拉格朗日中值定理地应用

1、目 录摘要 1关键字 1Abstract 1KeyWord 1只 、八、亠0刖言 11对拉格朗日中值定理的理解 11.1承上启下的定理 11.2定理中的条件 11.3定理中的 21.4定理的意义 22拉格朗日中值定理的证明 23拉格朗日中值定理的应用 33.1求极限 33.2证明不等式. 53.3证明恒等式 83.4证明等式 93.5研究函数在区间上的性质 103.6估值问题 113.7判定级数的收敛性 123.8证明方程根的存在性 133.9误用拉格朗日中值定理 14结束语 15参考文献 16致谢 16拉格朗日中值定理的应用学生姓名：李苹学号：20075030274数学与信息科学学院数学与应

2、用数学专业指导老师：李柱职称：助教摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者 深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想(构造辅助函数法)出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论 依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。这对于正确的理解和掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意 义

3、。关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性The Application of Lagranges mean value theoremAbstract : The Lagranges meanvalue theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is com muni cati on function and its derivative bridge. There is no special explainationabout the applicationsof Lag

4、ranges meanvalue theorem andmany researchers also just studied it in someapplicati ons and no systematic summary. In order to make the reader un dersta nd Lagra nges mean value theorem, this paper first an alyzed the esse nee of the theorem and the n from textbook proof Lagra nges meanvalue theorem

5、thoughts (structure method of auxiliaryfunction),puts forwardsa simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagranges mean value theorem simplify.Accord ing to this theorem and the basis of others study, fin allysummarizedall the aspects applicationof Lagranges meanvalue theorem. It is quite

6、importantfor un dersta nding and masteri ng Lagra nges mean value theorem and also have a sig nifica nt and profo und sig nifica nee for further study of mathematics.Keywords : Lagra nges mea n value theorem; Applicati on;Limit; In equality;Con verge nee; Roots of existe nee0刖言函数与其导数是两个不同的的函数， 而导数只是

7、反映函数在一点的局部特征， 如果要了 解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这 种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数 值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。在高等代数与数学分析中

8、的一些理论推倒中起着很重要的作用。课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的.拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：(1) f在闭区间a,b 1上连续；(2) f在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f = f(bf(a)。b a对于此定理的应用，本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在区间上的性质 等几个方面详细举例说明，以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。1对拉格朗日中值定理的理解拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理

9、论和应用上都有着极其重要的意义。 该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容， 特别是点的含义，就有较大难度。熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的 实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌 握定理。1.1承上启下的定理拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。在讲完导数内容后， 介绍导数的应用是顺理成章的。而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。例：函数 f(x)=x2-3，有 f(x)=2x，当 X，(0：)时，f(x)O，f (x)单调增加；当(一：,0)时，f(x)：0

10、, f (x)单调减少；当 x = 0 时，f(x)=0, f(0)=-3可见，函数的单调性的判定，是否取得极值可以用它的导数符号来确定。般在某个区间上,若f(x) .0，则f (x)单调增加，若f(x)：0，则f(x)单调减少，若f(x)=0，则f(x)可能在改点x处取得极值(此亦为定理)。又如例中，如果2：X：；6时，丄砂 =8，而f48二，6 2从而有朋型二f ，即函数6-2之比等于该区间内某一点的导数值。f (x) =x2 -3在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度这样一来，通过具体实例会让学生容易学地接受定理的内容。1.2定理中的条件函数在闭区间上连续、在开区间内可导是拉格朗日中值定

11、理两个不可缺少的条件，是充分而不必要的条件。即由着两个条件一定可得出结论，但没有这两个条件,则无定论。1函数f(x)=-在闭区间-1,1上不连续，在开区间(-1,1)内不可导x丄 f(1)- f(-1).2Ix21 -(-1)所以x2=-1无实根，即在区间(-1,1)内不存在，使得f(x) = 11.3定理中的如果在满足拉格朗日中值定理条件下，结论中的“至少存在”是关键所在。实际上.是方程f()= f(b)-f(a)b a的所有实数解中属于区间a,b的那些解，而这些解的个数正是定理中的个数。(1)例 求函数f (x) =2x2 -4x V在区间(-1,1 )内的解：显然函数在该区间内满足定理的

