线性代数n维向量空间小结

1、2021/6/161 第四章第四章 n维向量空间小结维向量空间小结 n维向量空间维向量空间 线性方程组线性方程组 2021/6/162 主要内容：主要内容： 一两个重要概念：一两个重要概念： 1122 1 0 0 nn n xxx xx 线性相关性： 本质上考察 是否“只有” 时成立； 线性表出： 1 1 000 , + + + n n 例如:任意向量组， 线性无关。 2021/6/163 12 , n (1) 二、 向量组线性相关 1 0(,) ( ) n AXA R An 有非零解， : n 未知量个数， 向量个数。 矩阵的秩就是向量组的秩。 向量组线性相关向量组的秩 向量维数相关 关至少

2、有一个向量 部分相关整体相关，整体无关部分无 可由 其余个 关 线性表出 1 1 , , n n 线性表出，则表达式唯一 线 可由 性无关。 2021/6/165 (2) (2) 线性表出：线性表出： 1122 , nn xxx“有数”就行 1 1 11 , (,) ( )( ) (,)(, ) n n nn AXA R AR A 线性表出 有解， 秩秩 可由 . .“向量组的秩”即为“矩阵的秩” 1, ,( ). n R An 对于非齐次线性方程组,首先有没有解， 有唯一解线性无关， 2021/6/166 三、最大无关组，向量组的秩三、最大无关组，向量组的秩 最大无关组的两个等价命题：最大无

3、关组的两个等价命题： 命题命题1 1：(1)(1)线性无关；线性无关； (2) (2) 向量组中任何一个可由它们线性表出；向量组中任何一个可由它们线性表出； 命题命题2 2：有：有r 个线性无关，任意个线性无关，任意r+1个则相关；个则相关； 判断是最大无关组：任意判断是最大无关组：任意“n个个” “线性无关线性无关”的的“n维维 向量向量”都是都是 的最大无关组。的最大无关组。 和矩阵的秩类似：和矩阵的秩类似：有有r阶子式阶子式0，任意，任意r+1阶子式阶子式0. n 2021/6/167 1, , n n 例：无关 1, , n n任一 维向量可由线性表出； 1 11 ): ): n nn

4、 证：是最大无关组，显然。 ， ,可由其表出； ， ,可由 ， ,表出； 等价。所以秩相等。 结结论论: :设设向向量量组组T T的的秩秩为为r r，则则T T中中任任意意r r个个线线性性无无关关 的的向向量量均均为为T T的的最最大大无无关关组组。 组组(I)(I)无关，组无关，组(I)(I)可由可由(II)(II)表出，表出， 则组则组(I)(I)的个数的个数 组组(II)(II)的个数。的个数。 关于向量空间和子空间关于向量空间和子空间: : 基，维数。基，维数。 2021/6/168 0-( )X AXn R A 四、解空间，维数： ( )0 0 nR AAX AX 任个线性无关的的

5、解向量均为 的基解系。 1 122 rt xkkk 12 ,. t k kk其其中中是是任任意意常常数数 2021/6/169 1.R ,0 n n n bAXbA 有解 bA任意向量 都可以由 的列向量组线性表出, 1 ,R n n n，线性无关任一 维向量均可由 其线性表出. 11 11221 1 122 1 122 0 2.11,2, 0 0 nn iiinn nnnnn a xa xa x a xa xa xin a xa xa x A 对都有解 2021/6/1610 1212 1212 nn nn 证： ， ， 可由，线性表出， 又，可由 ， ， 线性表出， 向量组等价，秩相等。

6、122311 1., nnn ， ， 相关性？ 12 (1) (2) n n n 为偶数：必相关。 为奇数：线性无关，线性无关。 2021/6/1611 122331123 3 101 ,110 011 n 例如时， P 0P 当， 1 123122331 ,P 122331123 , 所以向量组 与 ，等价。 122331 123 0(,) min, ( )3 PR RR P 当 时， 2021/6/1612 此方法对很多问题都有效：此方法对很多问题都有效： 123 213213 3., , l m lm 线性无关，问满足什么条件时， 线性无关。 方法类似：方法类似： 213213123 1

