曲面与空间曲面的总结.doc

1、.曲面与空间曲线的总结.曲面与空间曲线一 .曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程 F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形 。例 1：求与 A(2,3,1)和 B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解： 设 M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是|AM|=|BM| 由距离公式得( x2) 2( y3) 2( z1) 2( x4)2( y5)2( z6)2整理得4x4 y10 z630此即所求点的规迹方程，为一平面方程。2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：坐标平面 xOy 的方程

2、： z=0过点（ a,b,c)且与 xOy 面平行的平面方程： z=c.坐标面 yOz、坐标面 zOx 以及过（ a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b3. 球面方程：球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心， R 为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。例 2：求 x2+y2+z2+2x-2y-2=0 表示的曲面解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（ -1,1,0) ，半径为 2 的球

3、。4.母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l 沿定曲线 c 平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论：若柱面的母线平行于z 轴，准线 c 是 xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理， G(x,z)=0,H(y,z)=0 在空间中分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面。分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴， 则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z 取何值，只要满足 F(x,y)=0，则总在柱面上。x2y2a2几种常

4、见柱面： x+y=a平面；圆柱面.x2y21椭圆柱面； x2y2a2b21a2b2双曲柱面； x 22 py 抛 物 柱面。以上所举例均为母线平行于z 轴的情况，其他情况类似。4.旋转曲面：一般情况下我们将一平面曲线c 绕同一平面内的定直线l 旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c 称为母线， l 称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论：设 yOz 平面上有一已知曲线c.其方程为 f(y,z)=0，将 c 绕z 轴旋转一周，所得到的以z 轴为轴的放置曲面的方程为：f (x2y2 , z)0同理，曲线 c绕 y轴旋转所得曲面方程为：f (y,x2z2 )0同理 ,以 xOy

5、 面上曲线 f(x,y)=0 为母线绕 x 轴得曲面f ( x,y2z2 )0f (x2 z2,y) 0绕 y 轴为以 xOz 面上曲线 f(x,z)=0 为母线绕 x 轴得曲 f ( x,y2z2 ) 0面例 3 求顶点在原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 a 的圆锥面方程。解：将 yOz 面上的直线 z=yctg绕 z 轴旋转一周即得圆锥曲面 z2a2 ( x2y2 )整理后得： zx2y2 ctg其中 a=ctg二 .空间曲线及其方程：1.空间曲线的一般方程：.空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和 G(x,y,z)=0，则易知其交线 c 的方程为F

6、(x, y, z)0G (x, y, z)0称此方程组为曲线c 的一般方程。例4：方程组x2y2z25 表示怎样的曲线？z2解：平面 z=2 上以 (0,0,2) 为圆心的单位圆。例Za2 x2y2方程表示怎样曲线(xa)2 y2(a )222解： zx2y2表示中心在原点，半径为1的上半球面 ( xa ) 2y2( a ) 222表示母线平行于Z 轴，准线在 xoy 面上半径为 1的圆柱面 它们的交线是 xoy面上的一个圆，其圆心在( a ,0) ，半径为a.22.2.空间曲线的参数方程：设空间曲线方程如果选定一个适当的函数x=x（x）代入上述方程组xx(t)yy(t)zz(t)如果选定一个

7、适当的函数x=x（ x）代入上述方程组称为空间中曲线的参数方程。例如果空间一点 M 在圆柱面x2 +y2 =a2上以等角速度绕z 周旋转，同时，以等速度 v 沿平行于 Z 轴的正方向移动，则点M 运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程MNvtzxa cos tMxa cosysinttNzvt.ysinzR.螺旋线有一个重要性质，当从0变到0时， Z由变到这说明当转过角时，点沿螺旋线b 0boM升了高度，即上升的高度与转过角度成正比。M0bboMF (x, y, z)0G( x, y, z)0三 .空间曲线在坐标面上的投影：在该方程组中消去z 得 H(x,y)=0，此为一个通过曲线L母线平行于 z