12、条件，所以f (x)=k= f(b)f(a)ba即区间a,b内任何一点都可取为，这样的有无穷多个。但值得注意的是方程(I)般不是简单的代数方程，不一定能解出，但这并不影响定理的应用，因为定理的重要性不在于一定要知道或者解出，而是在于确定了 的存在性。1.4定理的意义(1)几何意义：定理中f(b)f(a)是连接曲线上两点A(a,f(a), B(b, f(b)的弦的斜率，f(；) b a是过曲线上一点(；，f (；)的切线的斜率。那么，定理就可解释为在曲线y = f (x)上至少存在一条平行于弦AB的切线。1(2)物理意义：如果s(t)表示物体的运动规律在定理的条件下，s(t)表示物体运动到时间时

13、(ti C t2)表t2 -tl的瞬时速度； 也)-s(ti)表示物体从时间到平均速度，那么s(.) = )-*)示物体在运动过程中，至少有那么一个时刻 ，其瞬时速度等于它的平均速度。2拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是微分学的基本定理，它架起用导数来研究函数性质的桥梁。该定理 的证明一直是人们研究的问题。它的证明通常是以罗尔中值定理作为预备定理，为此需要将 拉格朗日中值定理的条件转化为罗尔定理的条件， 这个转化过程就是要构造一个满足罗尔定 理条件的新函数作为辅助函数。教科书上的证明方法正是通过此思想实现的， 但所作的辅助函数不是很容易想到， 下面 提供一个更易理解、更简单的证明方法以供

14、大家参考。分析：首先由定理的结论知f()_ f(b)- f(a) b a则可求f(x)_ 罟严X1，。从而可构造辅助函数(x) = f(x)fSJxb -a证明：先构造辅助函数(x)二 f (x) -口 徑 x b a再用罗尔定理证明显然，(x)在a,b 1连续，在a,b)可导,f a-Tb abf a Laf b a 二b ab =f b -工亠壬atb-ab-a(a) = (b)有罗尔定理知，(x)在a, b连续，在(a, b)内可导，且(a (b)，则(x)在(a,b )内至少存在一点：(a,b)，使(0.从而可证f( ) = f (b) - f (a)b a即证3拉格朗日中值定理的应用

15、拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性态的有力工具，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，如求 极限、证明不等式和方程根的存在性等，它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通 过举例说明拉格朗日中值定理在以上几个方面的应用。3.1求极限求极限xm0xsi nxe -ex sin x3解：函数f二d在lx,si nx 1或 Si nx,x】上运用拉格朗日中值定理得x si nxe e e ( 介于x与sin x之间)x -sin x当Xr 0时，Sin Xr 0，由介值定理可知；r 0x si nx 原式=iime e=曲/=1x-

16、si nx txsi nx吧严，从而构造解题思路：由这e _e一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式x sin x函数f，在运用拉格朗日中值定理求极限。例2设f (x)连续，f (a) = 0 ,有公式f (a x) = f (a) xf (a nx)(Os 1)试求x； 0时v的极限解：对函数f(x)在a,a vx或a rx,a上运用拉格朗日中值定理得f (a vx)二 f (a) )xf ”(a rvx)(0v i1)将此式代入式(1)得f (a x)二 f (a) xf (a) rx2 f ”(a )x)将f (a x)按泰勒公式展开得1 2f (a x) = f(a) xf (a) x

