 zx , 2 zx 3 ,x z )1( n n zx （1 1） 串联分解的情况串联分解的情况 其中：其中： 将将 分解为两部分

32、串联，分解为两部分串联，为中间变量，为中间变量，应满足：应满足： 选取状态变量：选取状态变量： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 36 uzazazax xx xx xx n nn nn )1( 110 1 32 21 uxaxaxa nn 12110 nnnn n n xxxzzzy 1121001 ) 1( 1 cxy buAxx 输出方程为：输出方程为： 向量向量矩阵形式的状态空间表达式为：矩阵形式的状态空间表达式为： 1210 1000 0100 0010 n aaaa A 1 0 0 0 b 1210 n c 其中：其中： 上述状态空间表达式称为上述状态空间

33、表达式称为可控标准型可控标准型。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 37 0 a 1 a 2 a 2 n a 1 n a 0 u s 1 n x n x s 1 1n x s 1 3 x s 1 2 x 1 x y （可控标准型）串联分解的状态变量图 )( )( sD sN 2n 1n 1 2 0 )( )( )( sD sN bsG n bA,ubcxy n 当当 时，时，不变，唯不变，唯 变化。变化。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 38 01 1 1 01 1 1 )( )( asasas ss sD sN n n n n n uya

34、xx yx iiii n 1 uxax uxaxx uxaxx uxaxx uxaxx n n nn nnnnn nnnnn 001 1112 2123 2221 111 n xy 另外，另外， 还可以选另一组状态变量。设还可以选另一组状态变量。设 经整理有如下状态方程：经整理有如下状态方程： 输出方程为：输出方程为： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 39 ducxy buAxx 1 2 1 0 100 000 001 000 n n a a a a A 1 2 1 0 n n b 1000c 向量向量矩阵为矩阵为 上述状态空间表达式称为可观测标准型。上述状态空间表

35、达式称为可观测标准型。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 40 )( )( sD sN T oc AA T oc cb T oc bc 串联分解对偶的状态变量图串联分解对偶的状态变量图 （可观测标准型）（可观测标准型） 可观测标准型和可控标准型动态方程的各矩阵存在如下关系：可观测标准型和可控标准型动态方程的各矩阵存在如下关系： u 0 a 0 s 1 1 x 1 x s 1 2 x y 1 a 2 n a s 11n x s 1 1 n a 2 x 2n x 1 n x n x n x 1 2n 1n 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 41

36、, 8147 158 )( 23 2 sss ss sG 158 )( )( 2 ss sZ sY zzzy158 8147 1 )( )( 23 ssssU sZ uzzzz 8147 , 1 zx , 2 zxzx 3 uxxxx xx xx 3213 32 21 7148 321 815xxxy 【例【例2.2.72.2.7】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为 解：采用传递函数串联分解法：解：采用传递函数串联分解法： 整理有：整理有： 整理有：整理有： 令：令： 试求状态空间表达式。试求状态空间表达式。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 42 状态空间表达式

37、为状态空间表达式为: ducxy buAxx 7148 100 010 A 1 0 0 b 1815c0d 式中：式中： ， ， ， 可控标准型状态变量图可控标准型状态变量图 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 43 根据对偶原理，也可写出可观测标准型：根据对偶原理，也可写出可观测标准型： udxcy ubxAx oo oo 710 1401 800 o A 1 8 15 o b 100 o c0 o d uxxx uxxx uxx 323 312 31 7 814 158 3 xy 式中：式中： ， ， 可观测标准型状态变量图可观测标准型状态变量图 2009-08 C

38、AUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 44 , 34 86 )( 2 2 ss ss sG 34 52 1)( 2 ss s sG udxcy ubxAx cc cc , 43 10 c A , 1 0 c b,25 c c1 c d udxcy ubxAx oo oo 41 30 T co AA 2 5 T co cb 10 T co bc 1 o d 【例【例2.2.8】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为试求状态空间表达式。试求状态空间表达式。 （1）可控标准型状态空间表达式为：）可控标准型状态空间表达式为： 其中：其中： （2）可观测标准型状态空间表达式为：）可观测标准型状态空间

