数项级数收敛性的判别

1、姓名：韩海飞班级：数学 091数项级数收敛性的判别 摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结， 得到一般 的解题思路 .关键词 ： 判别方法 归纳总结 数项级数 敛散性 解题 思路引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学 生按照指定的判别方法进行解题， 一般都能很容易求得结果， 而当把 多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时， 学生要么束手无策， 要么选择判别方法时带有盲目性 ，拿作判别方法进行实验性解题， 只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手， 往往用一种简单的方法就可以轻松解题， 却用较繁琐方法费了九牛二 虎之力，结果还不一定正确， 造成

2、这种情况的主要原因主要是学生对 所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 .所以 在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一 下.一、定义 疋义仁设有数列un：Ul,U2, Un ,表达式 U1 U2 Un（ 1）称为数项级数，可记为Un,其中Un称为数项级数（1）的第n项或n 1一般项。定义2：Sn U1 U2Un称为级数（1）的第n个部分和，数列SJ称为它的部分和数列。定义3：设Sn是级数（1）的部分和数列，若lim Sn S则说级数（1）的和是S,这时也说级数（1）是收敛（于S）的。记 为：Un S。若Sn是发散数列，则称级数（1）发散n 1余项：rn S

3、Sn定义4：绝对收敛：若 血收敛，则称级数 Un绝对收敛n 1n 1条件收敛：若 Un发散，则称级数Un条件收敛n 1n 1二、性质定理定理12.2 若级数 Un与Vn都收敛，则对任意常数c,d，级数n 1n 1（CUn dVn） C Un d V.也收敛.n 1n 1n 1定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性,也不改变它的和三、分类1、等比级数（几何级数）a aqn 1aq2、P 级数:(pn 1 n0)3、正项级数：若Un 0，则称Un为正项级数4、般级数：任意 U1U2Un，则称Un为一般级数三、等比

4、级数收敛性的判别法等比级数（几何级数）aqn 1aq，Sna(1 q(q 1)1 qq| 1时，级数收敛lim Sn 1 q0发散q| 1时，级数发散四、p 级数收敛性判别法：p 级数2（ P 0）n 1 n（1）当0 P 1时，级数发散（2）当p 1时，级数收敛例：丄为p-级数，p=21,显然此级数是收敛的.n五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设Un与 Vn是两个正项级数，若（1） 当0 1时，两级数同时收敛或同时发散；（2） 当I 0且级数 Vn收敛时，级数Un也收敛；（3）当I 且级数 Vn发散时，级数 Un也发散;例：判别级数 sin1的敛散性n.1si n 解：由于 lim

5、n 1,根据比较原则，及调和级数丄发n 1nn散，所以级数sin1也发散.n（2）比式判别法（极限形式）若 un为正项级数，且lim加 q则Un(1)当 q1时，级数 Un也收敛;(2)当 q1时，或q 时，级数 Un发散;注：当q 1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断， 因为它可能是收敛的，也可能是发散的例如，级数 4与-，它nn们的比式极限都是lim也1n Un丄是收敛的，而丄是发散的.nn（3）根式判别法（极限形式）Un为正项级数，且lim n Un 1则 n科(1)当 l1时，级数收敛当l1时，级数发散注:当l1 2 n1是发散的但n1时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级

6、数与 1，二者都有lim n Un 1，但nng是收敛的，而-是发散的.nn例：判别级数亠亠的敛散性2n是收敛的，而nU2mlim?2m3U2m 1limlim?2m 1113U2m 1m2mU2mm62m 12m221解：由于limm3故用比式判别法无法判定此级数的敛散性， 现在用根式判别法来考察这个级数，由于mm2mu2m mmlim 2m 1U2m 1 lim 2m 1 十补 11mm. 22所以lim n Un-由根式判别法知原级数收敛.n *2(4) 积分判别法：设f是1,上非负递减函数那么正项级数f (n)与非正常积分 f (x)dx同时收敛或同时发散;1例：讨论级数的敛散性n 2

7、 n(In n)解：研究非正常积分2為由于dx2 x(ln x)pd(ln x) du(In x)pln2up当P 1时收敛p时发散,由积分判别法级数2 n(ln n)p 在卩 1时收敛P 1时发散(5)拉贝判别法(极限形式)若un为正项级数，且lim n(1n也)rUn存在，则(1)当 r 1时，级数当r 1时，级数Un发散;当r 1时拉贝判别法无法判断.s2 4 (2n)例：讨论级数口 也丄,当s 1,2,3时的敛散性s解：无论s停哪一个值级数号晋，的比式极限都有limnUn 1Un1所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论,当s 1时，由于n(1Un 1)Unn

