数学高考专题复习三角函数与平面向量

1、三角函数与平面向量一：专题复习指导：此内容历来为高考命题的热点，分值约占15。试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习。又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。二：复习的目标和要求：1理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。2掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义，了解余切，正割，余割的定义。3熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三

2、角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题4熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化5掌握正弦定理，余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。6熟练掌握平面向量的概念，加法运算，减法运算，数量积运算。三：专题教学安排本专题分3课时完成：第一课时三角函数化解计算与证明；第二课时

3、三角函数图象与性质；第三课时解三角形与三角综合。四：主要内容与方法技巧：1三角函数式的化简和求值是高考考查的重要内容之一。求值类型：（1）给角求值，（2）给值求角，（3）给式求值，（4）求函数式的最值或值域，（5）化简求值。2函数的图象及简单性质，以及这类函数解析式的求解方法。3利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。4解三角形是三角函数知识的综合应用。须理解有关名词和术语：坡度，俯角，仰角，方向角，方位角。对一些简单问题，直接应用三角函数概念或三角知识即可解决；而对一些比较复杂的应用问题，需综合代数，

4、立体几何，解析几何的知识。5方法技巧：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（5）求最值问题，常用配方法，换元法解决。（6）证明不等式的方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法五：例题分析例1已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； （2） .说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例2

5、 (1)若； （2）若解：(1) 22得,即.(2), , 例3求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，当时，所以，函数的值域为。例4已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解： (1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。例5 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1 （xr）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xr)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解

6、：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2k,（kz），即 x=+k,（kz）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kz（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函

7、数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。说明：本题属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx0时，y=+1=+1化简得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxr，=38(y1)(2y3) 0,解之得：yymax=，此时对应自变量x的值集为x|x=k+,kz例

8、6已知函数 （）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （）如果abc的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解： （）由=0即即对称中心的横坐标为（）由已知b2=ac 即的值域为.综上所述， ， 值域为 . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例7在中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面积。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以。(2)在

9、中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。例8已知向量，且，(1)求函数的表达式；(2)若，求的最大值与最小值。解：(1)，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)导数00+极大值递减极小值递增而所以。例9平面直角坐标系有点(1)求向量和的夹角的余弦用表示的函数；(2)求的最值.解：（1）， 即 （2） ， 又 ， ， ， .说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。六同步练习：（一）选择题：1对任意的锐角、，下列不等关系正确的是（ ） a b c d2若，则等于（ ） a b c d3若，则（ ） a b c d4在abc中

10、，已知，那么abc一定是（ ） a直角三角形 b等腰三角形 c等腰直角三角形 d正三角形5函数的最小正周期是（ ） a b c d26已知向量，向量，则的最大值、最小值分别是（ ） a b4， c16，0 d4，07要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） a横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 b横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 c横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 d横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度8函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） a b c d9函数的一个

11、单调增区间是（） 10已知函数，则下列命题正确的是（ ）af(x)是周期为1的奇函数 bf(x)是周期为2的偶函数cf(x)是周期为1的非奇非偶函数 df(x)是周期为2的非奇非偶函数 11已知tan和tan是方程x2pxq0的两根，则p、q间的关系是（ ）apq1 bpq10 cpq10 dpq1012的值域是（ ）a b c d二填空题：13已知则 。14 15在 16下面有五个命题函数的最小正周期是终边在轴上的角的集合是在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点把函数的图象向右平移得到的图象函数在上是减函数其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）三解答题：17已知函数（1）

12、要得到yf(x)的图象，只需把yg(x)的图象经过怎样的平移或伸缩变换？（2）求的最大值及相应的x。（3）h(x)的单调递增区间。（4）h(x)的周期及对称轴及对称中心。（5）画出h(x)一个周期的图像（任一周期）。18在分别是角的对边,且(1)求角的度数(2)若.课后检测：1，且，则（ ） a b c d2函数的最大值为（ ） a1 b c d2 a1 b2 c3 d43已知函数f(x)sin在0，上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数的一 个值可以是（ ） a b c d4若，则（ ）a b c d5已知函数(a、b为常数，a0，xr)在x处取得最小值，则函数是（ ）a偶函数且它的图象

13、关于点（，0）对称b偶函数且它的图象关于点（，0）对称c奇函数且它的图象关于点（，0）对称d奇函数且它的图象关于点（，0）对称6由函数与函数y2形成的封闭图形的面积是（ ） a2 bsinx c1 d47若，且、都是锐角，则等于（ ） a b c d8若方程内有解，则a的取值范围是（ ）a1a1 b1a1 c1a0 da9abc中，a、b、c分别为a、b、c的对边，如果a、b、c成等差数列，b=300，abc 的面积为，那么b等于（ ） a b c d10若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ ）abc d110是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三点，动点p满足，则点p的轨迹一定通

14、过abc的（ ）a外心 b内心 c重心 d垂心12设a、b、c是任意的非零平面向量且相互不共线，则 不与垂直 中是真命题的有（ ）a b c d二填空题：13若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量 14函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点,则的取值范围为 .15已知在 16关于函数有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）f(x)是奇函数 当x2003时，f(x)恒成立f(x)的最大值为 f(x)的最小值是a1 b2 c3 d4三解答题：17：设函数（其中0，ar），且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为（1）求的值。（2）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。18已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的最小值及此时的值；(3)(理)若当时, 的反函数为,求的值；求的单调递增区间.课后教学反思:在二轮专题复习中,我们几个教师自己总结知识点,参考近几年的高考题出例题、练习题、强化题、测试题.通过这次复习,我取道了不少经验,又一次加深了对教材和学生的认识.总结如下;一. 成功之处:1. 在教学中注重因材施教,采取分层教学,一是对知识分层,属于基础的只做练习,属于中档题的有难度的教师讲解.二是对学生的分层,分为基础较好的和较差的，分层做不同的练习题，这样做增强