39、表达式为： 其中：其中： 解：解： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 45 )( )( sD sN )(sD )()()()( 1 21i n i n sssssD ), 2 , 1(ni i n n n i i i s c s c s c s c sD sN su sy 2 2 1 1 1 )( )( )( )( i ii s s sD sN c )( )( )( 只含单实极点的情况只含单实极点的情况 可分解为可分解为 式中式中 为为n阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。 式中：式中： 设设 那么传递函数可展成：那么传递函数可

40、展成： ),( 1 )(su s sx i i ni, 2 , 1 uxx iii uxx uxx uxx nnn 222 111 取状态变量：取状态变量： 整理后有：整理后有：， 即状态方程为：即状态方程为： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 46 )( )( sD sN )(sD )()()()( 1 21i n i n sssssD ), 2 , 1(ni i 只含单实极点的情况只含单实极点的情况 可分解为可分解为 式中式中 为为n阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。 设设 那么传递函数可展成：那么传递函数可展成： n n

41、 n i i i s c s c s c s c sD sN su sy 2 2 1 1 1 )( )( )( )( 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 47 )()(su s c sy n ii i i n ii ii xcy nn xcxcxcy 2211 uxx n 1 1 1 0 0 1 xcccy n 21 又有：又有： 即输出方程为：即输出方程为： 向量向量矩阵形式为：矩阵形式为： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 48 对角形动态方程的状态变量图为：对角形动态方程的状态变量图为： 由于由于 uiyi i s 1 i c i u i

42、 x i y i i s c 等价于 1 s i c i i u i y i x i x 对角形动态方程的状态变量图对角形动态方程的状态变量图 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 49 8147 158 )( 23 2 sss ss sG 4218147 158 )( 321 23 2 s c s c s c sss ss sG 3 8 ) 1()( 11 s ssGc 2 3 )2()( 21 s ssGc 6 1 )4()( 41 s ssGc uxx 1 1 1 400 020 001 xy 6 1 2 3 3 8 【例【例2.2.92.2.9】已知系统传递函数为

43、】已知系统传递函数为 解：解： 其中：其中： 动态方程为：动态方程为： 试求状态空间表达式。试求状态空间表达式。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 50 )( )( sD sN )( )( sD sN （3 3）含重实极点的情况含重实极点的情况 中含重实极点时，不仅可以化为中含重实极点时，不仅可以化为可控、可观测标准型可控、可观测标准型， 当当 还可以化为约当形动态方程。例如：还可以化为约当形动态方程。例如： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 51 )()()()( 4 3 1n ssssD n i i i s c s c s c s c s

44、D sN su sy 4 1 13 2 1 12 3 1 11 )()()()( )( )( )( uxx n 1 1 1 0 0 0 01 1 4 1 1 1 xcccccy n 4131211 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 52 3 2 )2( 152 )( s ss sG )2( 2 )2( 13 )2( 19 )2()2()2( )( 23 13 2 12 3 11 ssss c s c s c sG 19)2()( 2 3 11 s ssGc 13)2()( 2 3 12 s ssG ds d c 2)2()( ! 2 1 2 3 2 2 13 s ss

45、G ds d c uxx 1 0 0 200 120 012 xy21319 uxx xxx xxx 33 322 211 2 2 2 321 21319xxxy 【例【例2.2.102.2.10】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为，试求约当型状态空间表达式。，试求约当型状态空间表达式。 其中：其中： 动态方程为：动态方程为： ， 即即 解：解： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 53 2 485 5104 )( 23 2 sss ss sG ) 1()2()2() 1()2( 5104 )( 312 2 11 2 2 s c s c s c ss ss sG 1

46、)2()( 2 2 11 s ssGc 【例【例2.2.112.2.11】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为 ，试求约当型状态空间表达式。，试求约当型状态空间表达式。 其中：其中： 解：解： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 54 , 5)2()( 2 2 12 s ssG ds d c1)1()( 13 s ssGc uxx 1 1 0 100 020 012 xy151 动态方程为：动态方程为： ， DuCxy BuAx x DBAsICsG 1 )()( 特别注意：状态空间表达式特别注意：状态空间表达式 可按如下公式导出传递函数可按如下公式导出传递函数 20

