有关抽象函数的全面探析

1、有关抽象函数的全面探析 摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。 关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性         抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽

2、象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。 一、抽象函数的定义域 例1已知函数f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a0）的定义域。 解析：由由a0         知只有当0a1时，不等式组才有解，具体为x|1+ax≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0a1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域

3、为（1+a,3-a。         点评：1.已知f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域即是g(x)在xa,b上的值域。 二、抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。 例2若函数y=f(x+1)的值域为-1，1求y=(3x+2)的值域。 解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值

4、域也为-1，1。 三、抽象函数的奇偶性 四、抽象函数的对称性         例3已知函数y=f(2x+1)是定义在r上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（   ） a、 2    b、 0     c、  1     d、不能确定 解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=， y=f(2x+1) 是奇函数，&ther

5、e4;y=也是奇函数，∴。∴ ， ，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)=故选a 。         五、抽象函数的周期性 例4、（2009全国卷理）函数的定义域为r，若与都是奇函数，则(    )          (a) 是偶函数       

6、;  (b) 是奇函数   (c)           (d) 是奇函数         解: 与都是奇函数，         函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选d         定理1.若函数y=f (x) 定义域为r，且满足条

7、件f (xa)=f (xb)，则y=f (x) 是以t=ab为周期的周期函数。         定理2.若函数y=f (x) 定义域为r，且满足条件f (xa)= f (xb)，则y=f (x) 是以t=2（ab）为周期的周期函数。         定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b  （a≠b)对称，则y=f (x) 是以t=2(ba)为周期的周期函数。     

8、  定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 t=2(ba)为周期的周期函数。         定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 t=4(ba)为周期的周期函数。         性质1：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx) (a≠b,ab≠0),则函数f

9、(x)有周期2(ab)；         性质2：若函数f(x)满足f(ax)= f(ax)及f(bx)= f(bx)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(ab).         特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.         性质3：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(ab).         特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。