高考圆锥曲线练习

1、高考数学试题分类汇编高考数学试题分类汇编圆锥曲线圆锥曲线 一、选择题 1.（2009 全国卷理）设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相 切，则该双曲线的离心率等于( c ) （a）3 （b）2 （c）5 （d）6 解：设切点 00 (,)p xy，则切线的斜率为 0 0 |2 x x yx .由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得: 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa . 2.（2009 全国卷理）已知椭圆 2 2 :1 2 x cy的右焦点为f,右准线为l，点al，线 段af交c于点b，若3fafb ,

2、则|af =a (a). 2 (b). 2 (c).3 (d). 3 解:过点 b 作bml于 m,并设右准线l与 x 轴的交点为 n，易知 fn=1.由题意3fafb , 故 2 | 3 bm .又由椭圆的第二定义,得 2 22 | 233 bf |2af.故选 a 3.（2009 浙江理）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点a作斜率为1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,b c若 1 2 abbc ，则双曲线的离心率是 ( c ) 21 世纪教育网 a2 b3 c5 d10 答案：c 【解析】对于,0a a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交

3、点为 b，c， 22 ,(,) aabaab bc ab ababab ，则有 22 2222 22 (,), a ba babab bcab ababab ab ， 因 22 2,4,5abbcabe 4.（2009 浙江文）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为f，右顶点为a，点b在 椭圆上，且bfx轴， 直线ab交y轴于点p若2appb ，则椭圆的离心率是（ d ）21 世纪教育网 a 3 2 b 2 2 c 1 3 d 1 2 5d 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇， 也体现了数形结合的巧妙应用 【解析】对于椭圆，因为2a

4、ppb ，则 1 2,2 , 2 oaoface 21 世纪教育网 6.（2009 北京理）点p在直线:1l yx上，若存在过p的直线交抛物线 2 yx于 ,a b两点，且 |paab，则称点p为“点”，那么下列结论中正确的是 （ a ） a直线l上的所有点都是“点” b直线l上仅有有限个点是“点” c直线l上的所有点都不是“点” d直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 【答案答案】a 【解析解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设,1a m np x x， 则2,22bmx

5、nx， 2 ,a byx在上， 2 2 21(2) nm nxmx （第 8 题解答图） 消去 n,整理得关于 x 的方程 22 (41)210 xmxm （1） 222 (41)4(21)8850mmmm 恒成立， 方程（1）恒有实数解，应选 a. 7.(2009 山东卷理)设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点， 则双曲线的离心率为( d ). a. 4 5 b. 5 c. 2 5 d.5 【解析】:双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y ,由方程组 2 1 b yx a yx ,消去 y,得 2

6、10 b xx a 有唯一解,所以= 2 ( )40 b a , 所以2 b a , 22 2 1 ( )5 cabb e aaa ,故选 d. 答案:d. 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置 关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能. 8.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 (0)yaxa的焦点 f,且和y轴交于点 a,若oaf(o 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( b ). a. 2 4yx b. 2 8yx c. 2 4yx d. 2 8yx 【解析】: 抛物线

7、2 (0)yaxa的焦点 f 坐标为(,0) 4 a ,则直线l的方程为2() 4 a yx, 它与y轴的交点为 a(0,) 2 a ,所以oaf 的面积为 1 | | 4 2 42 aa ,解得8a .所以抛物线 方程为 2 8yx ,故选 b. 答案:b. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做 到合二为一. 9.（2009 全国卷文）双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆)0()3

8、( 222 rryx相切， 则 r=a （a）3 （b）2 （c）3 （d）6 答案：答案：a 解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于 r，可求，可求 r= 3 10.（2009 全国卷文）已知直线)0)(2(kxky与抛物线 c:xy8 2 相交 a、b 两点， f 为 c 的焦点。若fbfa2,则 k=d (a) 3 1 (b) 3 2 (c) 3 2 (d) 3 22 答案：答案：d 解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线