47、09-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 55 一、状态空间表达式的线性变换一、状态空间表达式的线性变换 u系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还 是从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，是从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发， 在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性; u实际物理系统虽然实际物理系统虽然结构不可能变化结构不可能变化，但不同的状态变量取法，但不同的状态变量取法 就产生不同的动态方程；就产生不同的动态方程； u系统结构图在取

48、状态变量之前需要进行等效变换，而系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变等效变 换过程就有很大程度上的随意性换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的，因此会产生一定程度上的 结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；结构差异，这也会导致动态方程差异的产生； u从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导 致迥然不同的致迥然不同的系统内部结构系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的的产生，因而也肯定产生不同的 动态方程。所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形动态方程。所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形

49、式的动态方程。式的动态方程。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 56 , 21 T n xxxx x x xPx cxy buAx x xcy ubxAx APPA 1 bPb 1 cPc 1、非奇异线性变换、非奇异线性变换 我们总可以找到某个非奇异矩阵我们总可以找到某个非奇异矩阵P P， 将原状态向量将原状态向量 作线性变换，得到另一个新的状态向量作线性变换，得到另一个新的状态向量 , ,令令 变换前系统动态方程为：变换前系统动态方程为： 变换后系统动态方程为：变换后系统动态方程为： 式中：式中： 对于状态向量对于状态向量 2009-08 CAUC-空中交通管理学院

50、空中交通管理学院 57 Pxx cxy buAx x xcy ubxAx , 1 PAPA ,Pbb 1 cPc xPx 特别提示特别提示：有些教材中，做如下线性变换：有些教材中，做如下线性变换： 变换前系统动态方程为：变换前系统动态方程为： 变换后系统动态方程为：变换后系统动态方程为： 式中：式中： 与上面线性变换相比，两者只是形式不同。为在讲授过程中与上面线性变换相比，两者只是形式不同。为在讲授过程中 方便讲解，我们将一直采用方便讲解，我们将一直采用 这种线性变换。这种线性变换。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 58 2、非奇异线性变换的不变特性、非奇异线性变换

51、的不变特性 线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方 程、传递函数不变。程、传递函数不变。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 59 A 二、系统特征值和特征向量（预备知识）二、系统特征值和特征向量（预备知识） 定义：定义： 设设A A是一个是一个nxn的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量v v，使，使 AAA则称则称 为为 的特征值，任何满足的特征值，任何满足 的非零向量的非零向量 称为称为 的的 对应于对应于 特征值的特征向量。特征值的特征向量。 5116 6116 110

52、A 1 1、特征值的计算、特征值的计算 【例【例2.3.12.3.1】求下列矩阵的特征值。】求下列矩阵的特征值。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 60 5116 6116 11 )det( AI 0)3)(2)(1(6116 23 , 1 1 , 2 2 3 3 解出特征值解出特征值 解：解： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 61 5116 6116 110 A 2 2 3 3 1 1 T 1312111 13 12 11 13 12 11 1 5116 6116 110 2 2、特征向量的计算、特征向量的计算 【例【例2.3.22.3.

53、2】求下列矩阵的特征向量】求下列矩阵的特征向量 解：（解：（1 1）A A的特征值在上例中已求出的特征值在上例中已求出 1 1 1 111 A的特征向量的特征向量 （2 2）计算对应于特征值）计算对应于特征值，有，有 设设，即有，即有 T 1312111 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 62 06116 06106 0 131211 131211 131211 vvv vvv vvv 1 11 v T 101 1 2 2 T 421 2 3 3 T 961 3 令令 : : ，则，则 的特征向量的特征向量（3 3）同理可算出）同理可算出 的特征向量的特征向量 计算整

