巧用三余弦定理解题

1、巧用“三余弦定理”解题图1“三余弦定理”的内容：如图1,直线ao是平面的斜线，aq是 ao在平面内的射影，直线ap在平面内.设oap , oaq 1, qap 2，有以下结论：cos cos 1 cos 2 我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”，应用“三余弦定理”可以使我们的很多立 体几何问题的解决变得简单应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1 .明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影2 .明确三角：斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为i，射影与“内线”所成的角为2.3 .定理运算.力是垂足,ap是内一直线，/图2变式1：已知/例1 .如图2，已知

2、ao是平面 的一条斜线，0b 0ap=60,z bap=45。,求斜线a0与平面 所成的角.分析：ap是“内线”，a0是斜线，ab是射影，所以oap , oab 1, bap 2，直接利用余弦定理”求解.解题过程略.略解：点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明 确了 “三线”与“三角”，直接代定理求解.oab=45, z bap=45。,求直线a0与ap所成的角；分析：同例1.变式2：已知z oab=45,z bap=45。, i/ap,求直线a0与i所成的角；分析：因为i/ap，直线a0与ap所成的角同a0与i所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时i是“内线”，a0是

3、斜线，ab是射影，然后斜线a0与“内线” i所成为，斜线a0与射影ab所成的角为1 ,射影ab与“内线” i所成的角为2,问题迎刃而例2 .如图3,在棱长为1正方体abcd ab1c1d1中，e、f分别是b1g和cc 1的中点，求异面直线ab与ef所成角的余弦值.分析：直线ba是平面bcgbi的斜线，bbi是射影，ef为“内线”，这样就明确是三线明确三角，然后定 理计算即可解：由题意可知,直线bai是平面bcc1b1的斜线，bb1是ba在平面内的射影，ef为平面内的直线，所以bai与ef所成的角为，aibci i，ef与bbi所成的角为2图3又因为 cos cos i cos 2, i45 ,

4、245 ,1所以cos21即异面直线ab与ef所成角的余弦值为一2点评：只要明确了 “三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为i,射影与“内线”所成的角为2,明确了 “三角”，公式的应用水到渠成i3变式：若e、f是bici和cci上的点，满足eg= 3，56=亍，求异面直线aib与ef所成角的余弦值分析：明确“三线”直线ba是斜线定理bbi是射影 ef为“内线”，然后按规则找出“三角计算即可p图4图5练习：i 如图4, s是a abc所在平面外一点，锐角三角sa, sb, sc两两垂直，求证： abc是形2.如图5,在四棱锥p-abcd中，底面abcd是一直角梯形，/ bad=90o , ad/bc ,ab=bc=a,ad=2a且pax底面abcd, pd与底面成an。，h ar i pn匚力诉足.世日而吉线ar 与cd所成角的大小“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我 们能够准确的理解这个定理，并巧用定理