(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题理

1、 7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1 .二元一次不等式表示的平面区域（1） 一般地，二元一次不等式ax+ by+ c 0在平面直角坐标系中表示直线ax+ by+ c=0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直 线.当我们在坐标系中画不等式ax+ by+ 80所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 .（2）由于对直线 ax+by+ c= 0同一侧的所有点（x, y）,把它的坐标（x, y）代入ax+ by + c,所得的符号都 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 （x0, yo）（如原点） 作为测试点，由 axo+byo+c的 即可判断 a

2、x+ by+ c0表示的是直线 ax+ by+ c=0哪一侧的平面区域.2.线性规划（1）不等式组是一组对变量 x, y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x, y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=ax+ by是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于 z= ax+by是关于x, y的一次解析式，所以又可叫 做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2) 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的 的问题，统称为线性规划 问题.（3）满足线性约束条件的解（x, y）叫做,由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个

3、问题的线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内(4) 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).设 ，画出直线l 0.观察、分析、平移直线10,从而找到最优解.最后求得目标函数的 (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出 条件，确定 函数然后 ， 用 图解 法 求得数 学模 型 的 解 ， 即 ， 在可 行域 内 求得使 目 标 函 数自查自纠1 (1) 平面区域不包括包括 实线 (2) 相同 符号2 (1) 目标函数线性目标函数(2)

4、最大值或最小值(3) 可行解 可行域 最优解 线性约束条件画出可行域z = 0最大值或最小值(5) 约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解36 / 30线 x2丫 + 6=0的（）a.左下方c.右下方x y 4 & 0,不等式组 表示的平面区域内，则点x + y 1 3 & 0最大值为 （）a 2b 4c 6（2015 河北模拟）已知点 r2 , t）在p（2,t）到直线3x+4y+10=0距离的d 8不等式x2y+60表不的区域在直b.左上方d.右上方解： 画出直线并取原点代入知 c 正确故选c.解：画出不等式组表示的平面区域3x+4y+10=0的距离最大.由（如图阴影部分所示）.结合图形

5、可知，点a到直线x= 2,得a点坐标为（2,1）,故所求最大距离为 dmax x+y3=0|3 x2+4x1+ 10| 花-= =1 = 4.故选 b.32+42（2015 湖南）若变量x, y满足约束x+y- 1,条件2x-y- 1,解：作出不等式组2x-y1,表示的可行域如图中阴影部分所示，当平行直线系 zy+故填3t|t 33（2015 新课标i ）若x, y满足约束x-10,条件x-y0, awl）的图象过区域 m的a的取值范围是（）a. 1 , 3c. 2 , 9x+ 2y192x y+80,所表示的平面区域为m则使函数2x+ y-141,只需研究过（1, 9）, （3, 8）两种情

6、形，a29且a3r8即2a0,条件x-y4,设 x, y 满足 x-y 1,则 z = x +x-2y0,(1)若不等式组x + 3y4,所表示3x+ y0,（2）在平面直角坐标系中，若不等式组 x-10面积等于2,则a的值为（）d. 3c. 2b. 1 a. - 5解：如图可得阴影部分即为满足x-k0与x + y-1 0的可行域，而直线 ax-y+ 1=0恒过点（0,1）,故看作直线绕点（0 , 1）旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2,则它是三角形，设该三角形为abc因为 abc的点a和b的坐标分别为 a（0 , 1）和r1 , 0）,且saabc= 2,设点c的坐标为j，r一，

7、c(1 , y),则2*ixy=2? y=4,将点 c(1 , 4)代入 axy + 1 = 0得 a= 3.故选 d.4，一，一【点拨】此类问题综合性较强，注意到y=kx+-, axy+1 = 0都是含参数且恒过定3点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握住两点：参数的几何意义；条件的合理转化.已知x, y满足约束条件xy0,x+y0.a. 3 b.2 c.2 d.3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=ax+ y的最大值为4,即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为 4, 作出过点d(0 , 4)的直线，由图可知，目标函数在点 b(2

