圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用.doc

1、圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用北京一零一中学数学组何效员圆锥曲线的第二定义： 平面上到定点与到定直线的距离的比为常数 e的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分， 它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。 利用圆锥曲线的第二定义， 在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点 (1,1) 与到定直线 x 1 的距离之比为常数 e 的点的轨迹讨论如下：当 e 1 时，点的轨迹方程为y1,( x

2、1) ，直线去掉一点；当 e 1 时，点的轨迹方程为y1e21( x1),( x1) ，两条直线去掉一点；共 8页，第 2页当 e 1 时，点的轨迹不存在。下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。例 1 已知椭圆 x2y21内一点 P( 1,1)， F 为右焦点，43y椭圆上有一点 M 使M| MP | 2 | MF |的值最小，求点 M 的坐标。x = 4FOxP分析：若按常规思路，设点M，M ( x, y) ，右焦点 F (1,0)则|MP| 2|MF |( x 1)2( y 1)22 ( x 1)2y2 ，求其最小值无疑是困难，观察2|MF |，设 M点到右准线的距离|MF |ec

3、1d， da2 ， 2 | MF | d ，这样| MP | 2 | MF | 就转化为在椭圆上寻找一点到a24的距离和最P( 1,1)的距离与到直线 xc小，当且仅当 MP直线 x4时，点M在点 P和直线 x 4 之间时取得，此时 M 的坐标为(2 6, 1).3例 2已知椭圆方程为y2x2b 0) ，求与这个a22 1( ab共 8页，第 3页椭圆有公共焦点的双曲线，使得它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标，继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双曲线有共同的焦点，

4、不妨利用第二定义求解。设所求双曲线方程为y2x2m2n2 1( m,n 0) ，其中c2a2b2m2n2 ，设两曲线在第一象限内的交点 P1 (x1, y1 ) ，l1, l2 分别为椭圆，双曲线的上准线，过P1作1l1于Q， 12于R，PQPR l| PF1 2 | e | PQ1| e1 | PR1 |c | a2y1 |c | y1m2|，acmcm( a2y1)a( y1m2) ，解得y1am ，代入椭圆ccc共 8页，第 4页方程 y2x21 ，得22abx1bnc ，利用双曲线与椭圆的对称性知S4x1 y1abmnm2n22ab ，等号当且仅当4c22ab2cmn2c 时取得，故所

5、求双曲线方程为2y2x2a2b2，相应的四个顶点坐标为2(2 b,2 a) .22例 3220 的两个焦点分别为已知椭圆 x2y2 1 ababF1c,0 和 F2c,0，过点 Ea2,0 的直线与椭圆相c交于 A, B 两点，且F1 A/ F2B, F1 A2 F2B（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）求直线 AB 的斜率。分析：本题是 2009 年天津卷文科第 22 题的前两问，参考答案是用常规方法， 即设直线 AB 的方程与椭圆方程联立，利用 B 为 AE 之中点求解，方法虽易理解，但计算繁杂，极易出错，而利用椭圆的第二定义， 求解过程简洁，极富数学美感。为对比，先将两共 8页，第 5页种解

6、法列出。解法一 （1） 由 F1A/ F2B, F1A 2 F2B ，得 | EF2|F2B|1 ，|EF1|F1A| 2a2c1 ，从而 c2ac2c整理得22，故离心率 ec3a3ca3 .（ 2）解：由（ 1）知， b2 a2 c2 2c2 ，所以椭圆的方程可以写为 2 x2 3 y2 6c2 ，设 直 线AB的 方 程 为 y k( x a2 ) 即cyk( x3c) ，由已知设A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则它们的坐标满足方程组 y2 k(x 23c) 2 ，2x3y6c消去 y 整理，得 (23k 2 ) x218k 2cx27k 2c26c20依题意，48

7、c2 (13k2 )0,3k3，33而 x1x218k 22 , x1 x227 k2 c226c2，由题设知，23k23k点 B 为线段 AE 的中点，所以 x13c2x2联立三式，解得 x19k 2c22c , x29k 2c222c2，23k23k将结果代入韦达定理中解得k32 .共 8页，第 6页yAA 解法二 （2） 设椭圆方程为 2x23y26c2 ，BBF 1OF 2Ex过 E 作 l x 轴，知 l 为椭圆的右准线，过 A, B 分别作 AA l 于 A ， BB l于 B ，知 AA/ /BB ，| AF2 | |BF2 |，即| AF2| |AA|，在EAA 中，|AA|

8、|BB| BF2| |BB|e根据相似三角形对应线段成比例，|AA|AE|，|BB |2|BE|AF2| 2|BF2| |AF1|，则点 A 在短轴顶点，所以 A(0,2c), 直线 AB 的斜率为 kAB2c2。3c3利用圆锥曲线的第二定义， 我们在极坐标系中可以很方便地得到圆锥曲线的统一方程：ep，（其中 e 为离心率， p 为焦准距）。利用1 ecos这个方程，我们很容易得到下面这个结论：22过双曲线x2 y2 1 的右焦点且与右支交于两ab点的弦，当且仅当弦与 x 轴垂直时，取共 8页，第 7页得最小长度 2ba2 .以双曲线右焦点 F 为极点，对称轴为极轴，如图所示建立极坐标系， 易知双曲线右支的方程为ep,( ec , pb2) ，1 ecosac设 A, B 两点的坐标分别是( 1, ),( 2,) ，12epep) 12ep2ep2b2，当且仅当1 ecos1 ecos(e2 cos2a2时，等号成立 .利用这个结论，我们可以很轻松地证明 1997 年全国高中数学