正整数简单性质的复习

1、初中数学竞赛辅导资料 (70)正整数简单性质的复习甲 . 连续正整数一 .n位数的个数：一位正整数从 1到9,共9个，两位数从10到99,共90个，三位数 从100到999共9X 102个，那么n位数的个数共 .(n是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码个 .2. 由连续正整数写成的数12349991000是一个位数；100110021003 19881989 是位数.3. 除以 3 余 1 的两位数有 个,三位数有 个, n 位数有 个.4. 从 1 到 100 的正整数中,共有偶数 个,含 3 的倍数 个；从 50 到 1000 的正整数中,共

2、有偶数 个,含 3 的倍数 个.二. 连续正整数的和：1+2+3+ +n=(1+ n) X .把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模 m 有同余数的连续数的和 .练习：5.计算2+4+6+100=.6. 1+3+5+ +99=.7. 5+10+15+ +100=.8. 1+4+7+100=.9. 1+2+3+1989其和是偶数或奇数？答 10. 和等于 100 的连续正整数共有 组,它们是 .11. 和等于 100的连续整数共有 组,它们是 .三 . 由连续正整数连写的整数,各位上的数字和整数 123456789 各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+ +(4+5)=9 X 5=45 ;12

3、34 99100 各位数字和是(0+99)+(1+98)+ +(49+50)+仁18 X 50+1=901. 练习：12.整数12349991000各位上的数字和是 .13. 把由 1 开始的正整数依次写下去,直到第 198位为止：这个数用 9 除的余数是 .(1987 年全国初中数学联赛题 )14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数123499100中： 它是一个 位数； 它的各位上的数字和等于 ； 从这一数中划去 100 个数字,使剩下的数尽可能大,那么 剩下的数的前十位是 .四.连续正整数的积： 1X 2X 3 X-X n记作n !读作n的阶乘. n个连续正整数的积能被 n!整除

4、.女口： 2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2),n !|a(a+1)(a+2)(a+n 1). a 为整数.n!中含有质因数 m的个数是+.x表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3mi n如：1X 2X 3 x-x 10的积中，含质因数 3的个数是：=3+仁4练习： 15. 在 100!的积中，含质因数 5 的个数是： 16. 一串数 1 ， 4， 7， 10，-，697， 700 相乘的积中，末尾共有零 个(1988 年全国初中数学联赛题 )17. 求证： 10494 | 1989!18.求证：4! | a(a2 1)(a+2)a 为整数五 . 两个连续正整数必互质练习： 1

5、9. 如果 n+1 个正整数都小于 2n, 那么必有两个是互质数，试证之 .乙 . 正整数十进制的表示法一. n+1 位的正整数记作： anx 10n+an1x 10n1+- +a1x 10+a0 其中n是正整数，且 0 a 9 (i=1,2,3,n)的整数,最高位a 0. 例如： 54321=5x 104+4x 103+3x 102+2x 10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成 A=1213143233.试证：A能被99整除.证明：A=12 X 1042+13 x 1040+14 X 1038+ +31 x 104+32X 102+33=12 X 10021+13X 10020+1

6、4 X 1019+ +31 X 1002+32X 100+33.100的任何次幕除以 9的余数都是1,即卩100 n=(99+1) n三1 (mod 9) A=99k+12+13+14+ +31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+ +(22+23) =99k+45 X 11=99k+99 X 5. A 能被 99 整除 .练习： 20. 把从 19 到 80的连结两位数连写成 1 92021 22 7980.试证明这个数能被 1980整除 二 . 常见的一些特例=10 n1,=(10 n1), (10 n1).例题：试证明12, 1122, 111222

7、, 11112222,这些数中的任何一个，都是两个相邻的正 整数的积 .证明：第 n 个数是 =X 10 n+=(10 n+2)=X . 证毕 .练习： 21. 化简 X + 1 =.22. 化简 =.23. 求证 是合数 .24. 已知：存在正整数 n,能使数被1987整除.求证：数卩=和数q=都能被1987整除.(1987 年全国初中数学联赛题 )25. 证明： 把一个大于 1000的正整数分为末三位一组,其余部分一组,若这两组数的差,能被 7(或13)整除,则这个正整数就能被7(或 13)整除.26. 求证：X 15+1是完全平方数.丙 . 末位数的性质 一用N表示自然数的个位数.例如a

8、=124时，N (a)=4 ;a= 3时，N (a)=3.1. N (a4k+r)=N (ar)a 和 k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的： 个位数为 0， 1， 5， 6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身个位数是4， 9 的正偶数次幂的个位数也是它本身 2. N (a)=N (b)N (a b)=010 |(a b).3. 若 N (a)=a o, N (b)=b o.贝U N (an)=N (a on); N (ab)=N (a obo).例题1 :求53100 ; 和7的个位数.解： N (53100)=N (34X24+4)=N (34)=1先把幂的指数 77化为 4k+r

9、 形式，设法出现 4的因数.77=77 7+7=7(76 1)+4+3=7(72 1)(74+72+1)+4+3=7X4X12X (74+72+1)+4+3=4k+3 N(7)=N(74k+3)=N(7 3)=3.练习： 27.19891989的个位数是 ， 9 的个位数是 .28. 求证： 1o | (19871989 19931991).29. 2210 X 3315 X 7720 X 5525 的个位数是 .二. 自然数平方的末位数只有o， 1， 4， 5， 6， 9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12, 22, 32,102 的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=

10、45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1.填空：12, 22, 32,1234567892的和的个位数的数字是 .(1991 年全国初中数学联赛题 )解：I 12, 22, 32,102 的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11 到 20; 21 到 30; 31 到 40; 123456781 到 123456789，的平方的个位数的和也都是 45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0) X (12345678+1)的个位数 5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题 2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数 .

