【教案】优秀参赛课件《平面向量的坐标运算》教案及说明（精华版）

1、精品word学习资料可编辑人教版全日制一般高级中学教科书（必修）第一册（下）课题： 平面对量的坐标运算 （教案）教学目标：学问与技能：（1）懂得平面对量的坐标概念； （2）把握平面对量的坐标运算 .过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比， 培育同学类比推理的才能；（2） 通过平面对量坐标表示和坐标运算法就的推导培育同学归纳，猜想，演绎的才能；（3） 通过用代数方法处理几何问题，提高同学用数形结合的思想方法解决问题的才能 .情感，态度与价值观 : （1）让同学在探究中体验探究的艰辛和胜利的乐趣， 培育同学锲而不舍的求索精神和合作沟通的团队精神，提高同学的数学素养；（2） 使同学熟悉数学

2、运算对于建构数学系统，刻画数学对象的重要性，进而懂得数学的本质；（3） 让同学体会从特别到一般，从一般到特别的熟悉规律.教学重点和教学难点：教学重点：平面对量的坐标运算； 教学难点：平面对量坐标的意义 .教学方法：“引导发觉法”，“探究学习”及“合作学习”的模式 .教学手段：利用多媒体动画演示及实物展现平台增加直观性， 提高课堂教学效率 .教学过程设计：一，创设问题情境，引入课题.同学们， 我们知道， 向量的概念是从物理中抽象出来的， 人们最初对向量的名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑争论是从几何的的角度来进行的， 但是随着问题的不断深化， 我们发觉用图形来争论向量有一些不便之处，

3、 那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？我国闻名数学家华罗庚先生说过： “数无形，少直观；形很多，难入微； ”图形关系往往与某些数量关系亲密联系在一起， 数与形是相互依靠的， 所以我们想到了用数来表示向量 .思路一：用一个数能否表示向量？（请同学回答）（不能，由于向量既有大小，又有方向）思路二：用两个数能否表示向量？（引导同学摸索）在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？让我们先来探讨这样一个问题：探究一：如图， i , j 为相互垂直的单位向量，请用 i , j 表示图中的向量 a, b, c, d.y4b3a21 5

4、4 3 2 1cjo1 2i12345xd 3 4请同学动手完成并回答：依据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在 i , j 的方向上，就可得到：a3i3j ，同理可得 bi2jc3i3jd4i2 j我们用 i , j 来表示 a 的这种形式是否唯独？依据是什么？（提问同学）名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑由此复习平面对量基本定理：假如e1 ，e2是同一平面内的两个不共线向量，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2 ，使 a=1e12e2 ，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑其中的 e1 ， e2

5、 称为平面的一组基底 .强调：基底不唯独，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯独的.二，懂得概念，加深熟悉 .依据平面对量基本定理，我们知道，在选定基底的情形下，所给a, b, c, d. 四个向量在基底方向的分解形式是唯独的，也就是说，这几个向量用基底i ， j 来表示的形式是唯独的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标.推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导同学摸索， 请同学尝试给出定义）如图，在直角坐标系内， 我们分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底 任作一个向量 a ，由平面对量基本定理

6、知， 有且只有一对实数 x ，y ，使得axiyj 1我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑a( x, y)2名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，2 式叫做向量的坐标表示在定义中，要留意 axiyj(x, y)定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底i , j 方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在 i ， j 方向的分解形式 .结合定义，指导同学求出向量 i ， j ， 0 ， op

7、的坐标. （多媒体演示）名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑在坐标系中观看，向量i, j 及op 的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让同学得到结论： 起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标.类比点的坐标， 提出： 向量平移后详细位置发生了转变， 其坐标是否会发生变化？结合向量坐标的定义，将平移前后的向量分别分解在基底i , j 的方向上，所得四边形是全等的，因此，这两个向量的坐标相同. 也可这样懂得，通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到 坐标原点处，就其终点必

8、定重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标， 由此得到： 相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.三，自主探究，推导法就 .前面所学的向量的加法，减法，实数与向量的积这几种运算的结果是向量， 因此，引入向量后，这些运算的结果也能用坐标表示，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑探究二： (1)已知a( x1,y1 ), b( x2,y2 ), 求ab, ab的坐标 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑(2)已知 a( x,y) 和实数, 求 a的坐标 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑请同学以四人小组为单

