必修4第2章平面向量典型例题及练习

1、华航教育一对一课外辅导第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念【知识点归纳】1 .平面向量的概念:2 .向量的表示：（常见的2个向量）3 .相等向量与共线向量:【典型例题】题型一向量的基本概念例1.给出下列命题：向量ab与cd是共线向量，则a、b、c、d四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量；若a=b, b=c,则a=c；若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定；若同=21_则2=15。 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线其中正确命题的个数是（）a . 1个b . 2个c. 3个d . 4个例2下列命题正确的有 a与b共线，b与c共线，则a与c也共线任意两个相等的非零向量的始点与

2、终点是一平行四边形的四顶点向量a与b不共线，则a与b都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的表示例3.一辆汽车从a点出发向西行驶了100km到达b点，然后又改变方向，向西偏北45。走了 200km到达c点，最后又改变方向，向东行驶了 100km到达d点.（1）作出向薪玄;既）求ad,题型三 相等向量与共线向量例4如图，设o是正六边形ab*def的中 心,分别题型四利用向量解决多点共线的问题例5.如图，四边形abcd中,p,q是ad, bc上的点，且bp = qd,求证：ap =qc写出图中与向量oa, ob, oc相等的向量，共线的向量。综合练习:下列命题中，正确的是（）若|a|

3、=|b|,贝u a= b b.若a=0则a与b是平行向量c.若|a|b|则abd.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量2下列说法中错误.的是（）a.零向量是没有方向的b零向量的长度为0c.零向量与任一向量平行d.零向量的方向是任意的3把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是4. 已知非零向量a/ b,若 非零向量c / a,贝ij c与b关系是.5已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定6.判定下列命题的正误：零向量是惟一没有方向的向量。（）平面内的单位向量只有一个。（）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量

4、。（） 向量a与b是共线向量，b/c,则a与c是方向相同的向量。（）相等的向量一定是共线向量。（）7.下列四个命题中，正确命题的个数是 共线向量是在同一条直线上的向量若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 若四边形abcd是平行四边形，贝ijab与cd, bc与ad分别共线2.2平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法2.2.2 向量的减法2.2.3 向量的数乘【知识点归纳】1.向量的加法：2向量加法的平行四边形法则:3 .向量的加法的运算率:4 .向量的减法:5 .向量减法的平行四边形法 则：第9页共17页6.向量数乘的概念:7向量的数乘的性质:8

5、.向量共线的条件:9.向量的线性运算10.向量证明三点共线:三角形的中线与重心公式:【典型例题】题型一向量的加减法例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为。的是()aab bc cab.oaoc bo coc. ab -acd.nq qp mn-mp例2 .如图所示，f分别是 abc的边ab、bc、ca的中点,则 af -db =()a. fd b. fc题型二向量的作图c. fe d. be例3已知在矩形abcd中，宽为2,长为2、. 3,ab = a,b,c,试作出向量a+b+c,并求出其模的大小题型二用已知向量表示未知向量变式：设e、f分别为 / abc的边bc、ca、ab的中点，且b

6、c二a, ca=b,给出下列命题:例5.如图所示，oadb是以向量oa = a, ob =b为边的平行四边形，又 bm=bc, cn=、cd.试用 a, b 袤示 om, on, mn . 3 3 ab=- t a- b 1 1 1 - 一cf二0其中正确的命题个数为(2) be= a+ 2 b cf = - 2 a + ? b ad + be+)a.1b.2c.3d.4题型四向量的加减法综合运用例6.设两个非零向量ei、不是平行向量(1)如果 ab=a+e2, bc=2a+8e2, cd=3(e-e2),求证 a、b、d 三点共线;(2) 试确定实数k的值，使k + e,和e + k是两个平

7、行向量.例7.已知0是ii abcd的对角线ac与bd的交点，若ab = a, bc = b, od =c，试证 明：c+ a-b=ob .综合练习：1下列命题止确的有单位向量都相等长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量若a, b满足|a|b|且a与b同向，贝u ab对于任意向量a、b,必旬a+b|毛|b|2 .以下四个命题中不正确的有若a为任意非零向量，则a/ 0 | a+b|=|a|+|b|a=b,则|a|=|b|,反之不成立任一非零向量的方向都是惟一的3 .已知| ab 6,| ac 4,则|bc他勺取值范围为4 .设(ab+cd) + ( bc + da ) =a,b丸，则在下列