17、 f (a v2x) 2由式(2)和(3),得1r f (a jjx) f (a v2x)2所以lim v - limf ”(a x)x 刃 x 刃 2f (a f ”(a) =12f (a) 一 24证明1：应用拉格朗日中值定理，设lim f (x) = A，贝U lim f (x 1) = A，有xx例3若函数f (x)在R上可导，极限lim f (x)与lim f (x)都存在，则lim f (x) =0 j 林J 押x-jbcf (x 1) f (x)二 f ( ；)， X ： ； ： X 1 已知极限lim f (x)存在x_jbc则lim f (x)二 lim f(；)二 lim

18、f(x 1)- f (x)x 门：x 门：x j-：:=lim f (x 1)- lim f (x)二 0X 厂：x J-：:即lim f (x)二 0x _T ：-证明2:用反证法假设limf(x) =0，不妨设lim f (x) = l 0，根据极限的保号性,A 0，x A，有xx1 1f(x) T丨：2或f(x) ，由拉格朗日中值定理有f(x)-f(A)1.1f( ；), ；(A, x)或 f(x) . f(A) (x- A)x A22显然，当x 时，lim f (x)不存在，矛盾x-jbc3.2证明不等式(一) 含绝对值的不等式的证明例 1 证明 | arctana - arctanb

19、 | a -b | .证明：设 f (x)二arcta nx,x a,b.则 f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导。由拉格朗日中值定理可知，arcta nbarcta na；(a,b)取绝对值因为所以| arctana-arctanb | = | a-b11 ；2| arctana-arctanb | a-b |例2设函数f(x)在-1,1上可微，且f(0) =0 ,f (x) | ： M .3证明在-1,1上，| f (x) | ： M ,其中M是大于零的常数 证明：要证 | f(x) | :：: M，即要证-M : f (x) ： M .由 | f (x) | ： M 可知-M :

20、 f (x) ： M ,x 一1,1.若 x =0，贝U f (0) =0 ： M 。若-1乞x ： 0，则由拉格朗日中值定理可知，f(0)-f(x)xf G)即f (x) =xf G) xM 一 -M整理得-M . f(x)，其中 (x,0)若0 ： x叮，则由拉格朗日中值定理可知，f(x) ： M，其中 “ (0,x)终上所述:在-1,1上，丨f(x)丨：M .含绝对值的不等式分为两类：一类是在证明过程中对等式两边同时取绝对值， 然后利用已知 条件中的不等关系，证明含绝对值的不等式成立；另一类是形如丨F(X)丨：G(x)的不等式, 证明这类不等式，即证明形如 -G(x) ： F(x) ：G

21、(x)的双边不等式。(二) 双边不等式的证明例 设 a b 0,n . 1,证明 n bn(a - b) ： (an - bn) ： nan1(a-b)。呵证明：设函数f (x)二xn, x b,a，则f (x)在b, a上连续，在(b, a)内可导。由拉格朗日中值定理可知，存在(b,a)，使得f(a)-f(b)= f( J(a-b)即an _bn = n ；n(a _b)(*)因为 0 ： b ：； ： a，且 n 1，所以n -1n -1n-1ba于是有nbn(a _b) ： n n二(a _ b) ： nana _ b)将(* )式代入得nbna b) ： (an bn) ： nan(a

22、 b)在证这类题目时，大多数都要应用到单数的单调性。(三) 灵活构造a,b的值例 1试证不等式 b a : ln b ： a “ ,(0 : a : b ： 3).b a a证明1:1令f(xInx，(x o)，则wr，由拉格朗日中值定理得b1In = In n In a = (b a), a y c b. a因为所以1(b - a) ： In(b - a)bb -a,b b -a ：Ina a证明2:仍设f (x) = In x,(x 0)则f (x)=丄x在1.-内对f(x)应用拉格朗a日中值定理,lnba=ln - -In1aa 1再由1得聖使-1I nbb la丿例2证明当x丨乞| t