8、轴的柱面，称为曲线c 关于 xOy 面的投影柱面。此投影柱面与 xOy 平面的交线即为 c 在 xOy 平面上的投影曲H (x, y)0z0线，简称投影，其方程为.同理可得 L 在 yOz 面及 xOz 面上投影方程为R( y, z)0T ( x, z)0x0y0和3x2y2z例求曲线 L：z1y2在三个坐标面上的投影曲线3x2y21解消去 Z 得 1-y2=3x2+y2投影曲线方程z 03x22z11投影柱面方程为 3x2+2y2=1y0消去 y 得 3x2+1-2Z=0投影曲线方程投影柱面方程为3x2-2Z-1=0消去 x 得 Z=1-y2投影柱面方程为Z=1-y2z 1y2x0.投影曲线

9、方程222例两个柱面x2 y2 a2 和 xza的交线是一条空间曲线.x2y2z21x2( y1)2 (z 1)2 1 在 xOy面上的投影方程。例 5：求曲线x22y22 y0解：上式减下式得z=1-y ，代回上式得投影柱面方程为x22 y22 y0从而曲线在 xOy 面上的投影方程为z0二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在 yO z 坐标面上有一已知曲线C 它的方程为f (y z) 0把这曲线绕 z 轴旋转一周就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面它的方程可以求得如下设()为曲面上任一点它是曲线C上点M1(0y11)绕z轴旋

10、转而得到的因此有Mx y zz如下关系等式f ( y1, z1) 0z z1 | y1 |x2 y2从而得f (x2 y2 , z)0这就是所求旋转曲面的方程在曲线C的方程 () 0中将y改成x2y2便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲f y z面的方程f (x2 y2 , z)0同理曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为f (y,x2 z2 )0例 4直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周所得旋转曲面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角(0)叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在坐2标原点 O旋转轴为 z 轴半顶角为 的圆锥面的方程.解在 yO z 坐标面内直线 L

11、的方程为z ycot将方程 z ycot中的 y 改成x2y2就得到所要求的圆锥面的方程zx2y2 cot或z2222a(xy )其中 a cot例 5将 zOx 坐标面上的双曲线x2z21分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周求所生成的旋转2c2a曲面的方程解绕 x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为x2y2 z2a2c21绕 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为x2y2 z2a2c2这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面三、柱面例 6方程 x2 y2 R2 表示怎样的曲面？解方程 x2 y2 R2 在 xOy 面上表示圆心在原点1O、半径为 R的圆在空间直角坐标系中这方程不含竖坐标z 即不论空间

12、点的竖坐标z 怎样 只要它的横坐标x 和纵坐标 y 能满足这方程 那么这些点就在这曲面上也就是说222且平行于 z 轴的直过 xOy 面上的圆 x yR线一定在 x2 y2 R2表示的曲面上所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线 l沿 xOy面上的圆 x2y2 R2 移动而形成的这曲面叫做圆柱面xOy 面上的圆 x2y2 R2 叫做它的准线这平行于 z轴的直线 l 叫做它的母线例 6方程 x2y2 R2 表示怎样的曲面？2 y2R2解在空间直角坐标系中过 xOy面上的圆 x作平行于 z 轴的直线 l则直线 l上的点都满足方程x2 y2 R2因此直线 l 一定在 x2y2 R2表示的曲面上所

13、以这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x2y2R2 移动而形成的这曲面叫做圆柱面xOy面上的圆 x2 y2 R2 叫做它的准线这平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线柱面 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面定曲线 C 叫做柱面的准线动直线 L 叫做柱面的母线上面我们看到不含 z 的方程222它的母线平行xyR在空间直角坐标系中表示圆柱面于 z 轴 它的准线是xOy 面上的圆 x2 y2R2一般地只含、 而缺z的方程()0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的x yF x y柱面 其准线是 xOy 面上的曲线 CF(x y)0例如22x