9、过定点即抛物线焦点（2，0），由），由 2fafb及第二定义知及第二定义知)2(22 ba xx联立方程用根与系数关系可求联立方程用根与系数关系可求 k= 2 2 3 。 11.（2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为 6 2 的是 b （a） 22 1 24 xy （b） 22 1 42 xy （c） 22 1 46 xy （d） 22 1 410 xy 解析由 6 2 e 得 222 222 331 ,1, 222 cbb aaa ，选 b 12.（2009 安徽卷文）下列曲线中离心率为的是 b21 世纪教育网 a. b. c. d. 【解析】依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心

10、率 c e a 可判断得. 6 2 c e a .选 b。 【答案】b 13.（2009 安徽卷文）直线 过点（-1，2）且与直线垂直，则 的方程是 a a b. c. d. 【解析】可得l斜率为 33 :2(1) 22 l yx 即3210 xy ，选 a。 【答案】a 14.（2009 江西卷文）设 1 f和 2 f为双曲线 22 22 1 xy ab (0,0ab)的两个焦点, 若 12 ff， (0,2 )pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 b b a 3 2 b2 c 5 2 d3 答案：b 【解析】由 3 tan 623 c b 有 2222 344()cbca,则2 c

11、 e a ,故选 b. 15.（2009 江西卷理）过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点 1 f作x轴的垂线交椭圆于点 p， 2 f为右焦点，若 12 60fpf ，则椭圆的离心率为 b a 2 2 b 3 3 c 1 2 d 1 3 21 世纪教育网 答案：b 【解析】因为 2 (,) b pc a ，再由 12 60fpf 有 2 3 2 , b a a 从而可得 3 3 c e a ，故选 b 16.（2009 天津卷文）设双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2，焦距为32，则 双曲线的渐近线方程为（c ） a xy2 b xy2

12、c xy 2 2 dxy 2 1 【答案】c 【解析】由已知得到2, 3, 1 22 bcacb，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故 渐近线方程为xx a b y 2 2 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推 理能力。 17.(2009 湖北卷理)已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点，则直线 2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是 a a. 1 1 , 2 2 k b. 11 , 22 k c. 22 , 22 k d. 22 , 22 k 【答案】a 【解析】易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所

13、以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx可得 22 3+(4k +16k)40 xx 由0 可解得 a 18.（2009 四川卷文）已知双曲线)0( 1 2 2 22 b b yx 的左、右焦点分别是 1 f、 2 f，其一 条渐近线方程为xy ，点 ), 3( 0 yp在双曲线上.则 1 pf 2 pfc a. 12 b. 2 c. 0 d. 4 【答案答案】c 【解析解析】由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是2 22 yx，于 是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且) 1 , 3(p或) 1, 3(p.不妨去) 1

14、, 3(p， 则) 1, 32( 1 pf， ) 1, 32( 2 pf. 1 pf 2 pf 01)32)(32() 1, 32)(1, 32( 19.（2009 全国卷理）已知直线20yk xk与抛物线 2 :8c yx相交于 ab、两点，f为c的焦点，若| 2|fafb，则k d a. 1 3 b. 2 3 c. 2 3 d. 2 2 3 解解：设抛物线 2 :8c yx的准线为:2l x 直线 20yk xk恒过定点 p2,0 .如 图过ab、分 别作aml于m,bnl于n, 由| 2|fafb,则| 2|ambn, 点 b 为 ap 的中点.连结ob,则 1 | 2 obaf, |

15、|obbf 点b的横坐标为1, 故 点b的坐标为 2 202 2 (1,2 2) 1 ( 2)3 k , 故选故选 d 20.（2009 全国卷理）已知双曲线 22 22 10,0 xy cab ab ：的右焦点为f,过f且斜 率为3的直线交c于ab、两点，若4affb,则c的离心率为 aw.w.w.k.s.5.u.c.o. m a 6 5 b. 7 5 c. 5 8 d. 9 5 解解：设双曲线 22 22 1 xy c ab ：的右准线为l,过ab、分 别作aml于m,bnl于n, bdamd于, 由直线 ab 的斜率为3,知直线 ab 的倾斜角为 1 6060 ,| 2 badadab,

