专题05 全称量词与存在量词（讲）（原卷版）附答案

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题05全称量词与存在量词（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为：xM,p(x)(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义3存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示,含有存在量词的命

2、题,叫做特称命题(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为,x0M,p(x0)(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义4命题的否定(1)全称命题p：xM,p(x),它的否定p：x0M,p(x0),全称命题的否定是特称命题(2)特称命题p：x0M,p(x0),它的否定p：xM,p(x),特称命题的否定是全称命题5常见的命题的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xA使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在xA使p(x)假1命题“对任意,都有”的否定是（ ）A对任意,都有B对任意,都有C存在,

3、使得D存在,使得2命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 （ ）A,B,C,D,3下列命题含有全称量词的是 （ )A某些函数图象不过原点B实数的平方为正数C方程有实数解D素数中只有一个偶数4下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是（ ）A斜三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数,使C任一无理数的平方必是无理数D存在一个负数,使5若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为( )ABCD典型题型与解题方法重要考点一：全称命题与特称命题的判定【典型例题】判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假(1)对所有的实数a,b,关于x的方程axb0恰有唯一解(2)存在实数x,使得 .【题型强化】把下列

4、定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【收官验收】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a,二次函数的图象关于y轴对称；(3)存在整数x,y,使得；(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题2当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质3一个全称(或特称)命题往往有多种不同的

5、表述方法,有时可能会省略全称(存在)量词,应结合具体问题多加体会重要考点二：全称命题与特称命题的真假判断【典型例题】写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假：（1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形,它的对角线不相等；（3）是三角形的内角和是.【题型强化】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n,使得为奇数；（3）是无理数,是无理数.【收官验收】判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360；（2）任何实数都有算术平方根；（3）是无理数,是无理数.【名师点睛】1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题,必须

6、对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个xx0,使得p(x0)不成立即可2特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个xx0,使p(x0)成立即可；否则,这一特称命题就是假命题重要考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围【典型例题】若命题“”是真命题,则实数a的取值范围是（ ）.ABCD【题型强化】若“R,”是真命题,则实数的取值范围是_【收官验收】已知命题,.若p与q均为假命题,求实数a的取值范围.重要考点四：全称命题、特称命题的否定【典型例题】命题“,”的否定是（ ）ABCD【题型强化】命题：,的否定

7、是_【收官验收】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180.【名师点睛】1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论2对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定重要考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围【典型例题】已知命题p：“至少存在一个实数,使不等式成立”的否定为假命题,试求实数a的取值范围【题型强化】若命题“,一次函数的图象在轴上方”为真命题,求实数的取值范围【收官验收】已

8、知命题存在实数,使成立.（1）若命题P为真命题,求实数a的取值范围；（2）命题任意实数,使恒成立.如果p,q都是假命题,求实数a的取值范围.【名师点睛】(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题主要考查两种命题的定义及其否定. (2)全称命题为真,意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质,使所给语句为真因此,当给出限定集合中的任一个特殊的元素时,自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题05全称量词与存在量词（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析

9、1全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为：xM,p(x)(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义3存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示,含有存在量词的命题,叫做特称命题(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为,x0M,p(x0)(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“

10、存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义4命题的否定(1)全称命题p：xM,p(x),它的否定p：x0M,p(x0),全称命题的否定是特称命题(2)特称命题p：x0M,p(x0),它的否定p：xM,p(x),特称命题的否定是全称命题5常见的命题的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xA使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在xA使p(x)假1命题“对任意,都有”的否定是（ ）A对任意,都有B对任意,都有C存在,使得D存在,使得【参考答案】D【解析】解：命题“对任意,都有”的否定是存在,使得.故选：D.2命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 （ ）A,B,

