理学简谐振动PPT学习教案

1、会计学1 理学简谐振动理学简谐振动 机械振动 机械振动机械振动(mechanical vibration)：物体在一固定位置附：物体在一固定位置附 近作往复运动。近作往复运动。 特点： 有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。 振动的形式多种多样。振动的形式多种多样。简谐振动是最简单、最基本的简谐振动是最简单、最基本的， 存在于许多物理现象中。存在于许多物理现象中。 广义地说，任何一个物理量（如电压、电流、功率等）广义地说，任何一个物理量（如电压、电流、功率等） 在某一量值附近的反复变化都可以称为振动。机械振动在某一量值附近的反复变化都可以称为振动。机械振动 是其它形式振动的基础。是其

2、它形式振动的基础。 2021-8-102 第1页/共33页 9-1 9-1 简谐振动简谐振动( (simple harmonic motion:SHM) )的描述的描述 以以弹簧振子弹簧振子为例，它由劲度系数为为例，它由劲度系数为k k，质量不计的轻，质量不计的轻 弹簧和质量为弹簧和质量为m m 的物体组成，弹簧一端固定，另一端连的物体组成，弹簧一端固定，另一端连 接物体。当物体在无摩擦的水平面上受到弹簧弹性限度接物体。当物体在无摩擦的水平面上受到弹簧弹性限度 内的弹性力作用时，物体将作内的弹性力作用时，物体将作简谐振动简谐振动，物体受到的合，物体受到的合 外力外力 为：为： kxF 回复力回

3、复力：与位移成正：与位移成正 比而反向的力比而反向的力 平衡位置平衡位置：物体所受：物体所受 合力为零的位置合力为零的位置 2021-8-103 第2页/共33页 2、简谐振动的运动学特征: 1) 、 位移是时间的余弦或正弦函数。位移是时间的余弦或正弦函数。 由谐振动的动力学方程: )cos(tAx 可求得位移与时间的函数关系 A、 为积分常数，可由初始条件确定。 2 2 2 d x x dt 即即xx m k m F a 2 m k 2 其中常量： 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 1、简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征 物体所受合外力与位移成正比而反向。物体所受合外力与位移成正比而反

4、向。kxF 运动方程运动方程 2021-8-104 第3页/共33页 2)、速度、加速度与时间的关系 sin()cos 2 dx vAtAt dt 2 22 2 cos()cos() d x aAtAt dt 速度、加速度也是余弦或正弦函数，最大值分别为： 2 mm vAaA， 2021-8-105 第4页/共33页 tx图图 tv 图 ta 图 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T T )cos(tAx 0取取 2 T ) 2 cos(tA )sin(tAv )cos( 2 tA )cos( 2 tAa 2021-8-106 第5页/共33页 振幅、频率

5、和周期、相位和初相。 (1)、振幅、振幅(amplitude):A 振动物体离开平衡位置的振动物体离开平衡位置的 最大位移的绝对值。反最大位移的绝对值。反 映振动的强弱（能量）。映振动的强弱（能量）。 周期周期T：谐振子作一次全振动所需的时间。：谐振子作一次全振动所需的时间。 每隔时间每隔时间T运动完全重复一次，反映振动快慢。运动完全重复一次，反映振动快慢。 2 T 可得：可得： (时间的周期不同于相位的周期）时间的周期不同于相位的周期） （2）、频率）、频率 (frequency)和周期和周期T(period) 3、描述谐振动的物理量 2021-8-107 第6页/共33页 2 角频率（圆频

6、率）角频率（圆频率） ：表示：表示2 秒内全振动的次数。秒内全振动的次数。 单位：弧度单位：弧度/秒秒 )( 1 srad 2 1 T 振动频率振动频率 ：单位时间内振动的次数。：单位时间内振动的次数。 对弹簧振子： 2 m T k ， 1 2 k m 固有周期、固有频率固有周期、固有频率(natural frequency) ：由系统自身：由系统自身 固有性质所决定的周期和频率。固有性质所决定的周期和频率。 2021-8-108 第7页/共33页 （3）、相位、初相位）、相位、初相位 相位相位(phase)： （又名（又名 位相、周相）位相、周相）t 初相位初相位： t=0时的相位，决定初始

