专题06 平面向量及其应用 复习与检测（知识精讲）（解析版）

1、专题六 平面向量及其应用 温习与检测 知识精讲一 知识结构图内 容考点关注点平面向量向量的线性运算运算法则向量的数量积、模、夹角 夹角范围向量的坐标运算公式运用向量的平行与垂直问题平行、方向与数量积正负的关系利用正弦定理、余弦定理解三角形选择合适的定理及三角形二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算的结果仍是一个向量因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与方法技巧2.

2、 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即(ab)2a22abb2,(ab)2a22abb2,上述两公式以及(ab)(ab)a2b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用(2)借助零向量即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积(3)借助平行向量与垂直向量即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积,借助ab,则ab0等解决问题(4)建立坐标系,利用坐标运算求解数量积3.解三角形的一般方法(1)已知两角

3、和一边,如已知A,B和c,由ABC求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用ABC,求另一角(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由ABC求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则,如；共起点两个向量作差用减法的几何意义,如.例题1.如图,梯形ABCD中,ABCD,点M,N分别是DA,BC的中点,且k,设e1,e2,以e1,e2为基底表

4、示向量,.【参考答案】=ke2.=e1(k1)e2. =e2.【解析】e2,且k,kke2.0,De1(k1)e2.又0,且,e2.知识点二 平面向量数量积的运算例题2：如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB4,AD3,CD2,2.若3,则 .【参考答案】【解析】因为23,所以.知识点三 平面向量的坐标运算若a(a1,a2),b(b1,b2),则ab(a1b1,a2b2)； ab(a1b1,a2b2)；a(a1,a2)； aba1b1a2b2；aba1b1,a2b2(R),或(b10,b20)；aba1b1a2b20； |a|；若为a与b的夹角,则 cos .例题3 .设a(2,0),b(1,

5、)若(ab)b,求的值；若mab,且|m|2,m,b,求,的值【参考答案】2.1,1或1,2.【解析】因为a(2,0),b(1,),所以ab(2,0)(1,)(21,)又(ab)b,所以(ab)b0,即(21,)(1,)0,所以2130.所以2.因为a(2,0),b(1,),mab(2,0)(1,)(2,)因为|m|2,m,b,所以即解得或所以1,1或1,2.知识点四 平面向量的平行与垂直问题1证明共线问题常用的方法(1)向量a,b(a0)共线存在唯一实数,使ba.(2)向量a(x1,y1),b(x2,y2)共线x1y2x2y10.(3)向量a与b共线|ab|a|b|.(4)向量a与b共线存在

6、不全为零的实数1,2,使1a2b0.2证明平面向量垂直问题的常用方法abab0x1x2y1y20,其中a(x1,y1),b(x2,y2)例题4(1)已知向量m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn),则()A4B3 C2D1(2)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,2),C(4,1)若,求D点的坐标设向量a,b,若kab与a3b平行,求实数k的值（1）【参考答案】B【解析】因为mn(23,3),mn(1,1),且(mn)(mn),所以(mn)(mn)2330,解得3.故选B。(2【解析】设D(x,y)因为,所以(2,2)(1,3)(x,y)(4,1),化为(1,5)(x

7、4,y1),所以解得所以D(5,4)因为a(2,2)(1,3)(1,5),b(4,1)(2,2)(2,3),所以kabk(1,5)(2,3)(k2,5k3),a3b(1,5)3(2,3)(7,4)因为kab与a3b平行,所以7(5k3)4(k2)0,解得k.知识点五 平面向量的模、夹角问题1解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a|(其中a(x,y)(2)应用三角形或平行四边形法则(3)应用向量不等式|a|b|ab|a|b|.(4)研究模的平方|ab|2(ab)2.2求向量的夹角设非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),两向量夹角(0)的余弦cos .例题5.已知向量e1,e2,且|

8、e1|e2|1,e1与e2的夹角为.me1e2,n3e12e2.(1)求证：(2e1e2)e2；(2)若|m|n|,求的值；(3)若mn,求的值；(4)若m与n的夹角为,求的值【解析】(1)证明：因为|e1|e2|1,e1与e2的夹角为,所以(2e1e2)e22e1e2e2|e1|e2|cos|e2|2211120,所以(2e1e2)e2.(2)由|m|n|得(e1e2)2(3e12e2)2,即(29)e(212)e1e23e0.因为|e1|e2|1,e1,e2,所以ee1,e1e211cos,所以(29)1(212)310,即260.所以2或3.(3)由mn知mn0,即(e1e2)(3e12

9、e2)0,即3e(32)e1e22e0.因为|e1|e2|1,e1,e2,所以ee1,e1e211cos,所以3(32)20.所以.(4)由前面解答知ee1,e1e2,|n|.而|m|2(e1e2)22e2e1e2e21,所以|m|.mn(e1e2)(3e12e2)3e(32)e1e22e3(32)22.因为m,n,由mn|m|n|cosm,n得2,化简得32520,所以2或.经检验知不成立,故2.知识点六 利用正、余弦定理解三角形例题6.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S,求角A的大小【解析】(1)证明：由正

10、弦定理得sin Bsin C2sin Acos B,故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B,于是sin Bsin(AB)又A,B(0,),故0AB,所以B(AB)或BAB,因此A(舍去)或A2B,所以A2B.(2)由S,得absin C,故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B,因为sin B0,所以sin Ccos B,又B,C(0,),所以CB.当BC时,A；当CB时,A.综上,A或A.五 易错点分析易错一 向量夹角的范围例题7.已知cmanb,c(2,2),ac,b与c的夹角为,bc4,|a|2,求实数m,n的值及a与b的夹角.【解析】c(2,2),|c|4.ac,ac0.bc|b|c|cos|b|44,|b|2.cmanb,c2macnbc,16n(4),n4.在cmanb两边同乘以a,得08m4ab.在cmanb两边同乘以b,得mab12.由,得m,ab2,cos ,或.误区警示求向量的夹角,要注意夹角公式的运用及夹角的范围。易错二 向量垂直与平行的坐标表示例题8.设A,B,