54、理后有：计算整理后有： 1311 vv 0 12 v 解出：解出： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 63 cxy buAx x xPx xcy ubxAx 三、动态方程的几种标准型三、动态方程的几种标准型 1 1、动态方程的对角标准型、动态方程的对角标准型 对于线性系统对于线性系统 若若A A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵P P 使原状态空间表达式变换为对角标准型。使原状态空间表达式变换为对角标准型。 式中：式中： , 1AP PA , 1b Pb cPc ), 2 , 1(ni i 其中，其中，是矩阵是矩阵A A的

55、特征值。的特征值。 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 64 n ppp, 21 21n pppP n ppp, 21 n , 21 变换矩阵变换矩阵P P由由A A的特征向量的特征向量构造，即构造，即 分别为对应于特征值分别为对应于特征值 的特征向量。的特征向量。 uxx 1 0 0 5116 6116 110 xy001 【例【例2.3.32.3.3】试将下列动态方程变换为对角标准型。】试将下列动态方程变换为对角标准型。 解：（解：（1 1）A A的特征值和特征向量已在前面两例中算出：的特征值和特征向量已在前面两例中算出： 1 1 2 2 3 3 2009-08 C

56、AUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 65 1 0 1 1 p 4 2 1 2 p 9 6 1 3 p , 941 620 111 321 pppP 1231 343 2253 * 1 P P P 321 ,ppp 1 P （2 2）用）用 构造变换矩阵构造变换矩阵P P，并求，并求 。 cbA, 300 020 001 1 APPA 1 3 2 1b Pb111 cPc （3 3）计算）计算 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 66 , 1 3 2 300 020 001 uxx xy111 于是变换后的动态方程为：于是变换后的动态方程为： n ， 21 11 2

57、 1 1 22 2 2 1 21 111 n n nn n n P 注注 意：意： 如果原状态空间表达式中的如果原状态空间表达式中的A A阵为友矩阵，且有阵为友矩阵，且有n n个互异实数个互异实数 特征值，特征值， 那么使那么使A A变换为对角形矩阵的变换阵变换为对角形矩阵的变换阵P P是一个是一个 范德蒙（范德蒙（VandermondeVandermonde）矩阵：）矩阵： 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 67 uxx 0 0 1 6116 100 010 xy011 0)det( AI 1 1 2 2 3 3 【例【例2.3.42.3.4】试将下列动态方程变换为

58、对角标准型。】试将下列动态方程变换为对角标准型。 解：系统特征多项式为解：系统特征多项式为，解出特征值为，解出特征值为 由于由于A A为友矩阵，并且有互异实特征值，故而变换矩阵可直接写为如下形式：为友矩阵，并且有互异实特征值，故而变换矩阵可直接写为如下形式： 则 , 941 321 111 P 5 . 05 . 11 143 5 . 05 . 23 1 P 300 020 001 1 APPA 1 3 3 1b Pb 210 cPc 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 68 于是变换后的动态方程为：于是变换后的动态方程为： uxx 1 3 3 300 020 001 x

59、y210 【例【例2.3.52.3.5】试将下列动态方程变换为对角标准型。】试将下列动态方程变换为对角标准型。 uxx 1 2 7 120 010 112 xy001 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 69 解：采用另一种方法：解：采用另一种方法： （1 1）系统特征多项式为）系统特征多项式为0)det( AI ，解出特征值为，解出特征值为 2 1 1 2 1 3 （2 2）可由）可由 APPAAPPA 111 ，进而求出，进而求出 1 P。令：。令： 333231 232221 131211 1 pp ppp ppp P 并带入并带入 APPA 11 ，有，有 12

60、0 010 112 100 010 002 333231 232221 131211 333231 232221 131211 pp ppp ppp pp ppp ppp 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 70 解出解出 110 010 111 1 P ，则，则 110 010 101 P （3 3）计算）计算 bc 3 2 4 1b Pb101 cPc 2009-08 CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院 71 2 2、动态方程的约当标准型、动态方程的约当标准型 如果如果A A阵具有重实特征根，又可分为两种情况：阵具有重实特征根，又可分为两种情况： A A阵阵