运用根的判别式解题

1、运用根的判别式解题 根的判别式在求解一元二次方程的有关问题中占据重要的地位，现举例说明. 一、不解一元二次方程，判断根的情况 例1不解方程，判断下列方程的根的情况： （1） 2x2+3x=4 （2）ax2+bx=0（a0） 分析：将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算b2-4ac并与0进行比较. 解：（1） 2x2+3x-4=0， a=2， b=3， c=-4， 因为=b2-4ac=32-42（-4）=410. 所以方程有两个不相等的实数根. （2）因为a0， 所以方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， 因为=（-b）2-4a0=b2， 因为无论b

2、取任何实数，b2均为非负数， 所以0， 故方程有两个实数根. 小结：解决这类问题的关键是需要我们牢记一元二次根的判别式的三种情况，尤其要注意系数是字母的一元二次方程，当b2-4ac0，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 二、根据方程根的情况，确定待定字母系数的值或取值范围 例2已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根. （1）求n的取值范围； （2）若n 分析：（1）关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式=b2-4ac0.即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围. （2）利用配方法解方程，然后根据n的取值

3、范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值. 解：（1）因为关于x的方程x2-2x-2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=-2、常数项c=-2n， 所以=b2-4ac=4+8n0， 解得，n-12. （2）由原方程，得（x-1）2=2n+1，所以x=12n+1. 因为方程的两个实数根都是整数，且n 所以0 所以2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9， 解得，n=0，n=1.5或n=4. 小结：由于根的判别式是一元二次方程的系数联系的纽带，所以，涉及到一元二次方程（或二次三项式）中涉及到系数的问题时，可借助根的判别式来进行判定或者处理.方程有两个不相等的实数根，说明方程必为一元二

4、次方程，关键是考虑b2-4ac0，如果二次项的系数含有字母还要注意二次项系数不为零. 三、判断当字母的值为何值时二次三项是完全平方式 例3若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式，则k= . 解析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根.即=0.令16a2+ka+25=0，因为方程有两个相等的实数根，所以=k2-41625=0，所以k=40或者-40. 答案：40或者-40 小结：当=0时，二次三项式是一个完全平方式，把满足题目的所有条件列成一个方程求解. 四、判断二次三项式能否分解因式 例4已知 k为非正数，试判断二次三项式3x2-4x+2k在

5、实数范围内能否分解因式. 解析：假设二次三项式在实数范围内能分解因式，即3x2-4x+2k=3（x-x1）（x-x2），则方程3x2-4x+2k=0有两个实数根.有=（-4）2-432k0，解得 k23.因已知的k值在此范围内，所以已知式在实数范围内能分解因式. 五、一元二次方程根的判别式在证明或几何求解中的应用 例5已知关于x的方程x2-（k+1）x+（2k-2）=0. （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰abc的底边a=3，另两边b，c好是此方程的两根，求abc的周长. 分析：（1）计算方程的根的判别式，若=b2-4ac0，则证明方程总有实数根. （2）已知a=3，则

6、a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出abc的周长.注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验. 解：（1）证明：因为=b2-4ac=（k+1）2-4（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）20. 所以无论k取何值，方程总有实数根.（2）若a=3为底边，则c为底边，则b=c，则=0. 所以（k-3）2=0，解得：k=3. 此时原方程化为x2-4x+4=0 所以x1=x2=2，即b=c=2. 此时abc三边为3，2，2. 若a=b为腰，则c为底边，不妨设b=a=3 代入方程：32-3（k+1）+（2k-2）=0. 所以k=4. 则原方程化为x2-5x+6=0. （x-2）（

7、x-3）=0，所以x1=2，x2=3. 即b=3，c=2. 此时abc三边为3，3，2能构成三角形. 综上所述：abc三边为3，3，2.所以周长为8或7. 小结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac，是每年中考的必考知识点.它是揭示根的性质与系数间联系的桥梁，是解决与一元二次方程相关问题的有力工具.当三角形的三边是某个方程的系数时，要想将这三边联系在一起，可以借用根的判别式来处理. 六、应用根的判别式判断三角形的形状 例6已知：a、b、c为abc的三边，当m0时，关于x的方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0有两个相等的实数根.试判定abc的形状. 解析：整理原方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max =0得：cx2+cm+bx2-bm-2max =0. 即（c+b）x2-2max +cm-bm=0. 根据题意： 因为方程有两个相等的实数根， 所以=（-2ma）2-4（c+b）（cm-bm）=0， 即4ma2-4（c2m-bcm+bcm-b2m）=0. 得ma2-c2m+b2m=0. 所以=m（a2+b2-c2）=