四川省绵阳市第一次诊断理科数学试题及答案

1、绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分cdadd bacbc二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分111213a2142 15三、解答题：本大题共6小题，共75分 16解 ：（1） mn， mn=(cos，1-sin)(-cos，sin)=0，即-cos2+sin-sin2=0 3分由sin2+cos2=1，解得sin=1， ，kz.6分（2） m-n=(2cos，1-2sin)， |m-n|=， 9分 5-4sin=3，即得， 12分17解：（1）由已知an+1=2an+，可得an+1+=2(an+) a

2、1=1，当a1+=0，即=-1时，an+=0，此时an+不是等比等列 3分当a1+0，即-1时，（常数）此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列， ，于是 6分（2）当=1时，an=2n-1， . 7分 ，两边同乘以，得两式相减得 ，12分18解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn则an =80+(n-1)a，bn=50+(n-1)10=40+10n. 2分 当a=10时，an=10n+70， ，解得：n8 5分即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元 6分（2）由题意：，即 ，8分整理得 (5+n)80+(n-1)a-(4+n)(80+na)0，即400+

3、5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a0，化简得80-5a0，解得a16，11分 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人12分19解：（1）在rtabc中，ac=abcos60=，. ， =9+23cos120=6.4分（2）在acd中，adc=180-a-dca=120-，由正弦定理可得，即. 5分在aec中，ace=+30，aec=180-60-(+30)=90-，由正弦定理可得：，即， 6分 ， 7分令f()=sin(120-)cos，060， f()=(sin120cos-cos120sin)cos，10分由060，知602+6018

4、0， 0sin(2+60)1， f()， ， 12分20解：（1），由题意得3ax2+bx+c0的解集为x|-2x1， a0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1于是，得b=3a，c=-6a. 2分 3ax2+bx+c0的解集为x|x1， f(x)在(-，-2)上是减函数，在-2，1上是增函数，在(1，+)上是减函数 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1.5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即 7分令， 列表如下：x(-，-2)-2(-2，1)1(1，+)+0-0+g(x

5、)极大值极小值 g(x)在-3，-2是增函数，在-2，0上是减函数11分又，g(-2)=10，g(0)=0，由题意，知直线y=m与曲线仅有一个交点，于是m=10或0mk变形得，整理得xlnx+x-kx+3k0，令g(x)=xlnx+x-kx+3k，则 x1， lnx0若k2时，恒成立，即g(x)在(1，+)上递增， 由g(1)0即1+2k0解得， 又 kz， k的最大值为2若k2时，由lnx+2-k0解得x，由lnx+2-k0，解得1x0(k2)恒成立，求k的最大值令h(x)=3x-，于是 当x2+ln3时，h(x)单调递减，当x2+ln3时，h(x)单调递增 h(x)在x=2+ln3处取得最大值 1ln32， 32+ln30，h(4)=12-e20，h(5)=15-e30，使(*)式成立，只需找到当x0时，函数h(x)= 的最小值h(x)min满足h(x)min0即可 ，令=0，得ex=，则x=-lna，取x0=-lna，在0xx0时，x0时，0， h(x)min=h(x0)=h(-lna)=，下面只需证明：在0a1时，0成立即可又令p(a)=，a(0，1)，则0，