【精品】导数在生活中的优化问题举例

1、1.4第一课时 生活中的优化问题举例一、课前准备1 课时目标(1) 了解函数极值和最值的根本应用(2) 会用导数解决某些实际问题 2. 根底预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域求函数y f x的导数f (x)，解方程f (x) = 0,求定义域内的根，确定 .比拟函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大(小)值(4)复原到原中作答三、学习引领1. 常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，

2、需要寻求相应的最正确方案或最正确 策略，这些都是最优化问题 导数是解决这类问题的根本方法之一2解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系， 并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.解决优化问题的根本程序是：读题建模 求解 反应(文字语言)(数学语言)(导数应用)(检验作答)3需要注意的几个问题(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束，所以在建立目标函数时，需要注意定义域确实定，并注意定义域对函数最值的影响(2)

3、 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比拟，但要注意说明极值点的唯一性 四、典例导析题型一几何图形中的优化问题例1请你设计一个包装盒，如下图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影 局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm(1)某广告商要求包装盒侧面积S (cm2 )最大，试问x应取何值？(2)某广告商要求包装盒容积V ( cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底

4、面边长的比值A x e F x B思路导析：明确平面图形中切割的规那么，即弄清平面图形中的位置关系和数量关系，确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系问题(1)中，用底面边长把包装盒侧面积表示出来，观察其特点，用一元二次函数最值解决问题问题(2)中,建立目标函数，依据目标函数的特征，通过求导，研究函数性质，求相应最值.解：设该盒的高为 h ( cm )，底面边长为 a ( cm )，由得60 2x a .2x，h2(30x)，0 x 30.v2(1) 由题意包装盒侧面积 S 4ah 8x(30 x) 8(x 15)2180Q所以当x 15时，s取得最大值.(2) 由题意知，V a2h

5、 2 2(30x2 x3)，(0 x 30)，V6、2x(20 x).由 V 0得x 0(舍)或x 20.由于当x (0,20)时，V 0;当x (20,30)时V0，所以当x 20h 1时，v取得极大值，而且为唯一极大值，故也是最大值，此时该盒的高与底面边长的比a 21值为丄2规律总结：几何图形中的优化问题，包括平面几何和空间几何体的问题，主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式，需要依据平面几何知识或空间几何特征，借助相应的公式进行.上述题中，两个目标函数皆未给出，因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征，从而选定侧面积和体积的计算公式，

6、.利用空间图形与平面图形数量关系的联系，进行具体计算.因为实际问题往往会有更为具体的定义域，所以在求函数最值时，要充分注意函数定义域的影响.正确求导，并研究函数的性质，是 解决该最值问题关键之二.变式训练1今有一块边长a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为多少？题型二费用最省问题例3某企业拟建造如下图的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为空 立方米，且I 2r .假设该容器的建造费用仅与其3外表积有关圆柱形局部每平方米建造费用为3元，半球形局部每

7、平方米建造费用为c,(c 3).设该容器的建造费用为y千元(I)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(n)求该容器的建造费用最小时的r.思路导析：该几何体由一个圆柱和两个半球组成，而且只涉及外表积问题，所以将圆柱的解：(I)因为容器的体积为立方米,33 4 r280口804r所以r I，解得I2333r3所以圆柱的侧面积为 2 rl =2 口聖竺)160-3r23 3r8 r2，两端两个半球的外表积之和为24 r，所以y160r22I8 r + 4 cr，定义域为0，.2(n)因为y16016 r +820，所以令y令y 0得：0 r2 r米时，该容器的建造费用最小c 2侧面积和两个

8、半球的外表积，分别用半径表示，再表示建造费用，建立函数关系式.规律总结：由于所得函数解析式为非根本初等函数，所以要求其最小值，需要利用函数的导数，先求函数的极值，再判断函数的最值因为实际问题往往会有更为具体的定义域，所以在求函数最值时，要充分注意函数定义域的影响变式训练2设工厂到铁路线的垂直距离为 20km，垂足为B.铁路线上距离 B为100km处 有一原料供给站 C，现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修 一条公路如果每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么，D应选在何处，才能使原料供给站C运货到工厂A所需运费最省？题型三利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验

9、说明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价a2格x (单位：元/千克)满足关系式 y10(x 6)2，其中3 x 6, a为常数，x 3销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(I )求 a的值;(II )假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大思路导析：问题(I)，由题设中的具体情形，代入函数解析式，解方程，求a的值问题(II)， 用x表示该商场每日销售该商品所获得的利润 ，得函数关系式，对所得函数关系式求导，讨论极 值和最值的情况，最后确定利润最大的时刻解：1因为当x 5 时,y 11，代入yac 10(x2a6)2 得，

10、10 11,a 2.x32II 由I知,该商品每日的销售量为2 y10(x 6)F,所以商场每日销售该商品所(x 3)二x 3获得的利润为f(x)10(x 6)22 10(x3)(x 6)2x 32 10(x3)(x212x 36), (3x 6).所以,2f (x)10(x6)20(x 3)(x6)30(x 4)(x6).于是，当 x变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f (x)+0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可知，x 4是函数fx在3,6上的极大值点，而且为唯一极大值点，即是最大值点所以当x 4时屈数f x取得最大值，最大值为42.答:当销售价

11、格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大规律总结：在上述问题中，首先需要建立利润的数学模型，即写出利润关于销售价格的函 数关系式由于所求得的函数解析式为非根本初等函数，所以为了求其最大值，需要利用函数的导数，先求函数的极值，再判断函数的最值情形因为实际问题往往会有更为具体的定义域，所以在求函数最值时，要充分注意函数定义域的影响 .变式训练3甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲 方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x 元与年产量t 吨满足函数关系，x 2000 . t .假设乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元以

12、下称s为赔付价格.1 将乙方的年利润 w 元表示为年产量 t 吨的函数，并求出乙方获得最大利润 的年产量；2甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2 元，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？五、随堂练习1. 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，那么高为cm.310.316、320、3A.B.C.D.-33332. 以长为10的线段AB为直径作半圆，那么它的内接矩形面积的最大值为.A.10B.15C.25D.503. 假设一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，那么其侧面积最大为.c2A.