8、 , 0)处取得最大值，有 ax2+0 = 4,得a=2.故选b.yx,（2）（ 2014 湖南）若变量x, y满足约束条件x + yk,6,贝u k=解： 易得出约束条件中三条直线两两所成的交点 （k， k） ， （4 k， k） ， （2 ， 2） ，且可行域如图，则kw2.最小值在点（k, k）处取得，3k= 6,得k= 2.故填2.类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解若实数x, y满足x2+y2wi,则|2x y 2| |6 x 3y| 的最小值是解：x2+y2w 1 表示圆 x2+y2=1 及其内部，此时 6 x3y0,故|6 x3y| = 6 x3y, 令 z=|2x+y

9、2| + |6 x3y| =6 x 3y+ |2 x+y 2| ,当 2x+ y20 时，z=x 一3 4-2y + 4,目标函数z在点a 5，5 处取得最小值，zmin=3;当2x+y2w0时，z=8 3x 5 5一3 4-4y,同理可知，目标函数z在点a,1处取得最小值，zmin= 3,综上所述，|2x + y2|5 5+ |6 -x-3y|的最小值为3.故填3.【点拨】 本题可行域是圆及其内部的点，首先可以从目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再分类讨论去掉另一个绝对值号，注意充分利用目标函数或可行域的几何意义.实系数方程f (x) =x2+ax+2b= 0的一个根在(0, 1)内，另一个

10、根在(1, 2)内，求:b一 2(1)二的值域；a 1(2)( a1)2+(b 2)2的值域.f (0) 0,b0,解：由题意知 f (1) 0a + b+20.可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为 a(-3, 1), b(-2, 0), c( -1, 0) .如图所示.(1)设一；=k? b=k(a1)+2,则k表示可行域内一个动点p(a, b)和定点 q1 , 2)a 1一，11连线的斜率，因为a( 3, 1) ,c( 1, 0),则kaq= 4,kcck1,kaqkkcq,- k 0,y 0,所表示的平面区域为d,记d内的整点(即横坐标和纵坐 标均y0 得 xv 3,又 x0,所以x

11、 = 1或x= 2.直线x = 2交直线y = nx+ 3n于点(2 , n),直线x= 1交直线y=nx+3n 于点(1, 2n),所以整点个数 an= n+2n= 3n.故填 an= 3n.【点拨】 求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点设实数 x， y 满足不等式组x + 2y-50,2x + y 70,若x, y为整数，则3x+4y的最小值为()x0, y0,d. 19c. 17b. 16a. 14“ 93 z ,解：回出可行域如图，令3x+4y=z, y=4x+7 过x轴上的整点(1 , 0), (2, 一 ，3 z ,，一0

12、), (3, 0), (4, 0), (5, 0)处作格子线，可知当y=4x + 4过(4, 1)时有最小值(对可 疑点(3 , 2) , (2 , 4) , (4, 1)逐个试验)，此时 zmin= 3x4 +4= 16.故选 b.类型六线性规划在实际问题中的应用(2015 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 a b两种原料.已知生产 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额a（吨）3212r吨)128b. 16万元d. 18万元a.12万元c. 17万元解：设每天生产甲、乙两种产

13、品分别为x、y吨，利润为z元，3x+2y12,则 x + 2y0, y0,目标函数为 z= 3x + 4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域.,_3 z -,3 一，一3 z,由z= 3x + 4y得y=4x+4，平移直线y = x至经过点b时，直线y= 4 zmax= 3x+4y = 6+ 12= 18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是 18万元.故选d【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸 多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点.+4的纵3x+ 2y =

14、12,解方程组得x+ 2y = 8,截距最大，此时z最大,x=2,即 b(2 , 3).y=3，某公司租赁甲、乙两种设备生产a,b两类产品，甲种设备每天能生产 a类产品5件和b类产品10件，乙种设备每天能生产 a类产品6件和b类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产 a类产品50件，b类产品140件，所需租赁费最少为元.解：设甲种设备需要生产 x天，乙种设备需要生产 y天，该公司所需租赁费为 z元,x + 6y10,5即 x + 2y14,x0,y0.,6y 50+ 5x 20y 140+ 10x,x0,yo则z=200x+300y,甲、

