《航天制导与控制基础》作业要点

1、参考资料：【1】卫星轨道姿态动力学与控制，章仁为，北京航空航天大学出版社。【2】航天器控制原理，周军，西北工业大学出版社。第二章 作业一、设刚体b相对某参考坐标系的姿态可用方向余弦阵 a表示，角速度矢量为试证明:(1) aat= e(2) a =1(3) da/dt = - a证明：设a12a22a32a13a23a33a1a = a2-a3aata12a22a32a13a11a12a21a31a22a32a23a33一a21a22anaa = a21a1 +a22 a12 *a23 aa31 a11 + a32 a12 + a33a13a11a21 a12a22a3 a23a21 a22 a

2、23a31a21a32 a22a33 a23a11 a31 * a 2 a32 * a 3 a33a21 a31 * a22 a32 * a23 a33a31 + a32 + a33根据a阵的性质，可知aat =(2)由于方向余弦阵a描述的坐标系皆为右手正交坐标系，由此可以验证(代入 变换矩阵公式即可验证).t .*又由于t .-1-1*a = a / a因此，由可以推知a =1令姿态相对参考坐标系的转速为0，转轴为e,则切=切e。如在t时刻姿态矩阵为a(t),在t+at时刻为a(t+3)。如用a，表示姿态的变化，则有a(t+ t) =a a(t)利用euler轴/角与姿态矩阵间的转换关系，可

3、以写出a =cos i (1 - cos )eet - sin e当att。时，a = i -，t因此，有a(t+ t) = a(t)- t a(t)a(t t) - a(t)da/dllim。l ; u= - a(t)二、试推导方向余弦阵与euler轴/角间的转换关系解：设转轴为e,转角为 心 对任意矢量a,旋转后所对应的矢量为a,如图1 所示。2定义e au 二ea1e aasin1v =e uu =cos u sin va = acos ?e asin uu将式(1卜式(3)代入式可得，a = (1 -cos )(e a)e cos a sin (e a)(2)参考坐标系轴”经欧拉转动得

4、出对应的本体坐标轴xb ,则xb=(1 -cos )(e xr)e cos xr sin (e xr)(6)cose +e2(1 - cos) a(e,) = exey(1 - cos*) -ex sin* exez(1 - cos*) +ey sin*exey(1 - cos ) ez sin cosej(1-cos )eyez(1 - cos ) - ex sinexez(1-cose) -ey sin8 eyez(1 一 cos*)+ ex sin4cos* +e2(1 cose)根据姿态矩阵的定义，将本体系各轴按式（6）展开并代入，可得证毕3= cos i (1 - cos )eet

5、-sin e由上式可得1e =72sinayz - azy | azx - axz _ayayx 一1costr a -12三、设固连于某刚体的坐标系 oxyz相对参考坐标系oxyz的姿态可用2-3-1euler角描述,(1)试画出两个坐标系的相对旋转关系；(2)试求出对应的姿态矩阵及其逆矩阵； 试推导以2-3-1euler角描述的姿态运动学方程解：(1)假设从坐标系oxyz到坐标系oxyz经过三次旋转：绕oxyz的oy轴旋转角度9,得到坐标系oxiyizi;绕坐标系oxiyizi的ozi轴旋转角度叫得到坐标系ox2y2z2；绕坐标系ox2y2z2的ox2轴旋转角度中，得到坐标系oxyz;相对

6、旋转关系如下图所示：xx ,xx7经过“2-3-i”旋转，就可以完成oxyz至|j oxyz的转化，变换矩阵r为:ir = 0：000cos-cos*sin 中 -sin-sin 中 cos中一.0sin,cos-00 cos00i _sin日0 -sinui 00cos9cos - cossin-cossin干 cos中 + sin日sin* cos cos中：cossin sin* + sin日cos* - co普 sin中-sin cossinf sin cos cos- sin-sin sin sin : cos- cos :因为变换矩阵r是正交矩阵，因此：r4=rt , 231 =r

7、i( ) ?&( )？ r(u)uz-10l0vi00cos -sin ,-icos十 0 cos00-sin11 一cosw0sin -sin-0sin-cos-0cosi0“im?in9cosj-sinvcos|_ 0sin-cos-01jl01j-sin 10cose jl0l；is +sinw1sin 1 中.+ cos c cosw cosm -sin c cosw四、试写出描述刚体绕固定点转动的euler方程，并分析在什么情况下，可以使三轴运动解耦。解：刚体绕固定点转动的euler方程式（1）所示当体坐标轴与惯性主轴重合时，上式可写为:jx切x _(jy - jz)y，jygy -