8、结论中，d正确的有 a / b ； (2) a + b= a； a + b = b； | a + b | v| a | + btttr5 .化简 ab bc cd da -6 .如图，在四边形abcd中，根据图示填空:华航教育一对一课外辅导a + b=,b+c= 5c-d=,a + b+ c- d=第13页共17页2.3平面向量2.3.1平面向量基本定理【知识点归纳】1 平面向量的基本定理：2向量的夹角:【典型例题】题型一基底的判定例1.设e2是同一平面内的两个向量，则有（）a. e、一定平行b. a、e2的模相等c.同一平面内的任一向量a都有a =沦什 底（入p r）d.若8、e?不共线，则

9、同一平面内的任一向量 a都有 a =泊 i+ue2 （入 u r）题型二用基底表示向量例2.已知a=e+3e2, b= 4ei+2e?,其中ei, e?不共线，向量c=-3e+12e?,用试用a, b作为基底来表示c题型三向量的夹角例3.已知两个非零向量a, b的夹角为80。，求下列向量的夹角：（1） a 与上（2） 2a 与 3b练习：1 .已知向量a = ei-2e2, b =2+e2,其中6、e不共线，则a+b与c =6-2e2的关系a.不共线b.共线c.相等d.无法确定2 .已知向量8、es不共线，实数x、y满足（3x-4y） e什（2x-3y） e2=6ei+3e2,贝u xy的值等

10、于（a.3b.-3c.od.23 .已知a、b不共线，且c =入a+ &b （ d济r）,若c与b共线，贝丫入=232平面向量的正交分解及坐标表示233平面向量的坐标运算2.3.4平面向量的共线的坐标表示【知识点归纳】1平面向量的正交分解：2平面向量的坐标表示:3 .平面向量的坐标运算:4 .平面向量共线的表示:5 .三点共线:华航教育一对一课外辅导【典型例题】题型一求向量的坐标例 1.已知点 a (2, 2) b (-2, 2) c (4, 6) d (-5, 6)e (-2, -2) f (-5, -6)在平面直角坐标系中，分别作出向量 ac bd ef并求向量ac bd ef的坐标。i4

11、+4b的坐标.题型二平面向量的坐标运算 iiiiii444 4444例 2 已知 a =(2, 1) , b = (-3, 4),求 a + b, a-b, 3a例3已知平面上三点的坐标分别为a (2,1),坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.b ( 1,3) , c (3,4),求点 d 的例4已知三个力r (3,4),f2 (2, -5), fa (x, y)的合力 r + f2 + fs= 0,求 f3 的坐标.练习:1.若 m(3 ,-2)n(-5,1)且mp mn ,求p 点的坐标 22 .若 a(0,1), b(1 ,2),c(3, 4),则ab -2 bc =.3、下列各组向量中

12、，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是(d4ha. a =(0,0), b =(1,-2)b. a = (-1,2),b=(5,7)第27页共17c. a = (3,5) b =(6,10)d. a = (2, -3)b = (4, -6)d. (6,-8)4.已知 a=(3,2), b=(0,-1),贝 ij-2a-4b 等于(a. (_6,_8)b. (- 3, - 6 )5.已知平面向量a=b则2a - 3b等于a. (-2-4)46.已知 a =(2,3),a. 14八(12),b. -1b.(-3,- 6)4444c .(-5,-10)(-4,-8)7已知(5,2),若kab与a

13、 - kb平行，则k等于(d.2h4a乙(7,2),则4a+3b的坐标为8 .已知 a =(2, -4),八(-1,3),(6,5),p = a, 2b-c,则以a . b为基底，求4p-题型三向量共线的证明及判定例5.已知a (-1,-1) , b (1, 3),c (1, 5) , d (2, 7),向量ab与cd平行吗？直线ab与平行于直线cd吗?题型四向量共线求参数科例 6 已知 a= (4,2) , b= (6, y),且 a/b,求 y .练习:1 .若向量a= (-1 , x)与6= (-x, 2)共线且方向相同，则x为.312 .设 a =(,sin) , b= (cos： ,

