惯性矩、静矩,形心坐标公式

1、I- 1 截面的静矩和形心位置图I-1如图 I- 1 所示平面图形代 表一任意截面，以下两积分SzAydAzdAA（I- 1）分别定义为该截面对于 z 轴和 y 轴的静矩。静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重Sy心的公式可得yCAydAAzCzdAAA利用公式（ I-1 ），上式可写成yCAydAASzAzCzdAAASyA （I - 2 ）SzAyCSyAzCI- 3）yCzCSzSyI- 4)如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形， 则由静 矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对 同一坐标轴的静矩的代数和。即：SznAi ycii1SynAi

2、zcii 1 (I- 5)式中Ai、yci和 zci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标， n 为简单图形的个数。将式（I- 5）代入式（ I- 4），得到组合图形形心坐标的计算公 式为ycAi y cii1Aii10.6mzc- 6 )A i z cii1nAii10.12mC0.4myCCyOyzC例题 I- 1 图 a 所示 为对称 T 型截面，求该截 面的形心位置。解：建立直角坐标系zOy ，其中 y 为截面的对 称轴。因图形相对于 y 轴0.2m精彩文档对称，其形心一定在该对称轴上，因此 zC= 0，只需计算 yC 值。将截 面分成、两个矩形，则A =0.072m 2， A =0

3、.08m 2y=0.46m ，y =0.2mAI yI AII yIIAI AIIyci1Ai yciAii10.072 0.46 0.08 0.20.323m0.072 0.08I- 2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图 I- 2 所示平面图形代表一任意截面，在图 形平面内建立直角坐标系 zOy 。现在图形内取微面 积 dA，dA 的形心在坐标系 zOy 中的坐标为 y 和 z， 到坐标原点的距离为 。现定义 y2dA 和 z2dA 为微 面积 dA对 z轴和 y轴的惯性矩，2dA 为微面积 dA 对坐标原点的 极惯性矩 ，而以下三个积分图I-2y2dAI y z2dAAI P2dAPA分别定义

4、为该截面对于 z轴和 y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性 矩。2 2 2由图（ I- 2）可见，y z ，所以有IP A 2dA A(y2z2)dA I z I y (I- 8)图I-3z1Iza2A （I- 10）即任意截面对一点的极惯性矩， 等于截面对以该点为原点的两任 意正交坐标轴的惯性矩之和。另外，微面积 dA 与它到两轴距离的乘积 zydA 称为微面积 dA 对 y、z 轴的惯性积，而积分I yz A zydA （I- 9 ） 定义为该截面对于 y、z 轴的惯性积。从上述定义可见， 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一 般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为

5、 负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是 m4或mm 4。I- 3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式一、惯性矩、惯性积的平行 移轴公式图 I- 3 所示为一任意截面， z、y 为通过截面形心的一对正交 轴，z1、y1 为与 z、y 平行的坐标 轴，截面形心 C 在坐标系 z1O y1 中的坐标为（ b ，a），已知截面对 z、y 轴惯性矩和惯性积为 Iz、 Iy、 Iyz，下面求截面对 z1、y1 轴惯性矩和惯性积 Iz1 、Iy1、Iy1z1同理可得y1Iyb2AI- 11 ）式（I- 10 ）、（I - 11 ）称为惯性矩的平行移轴公式面求截面对 y1、z1轴的惯性积 I y1z1

6、。根据定义A z1 y1dA A(z b)(y a)dAAzydA a AzdA b AydA ab AdAI yz aSy bSz abA由于 z、y 轴是截面的形心轴，所以 Sz= Sy= 0，即I y1z1I yzabA (I- 12)式（I- 12）称为 惯性积的平行移轴公式二、惯性矩、惯性积的转轴公式图（I- 4）所示为一任意截面， z、y 为过任一点 O 的一对正交 轴，截面对 z、y 轴惯性矩 Iz、Iy和惯性积 Iyz已知。现将 z、y轴绕 O 点旋转角（以逆时针方向为正）得到另一对正交轴 z1、y1 轴，下面 求截面对 z1、y1 轴惯性矩和惯性积 Iz1、Iy1 、Iy1z

7、1。yy1zdA1z1yzO y1图I-4I I z I y I z I y cos2I z cos2 z12 2- 13 )同理可得I yz sin 2(IIII y1zy2cos2I yz sin 2I - 14 )y1z1式（I-IzI y sin 22I yz cos 213 ）、（I - 14 ）称为惯性矩的转轴公式 ，式（ I-I - 15 ）15）称为 惯性积的转轴公式I - 4 形心主轴和形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩由式（ I- 15 ）可以发现，当 = 0o，即两坐标轴互相重合时， Iy1z1 I yz ；当= 90 o时， I y1z1 I yz ，因此必定有这样的一

8、对坐标轴， 使截面对它的惯性积为零。 通常把这样的一对坐标轴称为截面的 主惯 性轴，简称 主轴，截面对主轴的惯性矩叫做 主惯性矩假设将 z、y 轴绕 O 点旋转0 角得到主轴 z0、y0，由主轴的定义y0z0IzI y sin 2 0I yz cos 22Iyz从而得tan 200 Iz I yz y （ I - 16 ）max。上式就是确定主轴的公式， 式中负号放在分子上， 为的是和下面两式 相符。这样确定的 0角就使得 Iz0等于 I由式（ I - 16 ）及三角公式可得cos2 0sin2 0将此二式代入到式（ I - y0 的主惯性矩I z Iy2I z I y2Iz0Iy0Iz I

9、y（Iz I y）2 4I y2z2I yz（Iz I y）213 ）、（I - 14）4I y2z便可得到截面对主轴z0、21 (I z I y)2 4I y2z12 (Iz I y)2 4I y2zI - 17 )二、形心主轴、形心主惯性矩 通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。 通过截面形心的主轴 叫做形心主轴 ，截面对形心主轴的惯性矩叫做 形心主惯性矩 。例题 I- 5 求例 I- 1 中截面的形心主惯性矩。解：在例题 I- 1 中已求出形心位置为zC 0 ， yC 0. 323m过形心的主轴 z0、y0 如图所示， z0 轴到两个矩形形心的距离分 别为aI 0.137m ， aII 0.123mz0截面对 z0 轴的惯性矩为两个矩形对 z0 轴的惯性矩之和，即 I zIIAI