8、(jz - jx海声j z 切 z _(jx _jy)0 护显然，当jx=jy=jz时，三轴运动解耦。第四章 作业一、证明在仅有二体引力的作用下,航天器机械能守恒。（参见讲义p33）【周军p22】证明：设r为二体之间的位置关系矢量, 关系式：根据二体问题的力学方程，可得到如下用r =0与上式点乘，可得:.p .r *r =r * r =0r根据矢量运算法则a，a=aa,故上式可写为：.n .rr rr = 0r对上式进行积分，可得证毕由上式可知航天器的机械能守恒。二、证明在二体问题中，航天器的运动轨道始终处于空间中的一个固定平面内。（参见讲义p32）【章仁为p2】证明：在地心第一赤道坐标系中，

9、航天器运动方程为:lxry3rzz 二 一二r将上式的第二方程乘以z减去第三个方程乘以y,可得:yz - zy = 0同理可得:yz zy = azx - xz = bxy - yx = c其中，a, b, c是积分常数。进一步整理，可以得到:ax by cz = 0证毕故航天器在一个平面内运动。三、证明开普勒第二、第三定律。证明：首先证明开普勒第二定律。【章仁为p3】由上图，可以写出三角形obb .的面积为-1a = rr sin 32因此，有进而可得a 1 sin ：11：【sinu一二一rr 二一 rr. ：t 2：t2-：t：a 1a = lim =lim rr - t-o -：t.t

10、-02上咄2r2h上式表明，航天器在单位时间扫过的面积是相等的卜面证明开普勒第三定律。【章仁为p5】由于2 二 abt = h 这里nab是整个椭圆的面积，t为周期。因为轨道是椭圆轨道，可得:b = a2 -c2 =：；a2(1 -e2) = , aph 二,p从而，可得：3/2 a即:证毕。t2上式表明，卫星轨道周期的平方和椭圆轨道半长轴的三次方成正比。四、设某地球卫星质心到地心的距离为 r,椭圆轨道的半长轴为a,偏心率为e,偏近点角为e,试证明r = a(1 - ecose)。证明：【章仁为p6】bbpae由上图，可以写出:acose = ae r cosf由轨道运动方程a(1 - e2)

11、1 ecosf 1 ecosf可得2、,a(1 -e ) -rr cos f 二将上式代入第1式，并整理可得:r = a(1 - ecose)五、什么是轨道六要素，它们是如何确定航天器在空间中位置的？【章仁为p7】解：航天器运行的轨道形状和其在空间的位置， 可以通过6个参数来表示，简称 轨道要素。轨道六要素是描述和确定航天器轨道特征的量。1、轨道倾角i:航天器运行轨道所在的平面与赤道面的夹角。2、升交点赤经c:以地球自转方向为正，从春分点方向轴量起的开交点的经度。3、近地点角距s投影在大球上的椭圆轨道近地点于开交点对地心所张的角度， 从开交点顺航天器运行方向量到近地点。4、椭圆轨道的长半轴a。

12、5、椭圆轨道的偏心率e。6、航天器过近地点的时刻tp0这就是航天器的轨道六要素，它们是怎样确定航天器轨道的呢？首先，轨道倾角i和升交点赤经建确定航天器轨道平面在空间中的方位；其次，近地点角距与确定椭圆长轴在轨道平面上的指向；第三，长半轴a和偏心率e确定椭圆轨道的形状和大小；第四，航天器过近地点时刻tp把时间和空间联系起来，确定了航天器在轨道上的 位置。六、设对地定向的某三轴稳定卫星沿近圆轨道运动，轨道角速度为为。固连于星体的本体坐标系为惯量主轴坐标系，转动惯量矩阵为j=diag(jx, jy, jz),卫星相对轨道坐标系的姿态可用2-3-1euler角描述。(参见讲义p41)(1)试推导卫星完

13、整的姿态动力学模型；(2)在小角度假设下，对上述模型进行线性化；(3)试定量分析轨道高度分别为 2000km和200km时各姿态通道间耦合的强弱，并分析产生耦合的原因。解：航天器的姿态运动方程可表示为：mx=ix + (iy-iz-ix)00+(iy-iz)w m y = i ybmz =w-(iy tz tx产 0g(iy - ix)*当ix iyiz完全相同时，可得:mx =ix-z-0-jm y = iy6mz =izw + ix5 ?由上式可知，俯仰通道和滚转、偏航通道是没有耦合的。滚转通道和偏航通道之间是耦合的,其耦合强弱与航天器的轨道角速度有关。由于航天器的轨道是圆轨道，有：- -