14、)，:(0,2 二)，且 a/b,求角：.23题型五三点共线例 2:已知 a(_1 ,_1), b(1,3) , c(2,5),求证 a、b、c 三点共线.例3：设点p是线段pf2上的一点， pi、p2的坐标分别是(xi, yi), (x2,2).(1)当点p是线段pip2的中点时，求点p的坐标；(2)当点p是线段p1p2的一个三等分点时，求点p的坐标.练习：1 若 3=(2, 3), b =(4,i+y),且 a 7 b,则 y=()a.6b.5c.7d.82若a(x, -1), b(1 , 3), c(2, 5)三点共线，贝ux的值为()a.-3b.-1c.1d.33若ab =i +2j,

15、 dc =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量 ).ab 与dc共线，则xjy的值可能分别为()a.1 , 2b.2, 2c.3, 2d.2 , 44 .已知 a=(4, 2), b =(6, y),且 a b,贝 yy=.5 .已知a=(1, 2), b=(x, 1),若a+2b与2a-b平行，贝vx的值为2.4平面向量的数量积241平面向量数量积的物理背景及含义【知识点归纳】1.平面向量的数量级的概念:2平面向量数量积的几何意义:3.向量数量积的性质:【典型例题】题型一平面向量数量积的基本概念例1.给出下列命题：右回=|b| ，则a=b或a=b

16、;|a b|=|a|b|b=oa=o或b=0;右a/b且b/c,贝ua/c。其中正确命题的个数是()a. 0 b . 1 c . 2 d . 3题型二求向量的投影和数量积例 2.已知 |a|=5, |b |=4, a 与 b 的夹角 9 =120,求 a b .练习：1.已知a=(1 f-2), b=(3, 4),贝u a在b方向上的投影是fcfc-2.已知| a |=3, | b |=6,当a/ b,a_lb,a与b的夹角是60时，分别求ab.题型三求向量的模例3.已知|a|=6, |b|=4, a与b的夹角为60。求(a+2b) (a3b)练习：1 .已知|a|=2, |b|=l, a与b

17、之间的夹角为,那么向量m=a-4b的模为7)3a.2b.2 . 3c.6d.12i_-4c-h48 f的夹角为6 若a-b与2 .已知 |a|=l, |b |=72,若 a b,求 a b ； (2)若 a、b0 o ,求 |a + b|；a垂直，求a与b的夹角.题型四向量垂直的判定例4.已知|a|=3, |b|=4,且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-k b互相垂直题型五求向量的夹角的余弦值例5.设m、n是两个单位向量，其夹角为6 0 ,求向量a =2m+n与b =2n-3m的夹角.2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点归纳】1 .平面向量的数量积的坐标表示2 .平面

18、向量的模的坐标表示3 .平面向量的夹角的坐标表示 （平行，垂直）【典型例题】题型一 向量数量积的坐标运算例1 .a=(5,7),b=b6,-4),求a与b的数量积为例2.已知|a|=2, |b|=1, a与b之间的夹角为 ，那么向量m=a-4 b的模为()3a.2b.2 .3c.6d.12题型二向量的夹角坐标运算例3.设a=(2,1),b=(1,3),求a- b及a与b的夹角例4.已知向量a=2,-1),b=(入，1)若a与b的夹角为钝角，则入取值范围是多少？题型三向量的垂直例5.已知|a|=1, |b|=2,且（ab）与a垂直，则a与b的夹角是（）a.60 b.30 c.135 d. 4 5例 6.已知，a =(1,2), 5(-3,2),当k为何值时，！|3与2313垂直?练习：1 .已知 a=(/,3), b=(5,6)则 3a -4a b=(a.23b.57c.63d.832 .已知a 3,4 ,b=5,12则a与b夹角的余弦为a.63 b. ,65 c. d.卫65