11、证明： (用反证法 )设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n 2)2+(n 1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2(n, k 都是整数 )5(n2+2)=k 2 ./k2是5的倍数，k也是5的倍数.设 k=5m, 贝 5(n2+2)=25m 2.n2+2=5m2.n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5,那么n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是 8或3.假设不能成立任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数 .3. 判断不是完全平方数的其他方法例题 3. 已知： a 是正整数 .求证： a(a+1)+1 不是完全平方数 证明：T a(a+1)+仁a2+a

12、+1，且a是正整数2 2 2 a2 a(a+1)+1=a2+a+11 的正整数 ) 不是完全平方数证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但=4k+11=4k+4 X 2+3=4(k+2)+3即除以 4余数为 3，而不是 1，它不是完全平方数例题 5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数T(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1 =4(a2+b2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是 4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数三. 魔术数：将自然数 N 接

13、写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么 N 称为魔术数 .常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是 1， 2， 5(即 10 的一位正约数是魔术数 )b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10， 20， 25， 50(即 100 的两位正约数也是魔术数 )c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是 100， 125， 200， 250， 500(即 1000 的 三位正约数也是魔术数 )练习： 30. 在小于 130 的自然数中魔术数的个数为 .(1986 年全国初中数学联赛题 )四. 两个连续自然数，积的个位数只有 0， 2， 6；和的个位数只有

14、 1， 3， 5， 7， 9. 练习：31.已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：.(1985 年上海初中数学竞赛题 )丁 . 质数、合数1. 正整数的一种分类：2. 质数中，偶数只有一个是 2，它也是最小的质数 .3. 互质数：是指公约数只有 1 的两个正整数 . 相邻的两个正整数都是互质数 . 例题：试写出 10个连续自然数，个个都是合数 .解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令 A=1 X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10X 11 那么 A+2， A+3， A+4， A+5， A+6， A+7， A+8， A+9， A+10，

15、 A+11 就是 10个 连续数，且个个都是合数 .一般地，要写出 n 个连续自然数，个个是合数，可用令 m=n+1,那么 m!+2, m !+3, m!+4, + m!+ n+1 就是所求的合数./ m!+i(2 i 5，且p和2p+1都是质数.求证： 4p+1 是合数 .证明：把整数按模 3分类. 即把整数分为 3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论/ p是质数，.不能是 3的倍数，即pz 3k;当 p=3k+1 时,2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)./ 2p+1 不是质数，即 pz 3k+1 ;只有当质数 p=3k+2 时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.

16、 2 p+1也是质数，符合题设.这时， 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3) 是合数. 证毕练习：47.已知：整数a不能被2和3整除.求证：a2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平方和除以 8，余数不可能为 6.49. 若正整数a不是5的倍数.则a8+3a4 - 4能被100整除.50. 已知：自然数 n2 求证： 2n 1 和 2n+1 中，如果 有一个是质数，则另一个必是 合数.51. 设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证a3b-ab3,b3c bc3,c3a ca3三个数中，至少有一个能被 10 整除 .(1986 年全国初中数学联赛题 )庚 . 整数解1. 二

17、元一次方程 ax+by=c的整数解：当a,b互质时，若有一个整数的特解那么可写出它 的通解2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数土整数=整数，整数x整数=整数，自然数整数十(这整数的约数)=整数，(整数)=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解 .例 1. 小军和小红的生日 .都在 10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于 34，小 军比小红早出生，求小军的生日 .解：设小军和小红的生日分别为x, y，根据题意，得(k=1,2,3,4)2x=347k x=17k=1, 3 时， x 没有整数解;当 k=2 时，当 k=

18、4 时， (10月份没有 31 日，舍去 )小军的生日在 10月 10日例 2. 如果一个三位数除以 11 所得的商， 是这个三位数的各位上的数的平方和， 试求符合条 件的所有三位数 .(1988 年泉州市初二数学双基赛题 )解：设三位数为 100a+10b+c, a, b, c都是整数，0aw 9, 0 b, c 9. 那么 ， 且 8a b+c0,以 c=0, 1,2, 3, 4 逐一讨论 a 的解.当 c=2,4 时，无实数根;当 c=1,3时，无整数解;只有当c=0时，a=5;或 a=0.(a=0不合题意，舍去)只有 c=0,a=5,b=5 适合所求的三位数是 550;（2）当 a- b+c=11 时， 得 9a+b+1=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理为关于 a的二次方程，得 2a2+2（c 16）a+2c2 23c+13 仁0.仿通过韦达定理，由 c的值逐一以讨论 a的解. 只有当c=3时，a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52.正整数 Xi, X2, X3,xn 满足等式 X1 + X2+ X3+ X4+X5=X1X2X3X4X4X5那么 X5的最大值是 .（ 1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q,都是整数，.且p1,