14、表示母线平行于z 轴的柱面22x该方程 y它的准线是 xOy 面上的抛物线 y柱面叫做抛物柱面又如方程 x y 0 表示母线平行于z 轴的柱面其准线是 xOy 面的直线 x y0所以它是过 z 轴的平面.类似地只含 、而缺y的方程() 0和只含、 而缺x的方程() 0 分别表示x zG x zy zHy z母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面例如方程 x z 0表示母线平行于y 轴的柱面其准线是 zOx 面上的直线x z 0 所以它是过 y 轴的平面四二次曲面通过截痕法，了解二次曲面的全貌222xyz1.椭球面与三个坐标面的交线均为椭圆122x2z21z2y212222xy1ac22ababy0

15、x0z0x2y2z21222若a=b,则aac旋转椭球面.x2y2z2abc为正数）2221(,数2单叶双曲面abcZ=h 截 ,截痕为一椭圆 。x2y21a2 (1 h2)b2 (1 h2)c2c2zhx=h，或 y=h 截,截痕为一双曲线。y2z2x2z21h2h2122h2h2b(12 ) c(12 )a2(1c2(1aab2 )b2 )xhyh1）当 b b 时，曲线为双曲线，实轴平行与 x轴，虚轴平行与 z轴，当 b 由零增大到 b时，曲线的两半轴缩小至零。时，曲线为双曲线，实轴平行与 x 轴，虚轴平行与 z轴，当由零增大到 b时，曲线的两半轴缩小至零。b.2）当3）当bbbb时，截

16、痕为一对直线时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚轴平行与 x轴，当由 b增大时，曲线的两半轴也增大。b同样用平行于yoz 的平面相截时截痕也是双曲线，可用同样的方法讨论。x2y2z21a2c2当a=b时，方程变为x2y2z21 (a, b, c为正数）3 双叶双曲面a2b2c2双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面x2y21a2 ( h21)b2 ( h21)c2c2Z=h 截，截痕为zh.当hc时无截痕，当hc 时是两点（ 0，0， ）当h c 时为椭圆当 x=h ，或 y=h 截，截痕为双曲线4椭圆抛物面x2y2z (a,b,为正数）a2b2.5 双叶抛物面x2y2a 2b2z(a,b,

17、为正数）.x2y2z26二次锥面a2b2c2其次还有 双曲抛物面.0(a, b, c为正数）x2y2由方程z 所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面用平面 xt截此曲面所得截痕 l 为平面 x t 上的抛物线y2zt 2b 2a2tt 2当 t 变化时l 的形状不变而 l此抛物线开口朝下其项点坐标为,0,a 2 )位置只作平移(的项点的轨迹L 为平面 y0 上的抛物线zx2a2因此 以 l 为母线 L 为准线母线 l 的项点在准线L 上滑动且母线作平行移动这样得到的曲面便是双曲抛物面还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面2y22y2x22 1x221x2 aybbaa依次称为椭圆

18、柱面、双曲柱面、抛物柱面一、空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面1和2的方程分别为A x B y C z D10 和 Ax B y C z D20那么111222直线 L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程即应满足方程组A1x B1y C1z D10(1)A2x B2 y C2 z D2 0反过来如果点 M 不在直线 L 上 那么它不可能同时在平面1 和2 上 所以它的坐标不满足方程组 (1)因此直线 L 可以用方程组 (1)来表示方程组 (1)叫做空间直线的一般方程设直线 L是平面1与平面2的交线平面的方程分别 为 A x B y C z D

19、10 和111A2x B2y C2z D20那么点M 在直线 L 上当且仅当它同时在这两个平面上当且仅当它的坐.标同时满足这两个平面方程即满足方程组A1x B1 y C1 z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0因此 直线 L 可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L 的平面有无限多个只要在这无限多个平面中任意选取两个把它们的方程联立起来所得的方程组就表示空间直线L二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量(m n p)为已知时确定直线的条件

