人教版高数必修四第8讲：平面向量数量积(学生版)

1、平面向量的基本概念与线性运算51掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示2平面向量数量积的应用.、平面向量数量积的物理背景及定义：以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义?力做的功：W = | F| |s|cos是F与s的夹角ra , OB = b，则/AOB=e （ow 6式）叫a与b的夹角.1、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量：与b ,作OA =说明：(i)当e = o时，a与b同向；r r(2)当e =n时，a与b反向；r rr r(3)当e = 时，a与b垂直，记a b ；2(4)

2、注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 & 1802、平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是e,则数量 a ii b icos叫a与b的数量积，记作a b, 即有a b = | a | b |cos , ( 0 w e w汽).并规定0与任何向量的数量积为0.3、两个向量的数量积的性质：r rr r设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. r rrrr ea =ae=|a|cosr rr r a ba b = 0r rr2r.-f-f a a = |a| 之或 |a |Jagpr r cos = /gr|a|b| a b & a ii bi 、

3、向量数量积满足的运算率：r r r r aa bga ；r r r r r r r(a b)gc agc bgc；r r r r r r(agb) ( a)gb ag( b)二、向量数量积的坐标运算1 .已知两个向量 a (x1,y1), b (x2, y2),则 a b _=，2 .设 a (x, y),贝U | a| .3 .平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(xi,y1)、(x2,y2),那么 |a | .4 .向量垂直的判定 两个非零向量a (x1,y1), b (x2,y2),则a b 5 .两向量夹角的余弦cos =|a| |b|6.向量在轴上的

4、正射影: 作图定义：| b |cos叫做向量b在a所在轴上的正射影.正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当 为钝角时正射影为负值；当 为直rI b| ；当=180时正射影为rI b I.角时正射影为0;当=0时正射影为类型一、平面向量数量积的运算：例题1已知下列命题：r rrrrrrr a (a) 0 ；(a b) c a (b c)；其中正确命题序号是 .r r r r ur r r (a*)3 agbgc);(ar r r r r rb)B agc bgcr例题2 已知arr r r2, b 5,若(1)a|b; (2) ar r rr rb;(3) a与b的夹角为300

5、,分别求a*.r00 r00. r r练习：已知 a (cos 23 ,cos 67 ), b (cos68 ,cos 22 )，求 a*类型二、夹角问题:例题3r r(2005年北京)若a 1, br r r r2,c a b,且 ca,则向量a与向量b的夹角为A. 300B. 600 C. 1200D. 1500r练习：1、已知a2, b 3, a b二 rr ,一，求向量a与向量b的夹角.2、r已知arr r r(1, 2),b (4, 2),a与(a b)夹角为，则 cosr r3、已知a, b是两个非零向量，同时满足r r r r ra b,求a与a b的夹角.类型三、向量模的问题:

6、r r例题4已知向量a,b满足r 6,br rr r r r4，且a与b的夹角为600，求a b和a 3b练习：1r(2005年湖北)已知向量ar(2,2),br r(5,k),若a b不超过5,则k的取值范围2、A. 4,6B. 6,4C. 6,2D. 2,6r r0 r(2006年福建)已知a与b的夹角为120 , ar3,aB. 4C. 3D. 17类型四、平面向量数量积的综合应用:rr例题5 (2006年全国卷)已知向量a (sin ,1),b (1,cos ),rrrr(1)若ab,求 ；(2)求ab的最大值.例题6已知向量(cosr,sin ),br r(cos ,sin)，且 a

7、,b满足r kar r rb.3 a kb ,kr(1)求证(ab) (a b);r r(2)将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)；11r r(3)求函数f (k)的最小值及取得最小值时向量a与向量b的夹角、选择题1 .若 a c= bc(cw0),则()A . a= bB. awbC. |a|=|b|D. a在c方向上的正射影的数量与 b在c方向上的正射影的数量必相等2.若回=4, |b|=3, ab=6,则a与b的夹角等于()A. 150B, 120D. 30C. 603.若间=4, |b|=2, a和b的夹角为30,则a在b方向上的投影为（）A.2B.33C.2mD.44. |m|

8、=2, mn=8, = 60,贝U|n|=（）A.5B.6C.7D.85.向量a的模为10,它与x轴的夹角为150,则它在x轴上的投影为（）A .-5V3B.5C. - 5D. 5/36.若向量a、b满足|a|=1, |b|=2, a与b的夹角为60,则bb+ab等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题7 .已知向量a和向量b的夹角为30, |a|=2, |b|=V3,则向量a和向量b的数量积a b=8 .若回=6, |b|=4, a与b的夹角为135,则a在b方向上的投影为 .三、解答题9 .已知正六边形 PlP2P3P4P5P6的边长为2,求下列向量的数量积. P1P2P1P3；

9、（ E .（2） P1P2 P1P4 ；葭河 .V/ P1 P2 P1 P5 ；i（4） P1P2 P1P6.、选择题基础巩固1 .已知 a= (2,1)、b=(1, -2),则向量a与b的夹角为（）兀A-6兀D. 22.已知点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,5),则 A BA C 等于(A. 1B. 0C. 1D. 23.已知 A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为的形状为()A(1,2)、B(4,1)、C(0, 1),则 ABCA .直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确4.已知a= (3,2), b=(1,0),向量 启+b与a2b垂直，则实数 入的值为()

10、B.C. - 1D. 1665. 已知向量 a=(2,1), a b=10, |a+b|= 5 寸2,则 |b|=(A .mB.屈C. 5D. 256. (2014 重庆理,4)已知向量 a=(k,3)、b=(1,4)、c= (2,1),且(2a3b)，c,则实数 k=(.9A . 2B .0c-15C.3D.二、填空题7. (2014安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a=( 4,3)、b=(-3,4), b在a方向上的投影是8 .设向量 a = (1,2m), b=(m + 1,1), c= (2, m),若(a+c)，b,贝U |a|=三、解答题9 .已知A(2,3)、B(5,1)

11、、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形 ABCD的形状.能力提升一、选择题1 .(2014山东文，7)已知向量a=(1,屹)、b=(3, m),若向量a、b的夹角为则实数m =()A . 273B.仍C. 0D. - V32 .已知m = (1,0)、n=(1,1),且m+kn恰好与m垂直，则实数 k的值为()A. 1B. 1C. 1 或一1D.以上都不对3.若向量a=(1,2)、b=(1, 1),则2a+b与a b的夹角等于()兀B6C.4.已知a= (2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是()2 j552.55B._2_J5C.55D.岁,J5T二、填空题5. (2014湖北理,6. (2014四川文, 与b的夹角，则m=11)设向量 a=(3,3)、b=(1, 1),若(a+ ?b)(a- b),则实数 入=14)平面向量 a=(1,2)、b= (4,2) c= ma+b(mCR),且 c 与 a 的夹角