专题14 指数函数（讲）（解析版）

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题14指数函数（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1指数函数的定义一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量.知识点拨指数函数yax(a0,且a1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.2指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示：a10a1图象性质定义域R值域(0,)过定点过定点(0,1),即x0时,y1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数知识点拨(1)a1是“一撇”,0a(a2a2)1x,则x的取

2、值范围是_【参考答案】 【解析】a2a2,y(a2a2)x为R上的增函数x1x,即.x的取值范围是.典型题型与解题方法重要考点一：指数函数的概念【典型例题】已知函数为指数函数,则 .【参考答案】1【解析】函数为指数函数,解得【题型强化】下列函数是指数函数的是_(填序号)y4x；yx4；y(4)x；y4x2.【参考答案】【解析】形如且)的函数,叫指数函数.由指数函数定义,只有是指数函数；yx4是幂函数；y(4)x,由于底数,所以不是指数函数；y4x2不是指数函数.故参考答案为：【收官验收】已知指数函数图像经过点,则_.【参考答案】 【解析】设指数函数为（且）,由题意得,解得,所以,故参考答案：【

3、名师点睛】判断一个函数是否是指数函数,关键是看解析式是否符合yax(a0,a1)这一结构形式重要考点二：指数函数的图象【典型例题】如图,是指数函数、的图象,则（ ）ABCD【参考答案】B【解析】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数,当底数大于0小于1时是定义域内的减函数,由图可知、为增函数,则大于1.、为减函数,则大于0小于1.当时,对应的函数值依次为、,由图知,当时,对应函数值由下到上依次是,得,所以正确选项为B故选:B【题型强化】函数的图象可能是 ( )ABCD【参考答案】C【解析】当时,函数可以看做函数的图象向下平移个单位,由于,则A错误；又时,则函数过点,故B错误；当时,函数可以看

4、做函数的图象向下平移个单位,由于,则D错误；又时,则函数过点,故C正确；故选：C【收官验收】在同一直角坐标系中,函数与在上的图象可能是（ ）ABCD【参考答案】A【解析】为幂函数,为指数函数A. 过定点,可知,的图象符合,故可能.B. 过定点,可知,的图象不符合,故不可能.C. 过定点,可知,的图象不符合,故不可能.D.图象中无幂函数图象,故不可能.故选：A【名师点睛】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内,图象自下而上对应的底数依次增大重要考点三：指数函数中忽视对底数的分类讨论致误【典型例题】已知函数在区间上的最大值比最小值大,求实数的值.【参考答案】【解析】函数函数在单调递增

5、即,又函数在区间上的最大值比最小值大.,解得或（舍去）综上所述：【题型强化】已知函数且的图象经过点（1）求的值；（2）若,求的取值范围【参考答案】（1）（2）【解析】（1）且的图象经过点,由且可得（2）由（1）得若,代入可得由指数函数的单调性可知满足解得,即【收官验收】已知函数在区间上的最大值比最小值大,求实数a的值.【参考答案】或【解析】时,是增函数,则,解得（舍去）；时,是减函数,则,解得（舍去）综上,或重要考点四：指数型函数图象过定点问题【典型例题】函数的图象一定过定点P,则P点的坐标是_【参考答案】(1,4)【解析】由向右平移个单位,向上平移个单位得到,过定点,则过定点.【题型强化】函

6、数（且）的图象恒过定点_.【参考答案】【解析】根据题意,数中,令,解可得,此时,即函数的图象恒过定点,故参考答案为：.【收官验收】已知函数（其中且）的图象恒过定点P,则点P坐标是_.【参考答案】【解析】解：令,此时,此时,所以图象恒过.故参考答案为: .【名师点睛】指数型函数过定点的求法：求指数型函数图象所过的定点,只要令指数为0,求出对应的x与y的值,即为函数图象所过的定点重要考点五：指数型函数的定义域与值域【典型例题】设.（1）求的值域；（2）证明为上的增函数.【参考答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为,所以,所以,即的值域为；（2）任取、,且则所以所以为上的增函数【题型强化

7、】求下列函数的定义域和值域,并写出其单调区间.（1）； （2）；（3）； （4）.【参考答案】（1）定义域：,值域：,减区间：；（2）定义域：,值域：,减区间：和；（3）定义域：R,值域：,增区间：,减区间：；（4）值域,减区间：,增区间：【解析】（1）由得,所以定义域为,又,所以,所以值域中,在上是减函数,所以的减区间是；（2）由得,所以定义域是,又,所以值域是,在和上都是增函数,所以的减区间是和；（3）定义域是,又,所以值域中,在上递增,在上递减,所以的增区间,减区间是；（4）定义域是,令,由,所以,所以,值域,又在上递减,在上递增,而是减函数,所以的减区间是,增区间【收官验收】求下列函数

8、的定义域、值域.（1）y；（2）y4x2x1.【参考答案】（1）定义域为R；值域为(0,1)；（2）定义域为R；值域为.【解析】（1）对一切xR,3x1；函数的定义域为R；y1；又3x0,13x1；01,10；010,2x,即x1时,y取最小值；同时y可以取一切大于的实数；值域为.【名师点睛】1.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f(x)在区间a,b上是增函数,则f(a)f(x)f(b),值域为f(a),f(b)(2)若函数f(x)在区间a,b上是减函数,则f(a)f(x)f(b),值域为f(b),f(a)2函数yaf(x)定义域、值域的求法(1)定义域函数yaf(x)的定义域与yf(

9、x)的定义域相同(2)值域换元,令tf(x)；求tf(x)的定义域xD；求tf(x)的值域tM；利用yat的单调性求yat,tM的值域重要考点六：幂式大小的比较【典型例题】设则的大小关系是（ ）ABCD【参考答案】C【解析】由在区间是单调减函数可知,又,故选.【题型强化】若a0,则0.5a, 、5a 、5a的大小关系是（ ）A5a5a0.5aB5a0.5a5aC0.5a5a5aD5a5a0时,yf(xm)的图象可以由yf(x)的图象向右平移m个单位得到；yf(xm)的图象可以由yf(x)的图象向左平移m个单位得到；yf(x)m的图象可以由yf(x)的图象向上平移m个单位得到；yf(x)m的图象可以由yf(x)的图象向下平移m个单位得到2对称(翻折)变换yf(|x|)的图象可以将yf(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部