13、2 rB. r2C.4 r1D.24. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m,长和宽的和为大值为 .5. 统计结果说明，某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量X千米/小时的函数解析式可以表示为：y - X3 x128000 8020m，那么仓库容积的最 y 升,关于行驶速度80 x 120，甲乙两地相距100千米当汽车以 千米/小时速度行驶时，从甲地到乙地耗油最6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，在速度为每小时 10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？六、课后作业1.设底为等

14、边三角形的直棱柱的体积为V,那么其外表积最小时，底面边长为A. 3 VB. 3 2VC. 3 4VD. 23 V2. 制作一个圆柱形锅炉，容积为V两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元,当造价最低时，锅炉底面半径与锅炉高的比是aA.2b2 a B. 2bbC.2aD.2a3. 做一个无盖的圆柱形水桶，假设要使其体积是27 ，且用料最省那么圆柱的底面半径为 4. 去年初，某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品假设该商品零售价定为p元，那么销2售量q 件与零售价p 元有如下关系q 8300170 p p 那么该商品零售价为元时，毛利润最大？毛利润=销售收入一进货支出

15、5. 现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发当投入广告宣传和产品开发的资金分别1 2为x和y时，得到的回报是P x3y3 求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.6如下图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,方案将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD 2x , 梯形面积为S.1求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域2求面积S的最大值.1.4第一课时生活中的优化问题答案及解析一、2.根底预探1数学模型；函数关系2极值点 3区间短点4实际问题三、变式练习1.解：折成盒子后底面正三角形的边长为a 2x(0 xa2，高

16、为hx tan 30设:容积为V，那么Vsh2(a22x) sin 60x33 x2 ax2x.函数求导得：4V22a3x 2ax，令 V0得xaax 舍去,当0x-时，V 0;当xa46266时,V 0,所以当xa时，V最大3 a3 aa34 a33 ab2163624216542解设 BD 之间的距离为 Xkm,那么 |AD|= , x2 202,|CD|=100x.如果公路运费为a元3 答：x为a时，盒子的容积最大为 654C途经中转站D到工厂A所需总运费y3a 一/km,那么铁路运费为兀/km.故从原料供给站5为：y 曽(100x)+a ,x2400,(0 x 100).对该式求导，得

17、:，令y0,即得25x =9( x400),解之得3a ax a(5x 3 x2400)+=5-x2 4005r2 400X!=15,X2=-15不符合实际意义，舍去且洛=15是函数y在定义域内的唯一极小值点，所以 捲=15是函数y的最小值点由此可知，车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最 省.3.解：I 因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：w 2000. t stt 0因为 w 2000、t sts( -11000)2s21000s,所以当tl0002时，w取得最大值s所以乙方取得最大利润的年产量t 0002吨.sII 设甲方净收入为v元，那么V st 0.002t

18、2，将t空02代入上式，得到甲方纯收入sV与赔付价格 s之间的函数关系式100022 10003231000 8 1000v 2s231000 (8000 s)，令 v 0 得 s 20,当 s 20 时，v 0 ；当s 20时，v 0.所以s 20时，v取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格是20元.四、随堂练习1.答案：D.解析：设圆锥的高为h,那么体积V 1 (4003h2)h,(0 h 20),2.3.4.h240乞 0，解得3型？，由导数的意义，当 h心时,V取极大值且3唯一,故为最大值.应选D.答案:D.解析：设圆的内接矩形的一边长为S x. 100

19、x2 , S2 x2(100 x2)x 0(舍去),x . 50，根据导数的意义知,x,那么另一边长为 100 x2 ,内接矩形的面积4 2 2x 100x ,(S )内接矩形面积的最大值为答案：A.解析：设内接圆柱的底面半径为x,(0 x r)S 4 x、r2最大为2 r2.答案:300m3V x(20 x)V 0 ；当 x5.答案:80.解析100为:Wy x2 2 22/2x , S 16 x (r解：设长为xm，233x+60x.V10时，V 0, x34x 200x0 ,解得50.，那么圆柱的侧面积x2)，求导，判断极大值点 x r，其侧面积2那么宽为(20 x)m，仓库的容积为V,

20、那么6x 60，令 V 0 得 x 10 ,当 0 x 10 时,10时,V最大 300(m3).;由题意可知，以速度x1 2x1280(千米/小时)从甲地到乙地耗油量x6408002x0,解得x80,且为唯一极小值点，所以x 80为最小值点6.解:设船速度为x(x 0)时,燃料费用为Q元，那么Qkx3,33 Q 500 x ,总费用y (2x3y 0 得 x 20，当 x (0,20)时，yy 0 ,此时函数单调递增，.当 x96)150096，y x33103可得k500696.x 2，令500x20，此时函数单调递减，当x (20,)时,20时，y取得最小值，.此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小.五、课后作业1.答案：C.解析:设底面等边三角形的边长为x, x0,直棱柱的高为h,那么V普h,所以h 4V2 .外表积 S 2 三L 3 4V2 xV3x243x23x224 S3x4 3V 0,解x2得x 3 4V , S取极小值且唯一，即最小,应选C.2.答案C.解析：设锅炉底面半径和高分别为r,h ,那么V2a r2 2b r -V2 2a r2r2bV4a r2bVV2r0 ,得 2arb 即rr2h, h,总造价K一时取极大值,