23、anx丨(等号只有在x=0时成立)。证明：令y =tan(x)，则12cos x在o，区间上由拉格朗日中值定理存 m在，使2tan x - tan0 = sec ；(x-0)整理有tanx 二 xseC ；I tan x | = | x II sec2 ； | = | x又因为I丄R 1cos ；所以有I tan x | _ | x |当x二0时等号成立。同理可证在区间_0上原式成立。3.3 证明恒等式由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点人公2，(不妨设x x2 )有f(X2)- f (Xi) = f( ；)(X2 - Xi)那么若f (x)恒为0,则有f ( 0 = 0，所以f (X2

24、)= f (xi)，由xX2的任意性可知，f (x) 在定义域内函数值恒等。既有下面一个推论：推论：如果函数f(x)在区间内的倒数恒为零，那么在I内是一个常数，利用这个推论 可以证明一类反三角恒等式的题目。1 2 x TT例 1 证明 arctgx arccos 2 (x-1)恒等。2 1 +x 4证明：令1 2x兀门(x)二 arct gx arccos 2(x 1)2 1 + x 4在(X - 1)时 arccos2X-有意义，且X)二丄电 1 x2)-2d2x2 2(1 X2)2在x 1时，g (x)二c (常数)。又取(1八：)内任一点.3，有所以端点值也成立，有推论有21 x 4恒等

25、。3.4证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项，证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用。例设f (x)在a,b上连续，在(a, b)内可导，且f (a)二f (b) = 1，试求m 叩 e (a,b)，使得f + f U)| =1.证明：令F(x) = d f(x)，则F(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件，故存在(a,b)，使得ebf(b)-eaf(a)弋| f(). f()|由条件 f (a)二 f (b) = 1，可得f( T f( )1再令门(x)二ex，贝厂:-(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 ；(a,b)，使e -

26、eb a综合上述两式可得e，e I f ( ) f( )1 即 ef( ) f()=13.5 研究函数在区间上的性质 文档因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数，研究导数的性质，从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。 比如研究函数在区间上的 符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局部 性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法(一) 证明函数一致连续性例 证明：若函数f(x)于有穷或无穷的区间(a,b)内有有界的导函数f(x),则f(x) 于(a,b)中一致连续。证明：设当x (a, b)时，| f (x)

27、|- M，对于- , X2 (a, b)，在以为,x2为端点的区间上由拉氏中值定理，有f(X2)- f (xjx2 - x1(;),在x1,x2之间那么有If (x) | M，对于0，取二，则当 Xi,X2 (a,b)时，且丨 X - X2 I:，就有I f 任)- f(X2) I = I Xi X2f (；) I 乞 M (Xi - X2)：；(；在 Xi, X2 之间)由一致连续定义可知,f (X)在(a,b)内一致连续。(二) 证明函数的单调性例 证明f(X)二(1 在(0,：)内单调增加。X证明：因f (x)二(1 丄)xln(1x)- In Xx1 + x又In x在0,1上满足拉格

28、朗日中值定理的条件故1In(1 x) Tn x ,0 二 1 日x从而有1(x) = (1 )xxG丄 *1)X11 XX rx(1 x)所以，f (x)在时单调增加。(三) 证明函数的有界性例 设在(a,b)内f (x)可导且f(x)有界，试证f (x)在(a,b)有界证明：任取x(a,b)，有拉格朗日中值定理知f(X)二 f (沧)g( ；)(X-X。)(；在 x,xo 之间)可得I f(x ) | I f (Xo ) I + | f( ；) | | X-Xolf (Xo ) I M (b-a)式中M是f (x)在(a,b)内的界，有I f(x) | 0)发散，Sn = ai+a2+-+a

