量子力学教程第三讲精编版

1、 Wave function and The Schrdinger equation 2 1.掌握微观粒子运动的动力学方程波函数随时间 演化的规律 Schrdinger方程。 2.掌握定态及其性质。 学 习 内 容学 习 内 容 重点 重点难点 Wave function and The Schrdinger equation 3 2 23 3 薛定谔方程（薛定谔方程（S.ES.E） 2-32-3薛定谔方程薛定谔方程 经典力学经典力学: : 量子力学量子力学: : 知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态 描述经典粒子状态用坐标与动量描述经典粒子

2、状态用坐标与动量 2 2 d r mF, r r(t) dt 遵从牛顿定律遵从牛顿定律 知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态 描述微观粒子状态用波函数描述微观粒子状态用波函数 遵从什么定律？遵从什么定律？ 薛定谔方程薛定谔方程 对经典粒子的描述是决定性结果对经典粒子的描述是决定性结果 对微观粒子的描述是统计性结果对微观粒子的描述是统计性结果 Wave function and The Schrdinger equation 4 一、建立薛定谔方程的两个条件一、建立薛定谔方程的两个条件 建立的薛定谔方程就是描述波函数随时间的变化方程建立的薛定谔

3、方程就是描述波函数随时间的变化方程 1.1.方程应是线性微分方程方程应是线性微分方程 这是态迭加原理的要求。按照该原理，若这是态迭加原理的要求。按照该原理，若1， ， 1方程的解，那么方程的解，那么1 1+b+b2 2也应该是方程的解。也应该是方程的解。 这是一种线性迭加，只有线性方程才能满足该方这是一种线性迭加，只有线性方程才能满足该方 程。所以要求方程是线性方程程。所以要求方程是线性方程。 2.2.这个方程的系数不应包括状态参量（如动量、这个方程的系数不应包括状态参量（如动量、 能量）能量） 因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被 粒子的部

4、分状态所满足，而不能被所有状态所满足粒子的部分状态所满足，而不能被所有状态所满足。 Wave function and The Schrdinger equation 5 二、薛定谔方程的建立二、薛定谔方程的建立 （这里用了建立，而不用推导。（这里用了建立，而不用推导。Why?Why?参赵敏光参赵敏光 配位场理论配位场理论P P4 4） 1 1方法方法： 先建立自由粒子方程，然后推广到一般情况先建立自由粒子方程，然后推广到一般情况 2 2建立自由粒子薛定谔方程建立自由粒子薛定谔方程 自由粒子的波函数是自由粒子的波函数是 )( ),( Etrp i Aetr 它应是所要建立的方程的解它应是所要建

5、立的方程的解, ,因此：对时间求导因此：对时间求导 Wave function and The Schrdinger equation 6 这不是我们要求的方程，虽是线性的，但这不是我们要求的方程，虽是线性的，但 方程中含有状态参量（能量）。方程中含有状态参量（能量）。 E i t i (P r Et) x Ap i e x ( ( 对对求求一一阶阶偏偏导导） xyz (p rP xp yp z) x p x 22 22 ( (1 1 ) ) Wave function and The Schrdinger equation 7 y p y 2 2 22 ( (2 2 ) ) 同理同理 z p

6、 z 22 22 ( (3 3 ) ) (1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)，得，得 2 2 2 2 2 2 2 2 p zyx p 2 2 2 ( (4 4) ) （仍含参量（仍含参量P P2 2） xyz ( ( 222 2 222 拉拉普普拉拉斯斯算算符符） Wave function and The Schrdinger equation 8 p E 2 2 对对自自由由粒粒子子： EE ( (5 5) ) 2 22 2 2 2 由由( (4 4) )得得： i Ei tt (6) (6) 由由得得：E E 由由(5)(5)和和(6)(6)式得：式得： i t 2 2 2 该方

