数系的扩充与复数的概念

1、3.1.1数系的扩充和复数的概念三维目标知识技能：(1 )了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；(2) 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。(3) 应用复数及其相关概念解决相关问题。过程方法：让学生充分阅读、质疑、探究、类比从正整数到有理数、到实数的扩充过程，体会复数引入的合理性。必然性。情感态度价值观：掌握必备的知识，开阔思维视野。用发展的眼光看待问题。教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件.学法点要：1. i是一个数，是虚数单位，i2=- 1 ,i(n = 4k+ 1 k Z)in -

2、1 (n = 4k + 2 k Z)i =i(n= 4k+ 3 k Z)1 (n = 4k k Z)2. 任意两个复数，只有相等与不等的关系，不能像实数那样比较大小.只有当两个复数都为实数时，才可以比较大小；两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别对应相等，a+ bi = 0?a= b= 0.3. z= a + bi中，a、b R的条件应引起足够重视，没有这一条件，a、b就不能称作复数的实部与虚部.4. 复数分类的条件是解决复数问题的依据教学过程一. 情境导入1.情境：1) 数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其 发展的动力来自两个

3、方面. 解决实际问题的需要.由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数). 解方程的需要.为了使方程x 4=0有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程 3x-2 = 0有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程x2 =2有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集.弓I进无理数以后，我们已经能使方程x2=a(a 0)永远有解.但是，这并没有彻底解决问题，当a ： 0 时，方程x2 =a在实数范围内无解.为了使方程x2 =a (a ： 0)有解，就必须把实数概念进一

4、步扩大，这就必须引进新的数.(可以以分解因式：x4-4为例)2 .问题：实数集应怎样扩充呢？二. 建构数学21.为了使方程x =a (a Q RC.3 复数的有关概念1)复数的表示：通常用字母z表示，即Z二a，bi(a,bR),其中a,b分别叫做复数的实部(real part )与虚部(imaginary part )；2) 虚数和纯虚数 复数z =a bi (a,b R),当b=0时，z就是实数a . 复数 z=a，bi(a, b R),当 b = 0时，z 叫做虚数(imaginary number)特别的，当 a =0, b=0时，z=bi 叫做纯虚数(pure imaginary nu

5、mber)3) 复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一.根据上述原则，复数集的分类如下:复数a + bi(弟 bR)实数b = 0正有理数循环小数零负有理数J无限循坏小数) 干裡蚓J正无理数 匡理麹(负无理数有理数分数)(整数、有限小数、无限不循环小数卜数虚数纯虚数(a=0)注J i非纯虚数和)4) 两复数相等我们就说这两个复数相等.即如果两个复数a bi与c di ( a,b,c,d R)的实部与虚部分别相等,1 a = ca b c di,(复数相等的充要条件)，= d特别地：a bi =0二 a (复数为0的充要条件)b = 0复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为

6、实数问题来解决的途径.5) 两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的 大小.三数学运用 范例评析：例1写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.1 4 l4,2 -3i,0,i,5、2i,6i2 31 4l1解：4,2 -3i,0,i,5、2i,6i 的实部分别是 4,2,0,5,0 ；2 32虚部分别是0, -3,0,4，一2,6 .31 4/-4,0是实数；2-3i,i,5、2i,6i是虚数，其中6i是纯虚数.2 3例2 .实数m取什么值时，复数 z二m(m1) (m1)i是(1)实数？( 2)虚

7、数？( 3)纯虚数？分析：由m- R可知m-1 , m(m-1)都是实数，根据复数 a bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以 分别确定m的值.解：(1)当m -1 = 0 ,艮卩m =1时，复数z是实数；(2) 当m-1 =0,艮卩m = 1时，复数z是虚数；(3) 当m(m -1) = 0，且m -10 ,艮卩m =0时复数z是纯虚数.(变式引申)：已知m R，复数z = m(m (m2 2m 1)i，当m为何值时：m -1(1) z ：- R ; (2) z是虚数；(3) z是纯虚数.解：(1)当 m2 2m -1 =0且 m-1 =0,艮卩 m 二1 _ .2 时，z是实数；(2) 当 m

8、2，2m-1 =0 且 m-1 = 0，即 m -1_、2 且 m = 1 时，z 是虚数；(3) 当匹巴 = 0且m2 2m -1 = 0，即m二0或-2时，z为纯虚数.m -1思考：a二0是复数 a bi为纯虚数的充分条件吗？ 答：不是，因为当a =0且b = 0时，a bi才是纯虚数，所以 a =0是复数 a bi为纯虚数的 必要而非充分条件.例 3.已知(x y) (2y)(25)(3x y)i ,求实数 x,y 的值.解：根据两个复数相等的充要条件，可得：y，解得：、x-2y=3x + yy = -2(变式引申)：已知a -1 2a -4 4i，求复数a .解：设 a =x yi (

9、x, y R)，则 x yi -12(x yi)i - -4 4i ,(x_2y -1) (2x y)i = -4 4i ,X 2v 1 = -4,由复数相等的条件px + y=4,.x =1,y =2,. a =1 2i .2巩固练习:(1 )已知复数2 2=k -3k (k -5k 6)i (k R)，且 z ： 0，则 k =解：Z . 0 ,z R .故虚部 k2 _5k 6 =0,(k _2)(k -3) =0k =2 或 3 k =3时，z=0，不合题意，故舍去，故k=2 .m2 m 6(2) m取何实数时，复数 z= + (m2 2m 15)im+ 3是实数?(2)是虚数?(3)

10、是纯虚数?分析在本题是复数的标准形式下，即z= a + bi(a, b R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可m 2m 15= 0解析(1)当m+ 3 工0m= 5 或m= 3 时，m丰3当m= 5时，z是实数.当r 9m 2m 15工0m+ 3工0时，即彳m且 m 3m2 m 6 = 0(3)当彳m + 3工0当m5且m 3时，z是虚数m = 3或m= 2时，即 ma 3、m 2m 15工0m且mi 3当m= 3或m= 2时，z是纯虚数.3、已知 M = 1 , (m2 2m)+ (m2 + m 2)i , P = 1, 1,4i，若 M U P= P,求实数 m 的值

11、.分析由M U P= P知，M是P的子集，从而可知(m2 2m) + (m2 + m 2)i = 1或4i,利用复数相 等的条件就可求得 m的值.解析/ M U P = P, M? P.rr-由(m 2m) + (m + m 2)i = 1,m2 2m= 1得 2解之得m = 1.m + m 2= 022由(m 2m) + (m + m 2)i = 4im2 2m= 0得 2，解之得m= 2.m + m 2= 4综上可知m= 1或m= 2 4、(1)已知 x2 y2 + 2xyi= 2i，求实数 x、y 的值.已知复数 z= k2 3k+ (k2 5k+ 6)i(k R)，且 zv 0,求 k 的值解析(1) I x、y R ,由复数相等的条件，得x y = 0,x= 1,x= 1,$解得丫或丫|2xy= 2.y= 1 ,y= 1.k2 3kv 0(2) / zv 0, k R, 2- k= 2|k 5k+ 6 = 05、设复数 z= lg(m2 2m 2)+ (m2 + 3m+ 2)i(m R),当实数 m 取何值时.(1)z是纯虚数.(2)z是实数.lg(m2 2m 2) = 0,解析由题意知2| m + 3m + 2 丰