9、位， 自己争论推导， 再将推导方法及所得结论在班上进行沟通，最终，老师再来归纳整理，由此得出平面对量的坐标运算法就：（1） 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑ab( x1x2 , y1y2)（其中 a( x1,y1), b( x2 , y2 ) ）名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑（2） 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原先向量的相应坐标：名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑如a( x,y) ，就 a( x,y) ；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料

10、可编辑练习1 . 已知a(2,1),b(3,4), 求ab, ab,3a4b 的坐标.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑探究三： 通过前面的学习， 我们知道， 起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，那么， 对于起点不在原点的向量， 又该如何来确定其坐标？如已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？先来看一个详细的例子：求出图中的向量 a 的坐标，并观看其坐标与其起点1坐标，终点坐标之间有何关系？y5b (4,5)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑4第 4 页共 6a页b32a(2,2)(2,3)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑a（引导同学从特别到一般

11、，归纳猜想）同学不难发觉：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标. 再将 a,b 的坐标推广到一般的 ( x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ，可得相应结论；老师指出：这只是我们从详细的例子中得到的猜想， 要说明其正确性， 必需进行严密的推证； 指导同学进行证明， 关键说明：已知a,b两点的坐标相当于知道了向量oa ,ob 的坐标，而aboboa，从而转化为坐标的运算 .由此，得到一个重要的结论： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 .练习 2.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑(1) 已知a(2,3), b( 3,5),求ba的坐标 .名师归纳

12、总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑（2） ）已知ab(1,2), a(2,1), 求b的坐标.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑（3） ）已知ab(1,2), b(2,1), 求a的坐标.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑四，巩固应用，加深懂得 .例1， 已知平行四边形 abcd的三个顶点 a，b，c 的坐标分别为（ -2 ，1），（ -1 ，3），（ 3， 4），求顶点 d的坐标.解：设顶点 d的坐标为 ( x, y)ab(1, 2) ，dc(3x, 4y )由 abdc

13、, 得（1 ，2）=(3x, 4y)3x1x24y2y2点 d的坐标为（2，2 ） .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑例 2，已知平面上三点的坐标分别为a(2, 1),b(1, 3),c(3, 4)，求点 d的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点. （引导同学摸索，多媒体演示）分析：未固定四边形四个顶点的次序，因此，点d的位置有 3 个. 五，课堂小结 . （先请同学归纳，再由老师完善）1. 平面对量的坐标的概念；2. 几个重要结论：(1) 相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等向量；(2) 起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标.（3） ）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线

14、段的终点的坐标减去始点的坐标.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑即： 如a(x1,y1 ), b(x2 , y2 ), 就ab( x2x1 , y2y1 )名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑3. 平面对量的坐标运算 :名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑如a(x1, y1), b(x2, y2 ),就(1)ab(x1x2 , y1y2 ),名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑(2) ab( x1x2 , y1y2 ),(3) a(x1,y1)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑六，布置作业 .（

15、必做题）课本 p114. 2.3.4（选做题） 我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为 斜坐标系 .平面上任意一点 p 的斜坐标 定义为：如名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑opxe1ye2（其中e1 ，e2分别为斜坐标系的 x 轴，y 轴正方向上的单位向量，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑x，yr），就点 p 的斜坐标为（ x, y）.在平面斜坐标系 xoy 中，如xoy60 ，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑已知点 m 的斜坐标为 (1, 2)，就点 m 到

16、原点 o 的距离为.（使同学进一步加强对向量坐标表示的懂得， 把对数学学问的探究由课内延长到课外）名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑（教案说明）平面对量的坐标运算（一） （教案说明）一，教学内容分析及目标设定.向量是 “形”与“数”的结合体， 具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学学问的一个重要交汇点，常与三角，数列，函数，解析几何，立体几何等内 容交叉渗透，自然地交汇在一起；同时，向量具有丰富的物理背景，在物理中应 用很广泛，因此，向量是中学数学学习中一个重要的内容；本课时内容是向量的坐标表示及向量的坐标运算，之前的教学内容为向量 的概念及向量的加法， 减法及实数与向量的积