7、程即自由粒子的薛定谔方程该方程即自由粒子的薛定谔方程 Wave function and The Schrdinger equation 9 Wave function and The Schrdinger equation 10 Wave function and The Schrdinger equation 11 Wave function and The Schrdinger equation 12 Wave function and The Schrdinger equation 13 t iE p2 22 p p( i) ( i) 由此可以看出由此可以看出 t iE ip Ei t

8、 ( ( 能能 量量 算算 符符 ） pi ( ( 动动 量量 算算 符符 ） ik yz ( ( 劈劈形形算算符符） 动量算符动量算符能量算符能量算符坐标算符坐标算符 x x坐坐标标算算符符 注注: :这是坐标表象中这是坐标表象中 表示表示 三个基本算符三个基本算符 Wave function and The Schrdinger equation 14 Wave function and The Schrdinger equation 15 .U(r)3 力力场场中中单单粒粒子子的的薛薛定定谔谔方方程程 p EEEU(r) 2 2 动动势势 体体系系的的经经典典能能量量： (r,t) 上上

9、式式两两边边同同乘乘波波函函数数 p E (r,t)U(r) 2 2 ii t 用用代代替替；p p用用算算符符代代替替 iU(r) t 2 2 2 得得： 上式即单粒子的薛定谔方程上式即单粒子的薛定谔方程 （薛定谔薛定谔19261926年建立）年建立） Wave function and The Schrdinger equation 16 N NiN i i i(r ,rr ,t)U(r ,rr ,t) t 2 2 1212 1 2 单粒子方程可以推广到多粒子体系：单粒子方程可以推广到多粒子体系： 即多粒子体系的薛定谔方程：即多粒子体系的薛定谔方程： 薛定谔是方程是量子力学的基本方程（薛定

10、谔是方程是量子力学的基本方程（基本基本 假设假设），我们上面用了），我们上面用了“建立建立”二字，是建立二字，是建立 方程，不是用基本假设方程，不是用基本假设推导推导方程。方程。 薛氏方程的正确性由实验验证。薛氏方程的正确性由实验验证。 它在量子力学中的地位相当牛顿定律在经典它在量子力学中的地位相当牛顿定律在经典 力学中的地位。力学中的地位。(h(h进入方程，进入方程，) ) Discussion： Wave function and The Schrdinger equation 17 小 结小 结 注 意注 意 （1 1）SchrSchrdingerdinger作为一个作为一个基本假设基本

11、假设提出来，它提出来，它 的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而 得到证实得到证实。 （2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相对论量子力学中的方程在非相对论量子力学中的 地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。 Wave function and The Schrdinger equation 18 2-4 几率流密度和几率守恒定律几率流密度和几率守恒定律 一、粒子在空间出现的几率随一、粒子在空间出现的几率随t的变化规律的变化规律 (r,t) 设设是是归归一一化化的的，则则粒粒子子在在空空

12、间间 某某点点出出现现的的几几率率密密度度为为：（学学生生回回答答） * (r,t)(r,t)(r,t) 由薛氏方程由薛氏方程 * * ttt ( (1 1) ) i U(r) ti 2 1 2 ( (2 2) ) 得得到到： iU(r) t 2 2 2 Wave function and The Schrdinger equation 19 *i ( )*U(r)* t ( (3 3) ) 2 1 2 22 式式的的复复共共轭轭为为： 将（将（2)(3)2)(3)代入代入(1)(1)式式, , 得得 i U(r) ti 2 1 2 ( (2 2) ) * * ttt ( (1 1) ) Wa

13、ve function and The Schrdinger equation 20 i (*) t 22 2 i (*) 22 2 i ( *) 2 i J(*) 2 ：令令得得： J t 0 ( (4 4) ) 这个方程具有这个方程具有连续性方程连续性方程形式，即形式，即几率密度几率密度随随t t的变的变 化规律。它与流体力学中连续性方程形式一样。这个化规律。它与流体力学中连续性方程形式一样。这个 方程也叫方程也叫几率守恒定律几率守恒定律的微分形式。的微分形式。 Wave function and The Schrdinger equation 21 J 二二、 的的物物理理意意义义 将将