11、C,D,【参考答案】C【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”,所以正确选项为C.3下列命题含有全称量词的是 （ )A某些函数图象不过原点B实数的平方为正数C方程有实数解D素数中只有一个偶数【参考答案】B【解析】 “某些函数图象不过原点”即“存在函数,其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数,使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数,它是偶数”,这三个命题都是存在量词命题,“实数的平方为正数”即“所有的实数,它的平方为正数”,是全称量词命题,其省略了全称量词“所有的”,所以正确选项为B.4下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是（ ）A斜三角

12、形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数,使C任一无理数的平方必是无理数D存在一个负数,使【参考答案】B【解析】选项A,C中的命题是全称命题,选项D中的命题是特称命题,但是假命题只有B既是特称命题又是真命题,选B.5若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为( )ABCD【参考答案】B【解析】由题得,原命题的否命题是“,使”,即,解得选B.典型题型与解题方法重要考点一：全称命题与特称命题的判定【典型例题】判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假(1)对所有的实数a,b,关于x的方程axb0恰有唯一解(2)存在实数x,使得 .【参考答案】（1）假命题； （2）假命题.【解析】 (1)该命题是全称

13、命题当a0,b0时方程无解,故该命题为假命题(2)该命题是特称命题x22x3(x1)222,.故该命题是假命题【题型强化】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【参考答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;(2)所有三角形的内角和都是180.【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180.【收官验收】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a,二次函数的图象关于y轴对称；(3)存在整数x,y,使得；(4

14、)存在一个无理数,它的立方是有理数.【参考答案】(1).真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；(3)假命题；(4),真命题.【解析】 (1),是真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题,；(3)假命题,因为必为偶数；(4).真命题,例如.【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题2当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质3一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全

15、称(存在)量词,应结合具体问题多加体会重要考点二：全称命题与特称命题的真假判断【典型例题】写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假：（1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形,它的对角线不相等；（3）是三角形的内角和是.【参考答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）存在一个实数不存在倒数,例如:实数,故此命题为真命题；（2）所有平行四边形的对角线相等,例如：边长为1,一个内角为的菱形,其对角线分别为,故此命题为假命题；（3）是三角形的内角和不是,由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为,故此命题为假命题.【题型强化】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四

16、边形,它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n,使得为奇数；（3）是无理数,是无理数.【参考答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题,因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题,因为若为整数,则必为偶数；（3）真命题,因为是无理数,是无理数.【收官验收】判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360；（2）任何实数都有算术平方根；（3）是无理数,是无理数.【参考答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】（1）真命题.连接一条对角线,将一个四边形分成两个三角形,而一个三角形的内角和180,所以四边形的内角和都是360是真命题；（2）假

17、命题.因为负数没有算术平方根,所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题,因为是无理数,是有理数,所以是无理数,是无理数是假命题.【名师点睛】1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个xx0,使得p(x0)不成立即可2特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个xx0,使p(x0)成立即可；否则,这一特称命题就是假命题重要考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围【典型例题】若命题“”是真命题,则实数a的取值范围是（ ）.ABCD【参考答案】B【解析

18、】命题“”是真命题,则需满足,解得或.故选：B.【题型强化】若“R,”是真命题,则实数的取值范围是_【参考答案】【解析】若“xR,x2+2xa0”是真命题,则0,即4+4a0,解得a1故参考答案为【收官验收】已知命题,.若p与q均为假命题,求实数a的取值范围.【参考答案】【解析】,.因为p与q均为假命题,所以与都是真命题.由为真命题得或,故.由为真命题得或,故.解得.故实数a的取值范围是.重要考点四：全称命题、特称命题的否定【典型例题】命题“,”的否定是（ ）ABCD【参考答案】B【解析】命题“,”的否定是: ,故选B【题型强化】命题：,的否定是_【参考答案】【解析】根据特称命题的否定为全称命题,可知命题“,”的否定是“”.【收官验收】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180.【参考答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180.【解析】（1）原命题省略了全称量词“所有,所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.（2）原命题省略了全称量词“任何一个”,所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180.【名师点睛】1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称