14、0 -1- / r3因此，轨道高度为2000km与轨道高度为200km的耦合强度之比为：1 j/20003/2003即，10-3/2。产生耦合的原因主要是由于轨道角速度的存在，使得航天器的滚动轴和偏航轴经过四分之一周期出现交替，从而出现耦合。七、利用欧拉动力学方程分析10-5nm数量级的常值干扰力矩对自由飞行状态下的航天器的姿态影响。解：解耦后，航天器姿态运动的简化方程为：” = mx ，iy5=my jy=m z可见，航天器的姿态是外力矩的二次积分， 所以，当航天器存在一个常值的干扰 力矩时，航天器的姿态会随时间的平方发生变化。 因此，即使常值干扰力矩的数 量级为10-5n-m,但经过长时间

15、的积累，也会出现很大的姿态偏差， 甚至出现翻 滚。八、航天器重力梯度稳定的条件是什么，并简要证明之。解：航天器重力梯度才i定的条件是：iy ix izo证明过程如下: 重力梯度力矩在小角度线性化后，可得到如下表达式：mx o（iy -iz）：my = -3 2（ix -iz尸mz =0带入航天器姿态运动方程，得到：ix - 4(iy -iz) 0 ： -(ix -iy iz) 0- =023 3(ix - iz) 3 一0iz- -(ix -iy) 2，-(ix -iy iz) o； =0首先，考虑俯仰运动，具方程为：iyb 3(底-、3 )0显然，稳定性的必要和充分条件是：ix iz然后研究

16、滚转、偏航耦合运动ix ； 4(iy -iz) ； ： -(ix -iy iz) d =0iz-(ix -iy) 2，-； (ix y iz) 0- 0经过拉式变化后，可得到其特征方程为：:22_ ixs +4(iy -iz)0(i* iy +iz) 8 0s_ (i x _ i y + i z)/ 0s 22 = 0izs2 -(ix -iy)014展开整理可得:iivi,12fi,yi、，7其中：p = 2 -3十2一 一一 十,q =4 - -1 - -1 0 稳定条件为:i xixizi xizjz人 ix,xxzx zzx2p 0, q 0, p - 4q 0其充分必要条件为：i y

17、 i x, i y i z y x y z结合前面俯仰通道的稳定条件，可得航天器重力梯度稳定的条件是:i y ix i z第五章 作业一、比较地球同步轨道与静止轨道的异同。【周军p36】二、求地球静止轨道的高度和静止卫星的运行速度。【章仁为p29三、如果需要对某一地区每30d在同样的光照条件下观测一次，观测卫星的轨道 为800km圆轨道。试求 t、n、机参见讲义p49。nt( e -)=2 k地球自转角速度8e已知，为7.292x10-5rad/s； k=30;取太阳同步圆轨道，轨道面转动角速度 q =2jr/365.24=0.0172029 rad/d;根据轨道高度，算出轨道周期t=2-产-

18、1/2= 6052s,从而可以推知no次回归系数，等于n/k。四、分析地球扁率、大气阻力、日/月引力对航天器轨道的影响。【周军p39 41】五、什么是霍曼转移，有什么特点？参见讲义p61。六、平面外轨道转移有几种方式？比较各种方式的优劣。参见讲义p64。第六章作 业一 、简述双锥相交法定姿的原理。【章仁为】 p191在自旋卫星的姿态确定中， 能否仅根据太阳角和天底角唯一确定自旋姿态？为什么？不能。 根据双锥相交法定姿的原理， 仅根据太阳角和天底角的测量信息， 可 以得到两个姿态的解。为唯一确定自旋姿态，必须引入附加测量信息。三、 在三轴稳定卫星的姿态测量中， 能否用红外地球敏感器测量出星体的偏航姿态？为什么？不能。 因为地球是球对称的， 对于红外地球敏感而言， 卫星绕地垂线的转动（偏航运动）是不可观的。四 、 证明航天器的自旋稳定原理， 分析航天器绕最小惯量轴旋转不稳定的原因？【周军p80】五 、从动力学方程出发，分析证明章动的运动特性和形式。【周军 p82】六 、主动章动阻尼和被动章动阻尼的区别是什么？两者皆可阻尼航天器的章动，不同之处在于：1、被动章动阻尼不消耗电能和燃料，简单易行，而主动章动阻尼则需要消耗电能和燃料，还需要配置敏感器测量章动，比较复杂；2、被动章动阻尼只能应用于绕最大惯量轴自旋的卫星，而主动章动阻尼还可应