7、01 ,10 01 lml m P 10Plm 当，可逆时，两向量组等价，无关。 2021/6/1613 123213 121 4., mm mm ，判定两向量组秩的关系。 1212 12 0111 1011 , 1101 1110 , mm m P 解: 0P ，等价，秩相等。 2021/6/1614 一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩二、求向量组的秩 三、向量空间的判定三、向量空间的判定 四、基础解系的证法四、基础解系的证法 五、解向量的证法五、解向量的证法 典型例题 2021/6/1615 研究这类问题一般有两个方法研究这类问题一般有两个方法 方法方法1

8、1从定义出发从定义出发 0 0 0 , 0 2 1 2 22 21 2 1 12 11 1 2211 a a a k a a a k a a a k kkk mn m m m nn mm 令令 整理得线性方程组整理得线性方程组 一、向量组线性关系的判定 2021/6/1616 )( , 0 , 0 , 0 2211 2222112 1221111 kakaka kakaka kakaka mmnnn mm mm . ,)( ., ,)( 21 21 线线性性相相关关 则则有有非非零零解解若若线线性性方方程程组组 线线性性无无关关 则则只只有有唯唯一一零零解解若若线线性性方方程程组组 m m 2

9、021/6/1617 方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定系判定 .,)( ,)( ).(),( , 21 21 21 21 线线性性相相关关则则若若 线线性性无无关关则则若若 首首先先求求出出相相应应的的矩矩阵阵 就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 m m m m mAR mAR ARA n 2021/6/1618 例例研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性 . 2 0 1 , 5 2 0 , 3 2 1 321 解一解一 0 0 0 2 0 1 5 2 0 3 2 1 , 0 321 332211 kkk kkk 即即令令

10、 2021/6/1619 整理得到整理得到)( . 0253 , 022 , 0 321 21 31 kkk kk kk . ,)( , 0 253 022 101 )( 321 线线性性相相关关 从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组 的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 2021/6/1620 解二解二 , 2 0 1 , 5 2 0 , 3 2 1 321 , 253 022 101 ),( 321 A矩阵矩阵 2021/6/1621 000 220 101 253 022 101 初初等等行行变变换换 A ., , 32)( 321 线线性性相相关关故故向向量量组组

11、AR 2021/6/1622 . )2(, , :, 2211 21 21 线线性性相相关关 都都有有使使对对任任何何向向量量为为零零的的数数 存存在在不不全全证证明明线线性性相相关关设设 r ttt ttt rr r r 例例2 2 分析分析考考察察向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发 , 0)( 2211 2211 tktktk kkk rr rr 即即向向量量方方程程 0)()()( 222111 tktktk rrr 2021/6/1623 ., , 21 因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个 而而使使得得对对数数是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的

12、 kkk r 证明证明 0 , , 2211 21 21 rr r r kkk kkk 使使为为零零的的数数 所所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为 0 2211 xkxkxk rr 考考虑虑线线性性方方程程 都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解 为为任任一一非非设设它它必必有有非非零零解解因因为为 , ),(, 2 21 ttt r r 2021/6/1624 0)( 2211 2211 tktktk kkk rr rr . , :, 2211 21 线线性性相相关关 不不全全为为零零得得知知由由 ttt kkk rr r 2021/6/1625 . , ,:, 2 121 一

13、一个个最最大大线线性性无无关关组组 成成它它的的个个线线性性无无关关的的向向量量均均构构中中任任意意 证证明明的的秩秩是是已已知知向向量量组组 r r s s 例例3 3 证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是：关组的基本方法就是： 分析分析 根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往还 与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系 2021/6/1626 证明证明 ., ,), 2 , 1( , , 21 21 21 r sk r k iii k s iii r r 否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关