14、(4)(4)式在任一空间体积式在任一空间体积V V积分积分 v ddJd tt 由矢量分析中高斯定理由矢量分析中高斯定理 n vss JdJ dsJ ds n vs dJ ds t ( (5 5) ) v d t 表示空间中找到粒子的几率随时间的变化表示空间中找到粒子的几率随时间的变化 s nds J 表示单位时间内通过封闭曲面表示单位时间内通过封闭曲面S S而流入而流入V V的几率的几率 J n Wave function and The Schrdinger equation 22 n ss ( )J dsJ ds t 5 式式 可可 以以 表表 示示 为为 ： dq J ds. J dt

15、 对对比比：电电流流密密度度 （可与电流密度比较，电磁学（可与电流密度比较，电磁学P P180 180，梁灿彬著） ，梁灿彬著） J 因因此此， 叫叫几几率率流流密密度度 s J ds t 的的几几率率守守恒恒定定分分式式律律积积形形为为： i J(*) 2 几几密密 ：率率流流 度度 注：若波函数是实数，则几率流密度为零。注：若波函数是实数，则几率流密度为零。 Wave function and The Schrdinger equation 23 结论结论：单位时间内：单位时间内V V中增加几率应等于从体积中增加几率应等于从体积V V外穿过外穿过V V的的 边界面流进边界面流进V V的几率

16、，所以上式也叫实域几率守恒方程的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程 若在无限远处波函数若在无限远处波函数为零，则将为零，则将V V扩大到整空间区域时扩大到整空间区域时 s J ds t 的的几几 率率 守守 恒恒 定定 律律积积 分分 形形 式式 为为 ： n S Jds 0 d*d ttt 0 结论：结论：整个空间找到粒子的几率与时间无关整个空间找到粒子的几率与时间无关 。 表明粒子的总几率不表明粒子的总几率不 变变, ,即几率守恒。即几率守恒。 Wave function and The Schrdinger equation 24 三、质量守恒与电荷守恒定律三、质量守恒与电荷守恒定律 1

17、 1质量守恒定律质量守恒定律 (r,t) 2 = =叫叫质质量量密密度度 J t 0 质质的的量量守守恒恒定定律律微微分分形形式式 J t - - 0 几几率率密密度度 J t 0 = = 叫叫质质量量流流密密度度 量子力学的量子力学的质量质量守恒定律守恒定律。 Wave function and The Schrdinger equation 25 电荷守恒定律电荷守恒定律 e e(r,t) 2 = =e e叫叫电电荷荷密密度度 e e J t 0 电电荷荷守守恒恒定定律律的的微微分分形形式式 J t - - 0 几几率率密密度度 e eJ t 0 e = =e e叫叫电电荷荷流流密密度度

18、量子力学的量子力学的电荷电荷守恒定律守恒定律。 Wave function and The Schrdinger equation 26 四波函数的标准化条件（自然条件）四波函数的标准化条件（自然条件） 1 1有限性有限性 2 2单值性单值性 原因原因：时刻在点时刻在点(x,y,z)(x,y,z)找到粒子的几率密度应是唯一的找到粒子的几率密度应是唯一的 3 3连续性连续性 原因原因：描述粒子运动规律的方程是薛氏方程，它是一个偏描述粒子运动规律的方程是薛氏方程，它是一个偏 微分方程，这就要求微分方程，这就要求 (x,t)(x,t)的偏微商要存在，而偏微商的偏微商要存在，而偏微商 存在的条件就要求

19、存在的条件就要求 (x,t)(x,t)连续。在具体解决问题中就要连续。在具体解决问题中就要 求波函数在区域的分界点的值相等，有时候还要求在分界求波函数在区域的分界点的值相等，有时候还要求在分界 点的一阶导数相等。点的一阶导数相等。 (r,t) 2 ：表表示示时时刻刻在在点点找找到到粒粒子子的的几几。原原因因率率密密度度 Wave function and The Schrdinger equation 27 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 ),(),( 2 ),( 2 2 trtrU t tr i （1） 2 2 1 ( ) 2 i df U rE f dt （2） ( , )(