16、 由双曲线的第二定义有 1 | |(|)ambnadaffb e 11 |(|) 22 abaffb . 又 156 43| 25 affbfbfbe e 故选故选 a 21.（2009 湖南卷文）抛物线 2 8yx 的焦点坐标是【 b 】 a（2，0） b（- 2，0） c（4，0） d（- 4，0） 解:由 2 8yx ,易知焦点坐标是(,0)( 2,0) 2 p ，故选 b. 22.（2009 辽宁卷文）已知圆 c 与直线 xy0 及 xy40 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 c 的方程为 （a） 22 (1)(1)2xy (b) 22 (1)(1)2xy (c) 22 (1)(1

17、)2xy (d) 22 (1)(1)2xy 【解析】圆心在 xy0 上,排除 c、d,再结合图象,或者验证 a、b 中圆心到两直线的距离 等于半径即可. 2 【答案】b 23.（2009 宁夏海南卷理）双曲线 2 4 x - 2 12 y =1 的焦点到渐近线的距离为 （a）2 3 （b）2 （c）3 （d）1 解析：双曲线 2 4 x - 2 12 y =1 的焦点(4,0)到渐近线3yx的距离为 340 2 3 2 d , 选 a 24.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线 c 的顶点在坐标原点，焦点为 f(1，0)，直线 l 与 抛物线 c 相交于 a，b 两点。若 ab 的中点为（2

18、，2），则直线的方程为_. 解析：抛物线的方程为 2 4yx， 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 , 4 4 41 yx a x yb xyxx yx yy yyxx xxyy 则有， 两式相减得， 直线l 的方程为y-2=x-2, 即y=x 答案：y=x 25.（2009 陕西卷文）过原点且倾斜角为60的直线被圆学 22 40 xyy所截得的弦长为科网 （a）3 （b）2 （c）6（d）23 答案:d. 解析: 22 ,(2)4xxy直线方程y= 3 圆的标准方程,圆心(0,2)到直线的距离 22 302 1 ( 3)( 1) d ，由垂径定理知所求弦长为

19、 *22 2 212 3d 故选 d. 26.（2009 陕西卷文）“0mn”是“方程 22 1mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆” 的 （a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件 （c）充要条件 (d) 既不充分也不必要条件 答案:c. 解析:将方程 22 1mxny转化为 22 1 11 xy mn , 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须 满足 11 0,0, mn 所以 11 nm ，故选 c. 27.（2009 四川卷文）已知双曲线)0( 1 2 2 22 b b yx 的左、右焦点分别是 1 f、 2 f，其一 条渐近线方程为xy ，点 ), 3( 0 yp在双曲线上.则

20、 1 pf 2 pf a. 12 b. 2 c. 0 d. 4 【答案答案】c 【解析解析】由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是2 22 yx，于 是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且) 1 , 3(p或) 1, 3(p.不妨去) 1 , 3(p， 则) 1, 32( 1 pf， ) 1, 32( 2 pf. 1 pf 2 pf 01)32)(32() 1, 32)(1, 32( 28.（2009 全国卷文）设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ，的渐近线与抛物线 2 1yx 相切，则该双曲线的离心率等于 （a）3 （b）2 （c）5 （d）6 【解析】本

21、小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率， 基础题。 解：由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ，的一条渐近线方程为 a bx y ，代入抛物线方 程整理得0 2 abxax，因渐近线与抛物线相切，所以04 22 ab，即 55 22 eac，故选择 c。 29.（2009 全国卷文）已知椭圆 2 2 :1 2 x cy的右焦点为 f,右准线l，点al，线段 af 交 c 于点 b。若3fafb ,则af = (a) 2 (b) 2 (c) 3 (d) 3 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。 解:过点 b 作bml于 m,并

22、设右准线l与 x 轴的交点为 n，易知 fn=1.由题意3fafb , 故 2 | 3 bm .又由椭圆的第二定义,得 2 22 | 233 bf |2af.故选 a 30.（2009 湖北卷文）已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆（b0）的焦点， 则 b= a.3 b.5 c.3 d.2 【答案】c 【解析】可得双曲线的准线为 2 1 a x c ,又因为椭圆焦点为 2 (4,0)b 所以有 2 41b .即 b2=3 故 b=3.故 c. 31.（2009 天津卷理）设抛物线 2 y=2x 的焦点为 f，过点 m（3，0）的直线与抛物线相 交于 a，b 两