20、当直线 L 上一点 M (xy0x )和它的一方向向量 s000直线 L 的位置就完全确定了直线方程的确定已知直线 L 通过点 M0(x0y0x0)且直线的方向向量为s(m n p) 求直线 L 的方程设 M (x y z)在直线 L 上的任一点那么(x x0 y y0 z z0)/ s从而有xx0yy0zz0mnp这就是直线L 的方程叫做直线的对称式方程或点向式方程注当 m n p 中有一个为零例如 m 0而 n p 0 时这方程组应理解为xx0yy0z z0np当 m n p 中有两个为零例如 m n 0 而 p 0 时 这方程组应理解为xx00yy00直线的任一方向向量s 的坐标 m 、

21、 n、 p 叫做这直线的一组方向数而向量 s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程设 x x0yy0 zz0 t 得方程组mnpxx0mty y0 nt z z0 pt此方程组就是直线的参数方程例 1 用对称式方程及参数方程表示直线xyz 12xy3z4解 先求直线上的一点取 x1有yz2y 3z2解此方程组得 y2 z 0即 (120)就是直线上的一点再求这直线的方向向量s 以平面 x y z 1和 2xy 3z 4 的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s :.si jkijijki jk() (23 ) 111 43k132因此所给直线的对称式方程为x1

22、y2z413令 x 1y2zt得所给直线的参数方程为143x1 4ty 2 tz 3t提示当 x1 时有 y z 2此方程组的解为y2z0y3z2ijks (ijk) (2ij3k)1114j3213ik令 x 1y2zt 有 x1 4 t y2t z3 t143三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角 )叫做两直线的夹角p ) 那么 L和 L设直线L和 L的方向向量分别为s1(m1n1p )和s(m2n2的夹角就1212212因此 cos根据两向量的夹角是 (s1 , s2) 和 ( s1, s2)(s1 , s2) 两者中的锐角|cos(s1 , s2) |的余弦公式直线 L1

23、 和 L2 的夹角可由cos|m1m2 n1n2p1 p2 |cos(s1 , s2 )|m12 n12 p12m22 n22p22来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论设有两直线 L1xx1yy1zz1L2xx2yy2zz2则m1n1p1m2n2p2L1 L2m 1m2 n1n2 p1p20L1L2m1n1p1m2n2p2例2 求直线 L:x1yz3和 L:xy2z的夹角11412221解 两直线的方向向量分别为s1(141)和 s2(221)设两直线的夹角为则cos|12(4)(2)1(1)|1212 ( 4)2 1222 ( 2)2 ( 1)222所以4.四、直线与平面的

24、夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角当直线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为2设直线的方向向量s (m n p) 平面的法线向量为 n (A B C)直线与平面的夹角为那么有| (s , n) | 因此 sin|cos(s , n)| 按两向量夹角余弦的坐标表示式2|AmBnCp|sinA2B 2C 2m2n2p2因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以直线与平面垂直相当于ABCmnp因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直所以 直线与平面平行或直线在平面上相当于Am Bn Cp 0设直线L的方向向量

25、为 (m n p) 平面 的法线向量为 () 则A B CLABCmnp/ /Am Bn Cp0L例3 求过点(124)且与平面2x 3y z 4 0 垂直的直线的方程解 平面的法线向量(2 3 1)可以作为所求直线的方向向量由此可得所求直线的方程为x 1y2z4231五、杂例例 4 求与两平面x 4 z 3 和 2 xy 5 z 1 的交线平行且过点( 3 2 5)的直线的方程解 平面x43 和 251 的交线的方向向量就是所求直线的方向向量szx yzijk因为s (i4k )(2ij5k)104(4i 3jk)215所以所求直线的方程为x3y2z5431例 5 求直线 x2y3z 4 与平面 260 的交点112x y z解 所给直线的参数方程为x 2ty3tz 42t代入平面方程中得2(2t) (3t) (4 2t) 6 0解上列方程得 t1将 t 1 代入直线的参数方程得所求交点的坐标为.x 1y 2z2例 6求过点 (213)且与直线 x1y1z 垂直相交的直线的方程231解过点(21 3)与直线x1y1z321 垂直的平面为3(2)2(y1