8.6.2 直线与平面垂直-新教材2019-2020学年高一数学人教A版必修第二册同步教学课件

1、 一、直线与平面垂直的定义 1.思考 (1)如图,阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的 位置关系是什么?随着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的角度会 发生改变吗? 提示垂直关系,所成的角度不变,都为90. (2)如图,旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线BC的 位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论? 提示垂直关系,依据是异面直线所成角的定义.得到的结论是:如 果一条直线与平面垂直,则这条直线垂直于该平面内的任意一条直 线. 2.填空 直线与平面垂直的定义 3.做一做 直线l与平面内的无数条直线垂直,则() A.l和相互平行B.l和相互垂直 C.l在平面内D.不

2、能确定 答案:D 解析:直线l和相互平行或直线l和相互垂直或直线l在平面内 都有可能,如图所示. 二、直线与平面垂直的判定定理 1.思考 (1)如图,直线l与平面内的无数条直线a,b,c都垂直,直线l与平 面一定垂直吗?为什么? 提示不一定.当平面内的无数条直线a,b,c都互相平行时,直线l 在保证与直线a,b,c都垂直的条件下,与平面可能垂直也可能斜 交. (2)请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试 验:过ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起 放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),问:折痕AD与桌面垂直吗?如何 翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直?

3、提示从实验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在 桌面上折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖 起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直. (3)如果我们把折痕抽象为直线l,把桌面抽象为平面,如图.你认 为保证直线l与平面垂直的条件是什么? 提示需直线l与平面内的两条相交直线都垂直.即 lm,ln,mn=O. (4)如果将问题(3)中的两条相交直线m,n的位置改变一下,仍保证 lm,ln,mn=O,此时直线l与平面还垂直吗? 提示仍然垂直. 2.填空 直线和平面垂直的判定定理 3.做一做 (1)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于() A.平面OAB B.

4、平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 答案:C (2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误 的画“”. 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这 个平面垂直.() 若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.( ) 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底 边所在的直线.() 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两 腰所在的直线.() 答案: 三、直线与平面所成的角 1.思考 (1)平面的斜线、斜足是怎样定义的?斜线在平面上的射影是如 何定义的?什么是斜线与平面所成的角? 提示如图,一条直线PA和一个平面相交,但不和平

5、面垂直,这条 直线PA叫做这个平面的斜线,它们的交点A叫做斜足.过斜线PA上 斜足A以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO 叫做斜线PA在平面上的射影.斜线PA和它在平面上的射影AO所 成的锐角PAO,叫做斜线PA和平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的取值范围是什么? 提示一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90;一条 直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0.因此, 直线与平面所成的角的范围是090. 2.做一做 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的 角等于;AB1与平面ADD1A1所成的角等于 ;AB1与平面D

6、CC1D1所成的角等于. 答案:45450 解析:B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45;B1AA1为AB1 与平面ADD1A1所成的角,即45;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的 角为0. 四、空间距离 1.思考 (1)过一点可作几条直线与已知平面垂直? 提示有且只有一条. (2)如果一条直线与一个平面平行,在直线上任意取几个点,这些 点到这个平面的距离相等吗? 提示相等. (3)如果两个平面平行,在其中一个平面内任取几个点,这些点到 另一个平面的距离相等吗? 提示相等. (4)在棱柱、棱锥和棱台中,它们的高如何确定? 提示棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行平面之间的距 离;棱

7、锥的高就是顶点到底面的距离. 2.填空 (1)过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫 做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的 距离. (2)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面 的距离,叫做这条直线到这个平面的距离. (3)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个 平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 3.做一做 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距 离为() 答案:B 解析:如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,DBAC,BB1AC

8、,BB1DB=B, AC平面BDD1B1. 点C到平面BDD1B1的距离为CO. 五、直线与平面垂直的性质定理 1.思考 (1)平面内,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何? 提示平行. (2)空间中,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何? 提示可能相交、平行或异面,如图所示. (3)在长方体ABCD-ABCD中,棱AA,BB所在直线与平面ABCD 位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系? 提示棱AA,BB所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平 行. 2.填空 直线与平面垂直的性质定理 一二三四五 3.做一做 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不

9、重合)平面 A1C1,则() A.B1Bl B.B1Bl C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直 答案:B 解析:因为B1B平面A1C1,又因为l平面A1C1,所以lB1B. 证明直线与平面垂直证明直线与平面垂直 例例1如图所示,ABBC,ABC所在平面外有一点S,且 SA=SB=SC,AC中点为D.求证:SD平面ABC. 分析先由等腰三角形SAC及D为边AC的中点,得SDAC.再由 SDA SDB,得SDDB. 证明:SA=SC,D为AC中点,SDAC. 在RtABC中,AD=DC=BD, 又SA=SB,SDA SDB. SDA=SDB,即SDDB. 又ACBD=D,SD平面

10、ABC. 反思感悟反思感悟 判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线 与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用 的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与 平面内的两条相交直线垂直即可. 另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用: (1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这 个平面. (2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面 也垂直. 延伸探究延伸探究在本例条件下,若AB=BC,求证:BD平面SAC. 证明:BA=BC,D为AC中点, BDAC. SD平面ABC,BD平面ABC,BDSD, AC与SD都在平面S