14、 线线性性向向量量组组的的 于于是是对对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意 是是设设不不失失一一般般性性 ., , 21 21 线线性性表表出出以以由由 可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iii k iii r r ., , 21 21 的的一一个个最最大大线线性性无无关关组组 是是这这就就证证明明了了由由定定义义 s iii r 2021/6/1627 求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为列向量所排成的秩来求，这个矩阵是由这组向量为列向量所排成的 二、求向量组的秩 2021/6/16

15、28 .)1, 4, 6, 2( ),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0( ),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1( 5 43 21 的秩的秩 求向量组求向量组 T TT TT 例4例4 解解 为为阶阶梯梯形形化化行行变变换换 作作初初等等对对作作矩矩阵阵 A AA , , 54321 2021/6/1629 11110 42110 63121 21011 54321 A 11012 01124 00035 00000 . 54321 U 记记作作 2021/6/1630 , 3)( ARA的的列列秩秩 . 3, 54321 的的秩秩为为故故向向量量组组 00000

16、 53000 42110 21011 ) ( 54321 U , , 421 无无关关组组 线线性性的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大是是又又U . , 421 线线性性无无关关组组 的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大也也是是所所以以A 2021/6/1631 判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间成向量空间；否则，不构成向量空间 . )1 , 0 , 0( 3 向向量量空空间间所所组组成成的的集集合合是是否否构构成成 不

17、不平平行行的的全全体体向向量量中中与与向向量量判判断断 R 例例5 5 解解 三、向量空间的判定 ),0)(1 , 0(),0 , 0( 21 kkk 对对向向量量 ),1 , 0 , 0(, 21 均均不不平平行行于于 ).1 , 0 , 0( 21 2021/6/1632 例例证明与基础解系等价的线性无关的向量组证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系也是基础解系 四、基础解系的证法 分析分析 (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示 (1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关；该组向量线性无关； 要证明某

18、一向量组是方程组的基础解要证明某一向量组是方程组的基础解 系，需要证明三个结论系，需要证明三个结论: 0 AX 2021/6/1633 1 1 1 , ,.: (1),; (2), 1. (3), 1,1. n r n r n r AXb AXb nr AXbX nr 设是非齐次线性方程组的一个解 是其导出组的一个基础 解系证明 线性无关 是方程组的 个线性无关的解 方程组的任一解都可以表示为这 个解的线性组合 而且组合系数之和为 例例7 7 五、解向量的证法 2021/6/1634 . 0 )(, 0)1( 0 1 10 k kkk rn rn 其其中中必必有有 令令 证明证明 1 0 1

19、00 ,0. n r n r kk k kk 否则 有矛盾 所以 , 0 ,)(0 2 2 1 1 0 rn rnkkk k 则有则有式式代入代入将将 12 12 0, ,. n r n r kkk 于是线性无关 2021/6/1635 .,), , 2 , 1()2( 再再证证它它们们线线性性无无关关的的解解都都是是 知知由由线线性性方方程程组组解解的的性性质质 BAXrn i i 所所以以线线性性无无关关的的证证明明知知由由 则则 令令 ,)1( , 0)( , 0)()( 21 1 110 1 10 rn rn rnrn rn rn kkkkk kkk ., , 0 , 21 210 线

20、性无关线性无关故故 得得解之解之 rn rnkkkk 2021/6/1636 可可表表为为则则的的任任一一解解为为方方程程组组设设XBAXX,)3( rn rnttt X 2 2 1 1 )()( 1 1 rn rntt )( )()1( 1 11 rn rn rn t ttt 2021/6/1637 第四章测试题 一、填空题一、填空题( (每小题每小题5 5分，共分，共4040分分) ) .,1 , 2 , 0 , 1 , 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 1 4 321 线线性性相相关关时时则则 设设 k k .,0 , 3 , 1 ,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 2 4 321 线线性性无无关关时时则则 设设 tt 则则该该向向量量组组的的秩秩是是 已已知知向向量量组组 ,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3 ,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 3 4 321 2021/6/1638 则向量个数则向量个数线性表出线性表出 均可由向量组均可由向量组维单位向量组维单位向量组 , , . 4 2121 s n n 10100 11