7、时刻（开始计时）振子的运时的相位，决定初始时刻（开始计时）振子的运 动状态。动状态。 2 描述运动的状态。相位一定，运动状态（位移、描述运动的状态。相位一定，运动状态（位移、 速度）就确定了（举例）。相同的运动状态对应的相速度）就确定了（举例）。相同的运动状态对应的相 位差为位差为 的整数倍。的整数倍。 )cos(tAx 2021-8-109 第8页/共33页 两个同频率的简谐振动的相位差：两个同频率的简谐振动的相位差： 2121 ()()tt 一般要求一般要求 21 21 21 0; 0 2( 21) n n 超 前 0为计时零点，写为计时零点，写 出振动方程，并计算振动频率。出振动方程，并

8、计算振动频率。 解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 。 k=mg/ l 。令向下有位移。令向下有位移 x, 则则 f=mg-k( l +x)=-kx 作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为 )tcos(Ax 0 s/rad . . l g m k 10 0980 89 x Om x 2021-8-1021 第20页/共33页 由初始条件得由初始条件得 ,) x v (arctg0 0 0 0 m v xA0980 2 0 2 0 .)( 由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2

9、v0= -A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m 对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A不变不变 Hz l g 6 . 1 2 1 2 固有频率固有频率 2021-8-1023 第22页/共33页 T -0.05 -0.10 0.10 t s x m 1 3 5 6 4 3 11 6 7 30 例例 、简谐运动曲线、简谐运动曲线x-t如图，试写出此运动的运动方程如图，试写出此运动的运动方程 解：由图可以看出：解：由图可以看出：0.10,2Am Ts 所以所以 -1 2 s T 202

10、1-8-1024 第23页/共33页 用旋转矢量法确定初相用旋转矢量法确定初相 已知已知 00 0,-,0 2 A txv O x A - 2 旋转矢量只能位于第二象限，与旋转矢量只能位于第二象限，与x轴夹角为轴夹角为 2 = 3 根据以上所得，简谐运动方程为根据以上所得，简谐运动方程为 2 0.10cos 3 xmt 2021-8-1025 第24页/共33页 一一 单摆单摆 l m o A sinMmglmgl 2 2 d d t Jmgl 2 mlJ l g t 2 2 d d 2 2 2 d d t )cos( m t l g 2 令令 T F P glT2 sin,5时时 9-3 单

11、摆和复摆单摆和复摆 2021-8-1026 第25页/共33页 o C * 二二 复摆复摆 l mglM 2 2 d d t Jmgl 2 2 2 d d t J mgl 2 令令 cos() m t )5( P （ 点为质心）点为质心） C 2 J T mgl 2021-8-1027 第26页/共33页 三三 简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征 xa 2 4 4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反 x t x 2 2 2 d d 2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述 )sin(tAv )cos(tAx 3）简谐运动的运动学描述 J mgl 复摆复摆 m

12、k弹簧振子弹簧振子lg 单摆单摆 kxF1 1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 x 2021-8-1028 单摆 2 Jml 第27页/共33页 补充：弹簧串并联的倔强系数补充：弹簧串并联的倔强系数 11 22 12 12 111 Fkx Fkx Fk xkkk xxx k1k2F 串串 联联 并并 联联 12 k xkxkx 2021-8-1029 第28页/共33页 1 k 2 k 思考：弹簧是串联还是思考：弹簧是串联还是并并联？联？ 2021-8-1030 第29页/共33页 例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、 一半径为一半径为R、转动惯量为、转动惯量为J的定滑轮和一质量为的定滑轮和一质量为m的的 物物 体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动， 试证物体作简谐振动，并求其周期试证物体作简谐振动，并求其周期T。 T m T mg a 2 F 解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平 衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量 为为 l，则，则 0 lkmg 202