11、AC内且相交, BD平面SAC. 证明两直线垂直证明两直线垂直 例例2如图,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直径,C是O 上任意一点,求证:BCPC. 分析首先利用PA平面ABC得到PABC,然后根据圆的性质得 到ACBC,进而利用线面垂直判定定理证得BC平面PAC,从而得 到BCPC. 证明:PA平面ABC,BC平面ABC, PABC.AB是O的直径,BCAC. 而PAAC=A,BC平面PAC. PC平面PAC,BCPC. 反思感悟反思感悟 直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判 定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线 就与平面垂直;性质是指,如果一条直线

12、垂直于一个平面,那么这条 直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a,bab. 由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线 面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直 的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面), 通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面. 延伸探究延伸探究若本例中其他条件不变,作AEPC交PC于点E,求 证:AEPB. 证明:由【例2】知BC平面PAC, AE平面PAC,BCAE. PCAE,且PCBC=C, AE平面PBC. PB平面PBC,AEPB. 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 例例3已知四面体AB

13、CD的棱长都相等,Q是AD的中点,则CQ与平面 BCD所成的角的正弦值为. 分析作AO平面BCD,垂足为O,连接OD取OD中点P,连接 QP,CPQCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角求出sinQCP 解析:过点A作AO平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD. 取OD中点P,连接QP,CP. 由AO平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直 平分线的交点,也是三角形角平分线的交点. Q是AD中点,P是OD中点,QPAO. AO平面BCD,QP平面BCD. QCP就是CQ与平面BCD所成的角. 反思感悟反思感悟 1.求斜线与平面所成的角的步骤: (1)作图.作(或找)出斜线在平面上

14、的射影,将空间角(斜线与平面 所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角). (2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角. (3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角 的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破 口. 变式训练变式训练1如图,在RtBMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射 影AB长为4,MBC=60,则MC与平面CAB所成角的正弦值为 . 解析:由题意知,A是M在平面ABC内的射影, MA平面ABC, MC在平面CAB内的射影为AC. MCA即为直线MC与平面CAB所

15、成的角. 在RtMBC中,BM=5,MBC=60, 空间距离的求法空间距离的求法 例例4如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG平面 ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离. 分析因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等,可用转 移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离,为此要 寻找过点B与平面GEF平行的直线. 解:连接BD,AC,EF和BD分别交AC于H,O,连接GH,作OKGH于 点K. 四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点, EFBD,H为AO的中点. BDEF,BD平面GFE, BD平面GFE. BD与平面GEF的距离

16、就是点O到平面GEF的距 离.BDAC,EFAC. GC平面ABCD,GCEF. GCAC=C,EF平面GCH. OK平面GCH,EFOK. 又OKGH,GHEF=H, OK平面GEF,即OK的长就是点B到平面GEF的距离. 正方形ABCD的边长为4,CG=2, 反思感悟反思感悟 距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思 想.两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化为求点 到平面的距离来解决,最终实质是求两点间距离. 求点到平面的距离一般有两种方法: (1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求 线段化归到三角形中求解. (2)等积变换法:将所求距离看作某个几何

17、体(多为棱锥)的高,利用 体积相等建立方程求解. 延伸探究延伸探究本题条件不变,如果求直线BD到平面GEF的距离呢? 解:先证明BD平面GEF,将直线到平面的距离转化为求点O到 平面的距离,过程和答案与例题一致. 变式训练变式训练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ,平面AB1D1 到平面BC1D的距离为() 答案:C 解析:因为两平面平行,所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1 的距离h, 直线与平面垂直的性质的应用直线与平面垂直的性质的应用 例例5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂 直相交.求证:EFBD1. 分析连接AB1与CB1,

18、证明EF与BD1都与平面AB1C垂直. 证明:连接AB1,B1C,BD,如图. DD1平面ABCD,AC平面ABCD, DD1AC.又ACBD,BDDD1=D, AC平面BDD1B1.ACBD1. 同理BD1B1C,ACB1C=C, BD1平面AB1C. EFA1D,且A1DB1C,EFB1C. 又EFAC,ACB1C=C, EF平面AB1C.EFBD1. 反思感悟反思感悟 1.本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目 的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据. 2.在空间证明线线平行的方法有:定义法、公理4、线面平行的 性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理. 3.直线与平面垂直

19、的其他性质: (1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意 一条直线; (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这 个平面; (3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一 个平面; (4)垂直于同一条直线的两个平面平行. 变式训练变式训练3在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且四边形ABCD 是矩形,AEPD于点E,l平面PCD,求证:lAE. 证明:PA平面ABCD,CD平面ABCD, PACD. 又CDAD,PAAD=A, CD平面PAD. AE平面PAD, AEDC. 又AEPD,PDCD=D, AE平面PCD.l平面PCD,lAE

20、. 转化与化归思想的应用 典例典例设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求 证:ACBD. 证明:取BD的中点E,连接AE,CE. 由已知,在等腰ABD、CBD中,有AEBD, CEBD.又AECE=E,BD平面AEC. BDAC. 点评要证明直线与直线垂直,往往转化为证明线面垂直,再利用 线面垂直的重要性质得出线线垂直. 分析要证空间直线ACBD,从题目条件上看似无从入手,可将 空间问题转化为平面问题考虑,若取BD的中点E,则证BDAC转 化为证BDEC,BDEA. 1.如果一条直线垂直于一个平面内的: 三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两 条边. 则能保证该直线与平面垂直的是() A.B. C.D.