17、的运算， 集中在对向量的几何特点的争论上，而本节课之后，主要争论向量的代数运算，因此，本节课具有承前启后的作用， 正是由于向量坐标概念的引入及向量坐标运算法就的导出，使得对向量的争论由“形”转向 “数”成为了可能；本节内容是让同学体会数学化的一个很好的过程， 它有助于同学体会数学思维的方式和方法， 培育同学进行数学的摸索和数学的说理， 所以它在同学的学习上也具有重要的作用；基于以上分析，本节课的教学目标设定为：学问与技能：（1）懂得平面对量的坐标概念， （2）把握平面对量的坐标运算；过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比， 培育同学类比推理的才能；（2） 通过平面对量坐标表示和坐标运

18、算法就的推导培育同学归纳，猜想，演绎的才能；（3） 通过用代数方法处理几何问题，提高同学用数形结合的思想方法解决名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑问题的才能；情感，态度与价值观 : （1）让同学在探究中体验探究的艰辛和胜利的乐趣， 培育同学锲而不舍的求索精神和合作沟通的团队精神，提高同学的数学素养；（2） 使同学熟悉数学运算对于建构数学系统，刻画数学对象的重要性，进而懂得数学的本质；（3） 让同学体会从特别到一般，从一般到特别的熟悉规律；二，教学诊断分析 .本节课既有概念的教学， 又有运算法就的推导和应用， 学问点繁多而且相互间的连接并不紧密， 依据以往的体会， 同学往往只留意对法

19、就的应用， 而忽视对概念的懂得， 对概念本质的懂得不到位导致在处理相关问题时显现偏差，也使得同学的数学思维的进展受到限制； 因此，数学教学不仅要解决 “学什么” 的问题， 更应让同学明白“为什么学” ；依据数学课程改革应关注学问的发生和进展过程的理念，在教学中渗透数学思想和方法，因此，在向量坐标概念的引入过程中，我从平面对量学问体系的进展引入， 使同学明白用数来表示向量是数学本身进展的必定，是为对向量的争论从“形”转“数”搭建桥梁，从而激发起同学的求知欲；在提出“如何用数来表示向量” 这一问题后， 类比点的坐标， 引导同学猜想：点可以用一对有序实数对来表示， 向量也是平面图形， 是否也能用一对

20、实数来表示？这一问题的解决， 不是由老师直接告知同学， 而是通过同学自己探究得到答案；通过设置探究：让同学将所给向量用给定的基底i , j 表示出来，结合平面对量基本定理，引导同学发觉，所给的每一个向量用基底i, j 来表示的形式都是唯一的，也就是说，对于每一个向量，都可以用一对实数唯独表示，这就使刚才的问题得到明白决，从而引入坐标的概念；同学对向量坐标表示的意义的懂得是本节课的难点，由于对概念懂得不清， 使得不少同学到高三时仍经常在这样一个问题上犯错：向量平移后， 将向量坐标也按平移公式来进行运算；这正是对向量坐标概念的懂得不到位造成的，因此， 类比坐标系内不同的点的坐标不同，提出：平移后向

21、量的详细位置发生了变化，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑向量的坐标会不会变？师生共同分析： 平移前后的向量是相等向量， 其方向相同，大小相等，依据向量坐标的定义，将其分解在i, j 方向的形式是一样的，因此，坐标相同； 接着通过动画演示， 从另一个角度来说明此问题： 平移前后的向量是相等向量，通过平移， 可以使它们的起点平移到坐标原点处， 就其终点必定重合， 此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标； 通过不同的途径， 让同学自己得出“平移不转变向量的坐标”即“相等向量坐标相同”这一重要结论，在这一过程中也渗透了对向量坐标概念本质的懂得；三，教法特点 .建构主义学习理论认为：学习是猎取学问的过程,学习是在肯定的情境下 ,借助他人的帮忙而实现的意义建构过程； 因此“情境”，“协作”，“沟通”和“意义建构 ” 被认为是建构主义学习过程的四大要素；因此，在本节课的教学中，我采纳了“引导发觉法” ，“探究学习”及“合作学习”的模式，充分表达了同学的主体位置，老师充当的是合