20、 ) ( )r tr f t 若若 与与 无关，则可以分离变量无关，则可以分离变量，令令)(rU t (2)代入代入(1) 式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到 ( ) ( )r f t )()()( 2 2 2 rErrU （3） 等式两边是相互无等式两边是相互无 关的物理量，故应关的物理量，故应 等于与等于与 无关的无关的 常数常数 r t、 ( ) df iEf t dt （4） Wave function and The Schrdinger equation 28 ( ) i Et f tCe （5） ( , )( ) i Et r tr e （6） (5)代入代入(2) 式，得到

21、式，得到 /E令令=Ede Broglie能量式 可见分离变量中引入的常数可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当为粒子的能量，当 粒子处在由波函数粒子处在由波函数（6 6）所描述的状态时，粒子的能所描述的状态时，粒子的能 量量 有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的 波函数波函数（6 6）称为称为定态波函数。定态波函数。 E E 定态波函数定态波函数 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续1 1） 2 2定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程 当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间当粒子处在定态中时，具有确定的能量

22、，其空间 波函数波函数 由方程（由方程（3 3），即由），即由)(r Wave function and The Schrdinger equation 29 在给定的定解条件下求出，方程（在给定的定解条件下求出，方程（7 7）称为）称为定态定态 SchrSchrdingerdinger方程。方程。 )()()( 2 2 2 rErrU （7 7） 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续2 2） 3.Hamilton3.Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 ( , ) ( , ) r t iEr t t （8） 2 2 ( )( , )( , ) 2 U rr

23、tEr t （9） 这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数 上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符 ),(tr 3( )f t 4( )r Wave function and The Schrdinger equation 30 （10） t i 均称为均称为能量算符能量算符 （11） 2 2 ( ) 2 U r 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续3 3） )( 2 2 2 rUH 利用哈密顿算符利用哈密顿算符(能量算符能量算符) 可将方程可将方程(9)和定态和定态SchrSchrdinge

24、rdinger方程方程(7)和和分别分别写成写成 ),(),( trEtrH （12） （13） )()( rErH 和和 两式均称为两式均称为哈密顿哈密顿 算符算符(能量算符能量算符)的的 本征方程本征方程 的的本征函数本征函数H 能量能量本征值本征值 为为本征波函数本征波函数 ),( tr Wave function and The Schrdinger equation 31 当体系处在能量本征波函数所描写的状态当体系处在能量本征波函数所描写的状态( (又称又称本本 征态征态) )中时，粒子的能量有确定的值。中时，粒子的能量有确定的值。 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定

25、态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 及这些态中的能量及这些态中的能量 ；解能量算符本征方程（解能量算符本征方程（1212）求）求 定态波函数的问题又归结为解定态定态波函数的问题又归结为解定态SchrSchrdingerdinger方程方程+ 定解条件构成的本征值问题定解条件构成的本征值问题: : E 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续5 5） 2 2 ( )( )( ) 2 U rrEr 定解条件定解条件 本征能量值谱：本征能量值谱： 12, , n EEE 12 ( ),( ),( ), n rrr 本征函数系：本征函数系： 本征波函数本征波函数 , n i Et nn

26、r tr e 任意状态任意状态 ( , ), n i E t nnnn nn r tCr tCr e Wave function and The Schrdinger equation 32 4.4.求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤 ( , )( )e n i E t nnn r tCr 1| )(| 2 drC nn )()( 2 2 2 rErV （1 1）列出定态）列出定态SchrodingerSchrodinger方程方程 （2 2）根据波函数三个）根据波函数三个 标准条件求解能标准条件求解能 量量 的本征值问的本征值问 题，得题，得： E 12 12 , , n n EEE ， 本征函数本征函数 本征能量本征能量 2.5 2.