29、n,证明级数瓦S,审(6 0)收 n 1n=1敛。，当n 2时，在丨Sn_i,s上用拉氏X(；n)(Snj 0 因 0：f(x)：1 故由介值定理得 F(x)在(0,1)内至少有一个零点，即方程f(x)，x-1 = 0在(0,1 )内至少有一实根。唯一性：设方程f (x) x- 0在(0,1)内有两个实根，X1,X2，不妨设0 ： X1 ： x2 : 1,则有 f (为)二 1- X1, f(X2)= 1 - x2.因 f (x)在x1, x2上满足拉格朗日中值定理，所以至少存在一点；(X1,X2),使f(f(X2)-f(X1)(1-X2)-(1-Xj) 1X2 %X2 - X1即在(0,1)

30、内是少存在一点使得f( 01,这与题设f (；) = -1矛盾。所以假设不成立，即方程f (x) x -1 = 0在(0,1)内有唯一实根。例2设f (x)在(-=)内二阶可导，f ”(x) 0,且lim f (x)0, lim f (x) =0,又存在 x0，使 f (x0p： 0,试证：方程 f (x) = o在X X J -(:，r)内有且仅有两个根。证明：存在性,由(x) = ：. .0,可知，对于 ,存在M .0,使得X.M时I f (x) -3巧,即 Tf(x)2可知f (X)在(0,：)内单调增加。任取x M，:：, f(x)在M ,x上连续，在(M ,x)内可导，由拉格朗日中值

31、定理知，存在 一 (M ,x)，使得f (x) f (M ) (x-M ) 0.2又存在x0，使f(X0)：:O,所以，由介值定理，存在；(X,x0),使f(；)=0同理可证，当时，存在； (x, x0),使f(；)=0唯一性：(反证法)假若f(X)=0有三个实根；1, ；2, ；3(：；2, ；3),由罗尔定理，存在1 ( 1, ；3),2( 1 ；2),使得f( 1) = f( 2) =0再由罗尔定理，存在(1, 2),使f ( )=0.与题设f ( ) 0.矛盾，故f(x) =0在(：，)：内 有且仅有两个根。3.9 误用拉格朗日中值定理11误区一：若函数f(x)在a,b可导则对区间(a

32、,b)内任一点；定能找到确定的两点xX2a,b,使得f 化)- f (xj = f ( )(X2 - xj成立以上命题与拉格朗日中值定理几乎相同，似乎应该成立，其实不然错误原因在于对；与x1,x2 的关系未搞清，定理是现有 人,x2后有；现在是现有；后找人,x2则不一定存在。譬如3f(x)二x,该函数在：T,1上连续，在(-1,1 )内可导，满足拉格朗日中值定理条件，取；：=0 (-1,1),由 f (X3) = 3x2.得 f (；)二 0.即f (X2)- f (xj = f ( )(X2 - xj = 03但f (X)二X严重单调，所以找不到X1,X2所要求的.以上命题错误。1误区二：用

33、拉格朗日中值定理，可推得limocos= 0,说明该定理有错。 JOx2 1x sin =0(x 式 0)证明：设f (x) =2则f (x)在0, x上连续，在(0, x)内可导，故存在0(x=0)；(0, x)，使f(x)- f(0) = f(；)(x-0)1111111成立，即 xsin 2 ；sin cos,即 cos 2 sinxsin sin ,当 0 时，x呂ezeex1 1 1 、0，得出cos 0，从而IJmcos0,而事实上limcos不存在，说明拉格朗日中值定理出错。1是真理真的有错吗？否。事实上以上证明得出limcos0,是正确的。问题在于不能因此得1 1出lim cos 0,因为当x连续的趋近于0时，；并不连续趋于0.它仅是cos的一个子列，而子X 0；x列极限存在并不等于原极限存在。4结束语本文从高等数学中常用的几个方面概述了拉格朗日中值定理的应用，最后又总结了误用拉格朗日中值定理的两种情况，以便读者更好的理解拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理的应用是一个庞大的研究课题，加上我自身理论、能力方面的欠缺，所以本文中还有很多不 足和无法涉及的内容。本文对拉格朗日中值定理的应用的相关论述，不可避免的存在诸多漏洞与不足，恳请读者予以批评。参考文献