23、点，与抛物线的准线相交于 c，bf=2，则bcf 与acf 的面积之比 bcf acf s s = （a） 4 5 （b） 2 3 （c） 4 7 （d） 1 2 【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能 力，中档题。 6 4 2 -2 -4 -6 -10-5510 x=-0.5 f: (0.51, 0.00) h x = -2x+3 g y = -1 2 f y = y2 2 a b f c 解析：由题知 12 12 2 1 2 1 a b a b acf bcf x x x x ac bc s s ， 又3 2 3 2 2 1 | bbb yxxbf 由

24、a、b、m 三点共线有 bm bm am am xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 a a x x ，故2 a x， 5 4 14 13 12 12 a b acf bcf x x s s ，故选择 a。 32.（2009 四川卷理）已知双曲线 22 2 1(0) 2 xy b b 的左右焦点分别为 12 ,f f，其一条渐 近线方程为yx，点 0 ( 3,)py在该双曲线上，则 12 pfpf = a. 12 b. 2 c .0 d. 4 【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文 8） 解析：由题知2 2 b，故)0 , 2(),0 , 2(

25、, 123 210 ffy ， 0143)1,32()1,32( 21 pfpf，故选择 c。 解析 2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 22 1 22 xy ，则左、右焦点坐标分别为 12 ( 2,0),(2,0)ff，再将点 0 ( 3,)py代入方程可求出( 3, 1)p，则可得 12 0pf pf ， 故选 c。 33.（2009 四川卷理）已知直线 1:4 360lxy和直线 2: 1lx ，抛物线 2 4yx上一 动点p到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 a a.2 b.3 c. 11 5 d. 37 16 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综

26、合题。 解析：直线 2: 1lx 为抛物线 2 4yx的准线，由抛物线的定义知，p 到 2 l的距离等于 p 到抛物线的焦点)0 , 1(f的距离，故本题化为在抛物线 2 4yx上找一个点p使得p到点 )0 , 1(f和直线 2 l的距离之和最小，最小值为)0 , 1(f到直线 1:4 360lxy的距离，即 2 5 |604| min d，故选择 a。 解析 2：如下图，由题意可知 22 |3 1 06| 2 34 d 34.（2009 宁夏海南卷文）已知圆 1 c： 2 (1)x+ 2 (1)y=1，圆 2 c与圆 1 c关于直线 10 xy 对称，则圆 2 c的方程为 b （a） 2 (

27、2)x+ 2 (2)y=1 （b） 2 (2)x+ 2 (2)y=1 （c） 2 (2)x+ 2 (2)y=1 （d） 2 (2)x+ 2 (2)y=1 【答案】b 【解析】设圆 2 c的圆心为（a，b），则依题意，有 11 10 22 1 1 1 ab b a ，解得： 2 2 a b ，对称圆的半径不变，为 1，故选 b。. 35.（2009 福建卷文）若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2，则a等于 b a. 2 b. 3 c. 3 2 d. 1 解析解析解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b= 3，而离心率e= a ，解得 a=1 或 a

28、=3，参照选项知而应选 d. 36.（2009 重庆卷理）直线1yx与圆 22 1xy的位置关系为（ b ） a相切 b相交但直线不过圆心 c直线过圆心d相离 【答案】b 【解析】圆心(0,0)为到直线1yx，即10 xy 的距离 12 22 d ，而 2 01 2 ，选 b。 37.（2009 重庆卷理）已知以4t 为周期的函数 2 1,( 1,1 ( ) 12 ,(1,3 mxx f x xx ，其中 0m 。若方程3 ( )f xx恰有 5 个实数解，则m的取值范围为（ b ） a 15 8 (, ) 33 b 15 (, 7) 3 c 4 8 ( , ) 3 3 d 4 ( , 7) 3 【答案】b 【解析】因为当(