15、乙两种设备每天生产a, b两类产品的情况如下表所示:产品设备a类产品（件）户50）b类产品（件）（140）租赁费（元）甲设备510200乙设备620300y满足的关系为作出不等式组表示的平面区域6 x+-y= 10, ,当z=200x+300y对应的直线过两直线5x + 2y= 14的交点（4, 5）时，目标函数z=200x+ 300y取得最小值为2300元.故填2300.1 .解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式（组）表示的平面区域所在位置，如果直线ax+ by+ c= 0不经过原点，则把原点代入 ax+ by+ c,通过ax+ by+ c的正负和不等号 的方向，来判断二元一次不等式 （组

16、）表示的平面区域所在的位置.2 .求目标函数z = ax+by（ abw。）的最值，将函数 z= ax + by转化为直线的斜截式：y=ax + z,通过求直线 的截距z的最值间接求出 z的最值.最优解一般在顶点或边界取b bb得.但要注意：当b0时，截距b取最大值，z也取最大值；截距（取最小值，z也取最 小值；当b0时，截距z取最大值，z取最小值；截距1取最小值时，z取最大值.bb3 .如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最 优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一

17、个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点p逐一代入目标函数 zp = m奸ny,比较各个zp,得最大值或最小值.y x+2,1.（2015烟台模拟）不等式组y0111d.c.ab-a. 1432y =x + 2,解：作出不等式组对应的区域为如图 bcd由题意知 xb= 1 , xc= 2.由y=x 1,1 一 , _11 1得 yd= 2，所以 $ bcd= 2(xc xb)x2=z.故选 d.x + y 20,2. （2014天津）设变量x, y满足约束条件 x-y-

18、21,最小值为（）d. 5c. 4b. 3a. 2解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示 ,11,目标函数可化为y= gx+g,一 ，11,，z,由图可知，当直线y= 2x+,z经过点（1 , 1）时，z取得最小值3.故选b.4x+5y8,则z=3x + 2y的最小值为3. (2015 广东)若变量x, y满足约束条件1x3,0y0,2x+ y0,x + y.时，可行域可以组成一个 4oab当0vawi ,可以组成一个三角形， 3.4 ,.所以0v aa，故选d 35.（2015 衡水模拟）设变量x, y满足|x|+|y| wi ,则2x + y的最大值和最小值分别为（）b. 2,

19、-2a. 1, - 1d. 2, - 1c. 1, - 2解：不等式|x|+|y|wi表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线10： 2x+y=0， 平移直线 l 0， 当 l 0经过点 （1 ， 0）时 ， 2xy 取最大值 2， 当 l 0经过点（ 1 ， 0）时， 2xy 取最小值 2. 故选b.x一 y十20）6. （2015 湖南模拟）已知实数x, y满足不等式组 x+y-40,若目标函数 z = y2x一 y- 5 & 0, ax取得最大值时的唯一最优解是（1, 3）,则实数a的取值范围为（）b. （0 , 1）a. （ 8, 1）d. (1 ,+8)c. 1 , +8)解：作出不

20、等式组对应的平面区域bcd由z=y ax,得y=ax+z,要使目标函数 y= ax+z仅在点（1, 3）处取最大值，则只需直线y=ax + z仅在点b（1 , 3）处的截距最大，由图象可知akbd,kbd= 1, .-.a1,即a的取值范围是（1,十）.故选qx-y+ 1 0,7. （2015 新课标n ）若x, y满足约束条件 x 2y0,则z = x+y的最大值为x + 2y 20,且2 = 丫一x的最小值为一4,则k的值为. y0,解：由所给条件知目标函数取最小值4时，对应的直线为y=x 4,由x+ y 2ao-1-1且 y0 知，直线 kx y+2 = 0 过点(4, 0),，k= 2.故填一,x-4y+ 30,9.变量 x, y 满足 3x+5y 251.(1)假设z= 4x- 3y,求z1的最大值；(2)设z2= y,求z2的最小值；x(3)设z3=x2 + y2,求z3的取值范围./ 22解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得a 1, - , b(1 , 1), c(5, 2).54 z1 一、4, 一， -zi=4x3y? y= x ,易知平移y = ,x至过点 c时，zi取大，且取大值为 4x5 333 3x2= 14.（2） z2=y表示可行域内的点与原点连线的斜率大小