8、(1 ) J2n 2 2n 2*n）所以级数是发散的.2时,由于n(1也)n1(m)2un2n 2晋导1（n这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断，当s 3时,由于2n In1(Pn(12 n2 18n 7)3(2n 2)32所以级数收敛.六、般级数收敛性的判别法（1）级数 Un若lim Un 0，则此级数发散. n 1n例：判断级数匚2的敛散性2 -n n解：由于佃（口）1，所以原级数发散X2 -n n,则此级数（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界收敛.例：判定正项级数的敛散性n 1 1 a 1 a? L 1 an分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较

9、判别法以及其他的判别法进行判断 ，因此可选用基本定理进行判断.n 1 a1 1 a2 L 1 ananUn1 a1 1 a2 L 1 an 1 a1 1 a2 L 1 an 1n “ 1Uk 1k 1级数的前n项和&1 a1 1 a2 L 1 an11 a1 1 a2 L1 an所以原级数的部分和数列有上界，于是原级数收敛.(3)柯西收敛准则级数Un收敛的充要条件:n 10, n N,m n(m N)时， p N 有:Um 1 Um 2Up m例：证明级数 A的收敛n证明：由于1 U m 1 Um 2Um p 11(m 1)21(m 2)2(m1p?N及任意自然数P，由上式就有Un收,1 Um

10、 2Um p | 0)的敛散性.n 1 xnnn解：对于数列n 来说，当x0时，0vv=11 x1 x xxn1 xnx(i xn)土 11 xn1呑 11,0x11,x1n/ 八“即数列 _A_ 是单调有界的，又IX 收敛，1 xn由阿贝尔判别法知道级数收敛.(7)狄利克雷判别法：设级数anbn若an单调递减，且lim a. 0又n级数的部分和数列有界，则级数anbn收敛.例：证明：若数列 an具有性质:a1 a2anlin an 0n则级数an cos nx对任何x (0,2 )都收敛.x1x1x 一si n2吨 吨)sin(n 少 sin(n 1)x=si n(n1)x证明：因为2sin

11、-(-ncoskx)k 1当x(0,2)时，吨0故有:ncoskxsin(n )2所以级数cosnx的部分和数列当x (0,2 )时有界，由狄利克雷判别法得级数an cosnx 收敛.以上方法是常见的方法，接下来我们来看由比较原则衍生出的几种不 常见的方法。1不等式的利用在此我们常用到的不等式有以下几种:个人认为，前三个不等式大家都用得比较熟练，最后一个不等式不 太能在做题时想到对于些题目看似很复杂，但利用不等式后就会豁然 开朗此处是将原数放大，主要运用比较准则.例：k 0,且 an2收敛，证明(1)n ? 绝对收敛？ n 证明如下：若n n。时,不等式(5)成立，则Unn 1n2 k(此题正

12、是利用了不等式，轻松地证明了此题.)解:% 1 (a 2 1 )r2 2 (an2.)Jn2 kn k又an2、21收敛则.an收敛,n 1n1“kn1、J nk故(常.an绝对收敛.n 1、：n2k例:判别级数(1 Inn 1)的敛散性. n 1 nn解:利用不等式In x x1 n 11 n 11有 unInInn n n n 1 n n 1因为(丄)收敛，故(丄ln)收敛.n 1 n n 1n 1 n n2. 等价量法等价量法实际上应用的就是无穷小或大的等价代换，方法简单易掌握，同样也是一种放大缩小的应用.例：判别级数(二1)的敛散性.n 1 nn可利用等价代换，但这里先将原式前项改写为

13、ex的形式.In n解：当n时,In n 1n2 1而 丄收敛,故由比较原则知原级数收敛 n 1 n* 由于级数 收敛，所以Un收敛同理可证当不等式(6)成立n 1 nn 13. Taylor展开式Taylor展开式看似与级数完全不沾边，但在以前的学习中,TayIor 公式还用于计算函数近似值的问题，正是这个桥梁连接了两者常用函 数的Maclaurin公式是在解题中最常用.如下例： 例：判别级数 (e(1丄门的敛散性.n 1n解：Un e (1 eenln(7 e扁呻 e1 (1 - o(-)- n2 nn 2n原级数发散4. 对数判别法此方法对判别“幕指型”或含“ln n ”级数很有效首先介

14、绍一下这个定理：定理(对数判别法)设Un为正项级数，若有 0，n 1使当n n0时,ln丄Unln n(5)贝SUn收敛;n 1若n no时,ln丄Unln n发散.例：判别级数1而詁S。的敛散性-ln丄解：亠ln n迪心 lnln(lnn)对In n0,必存在门0使当门n0时,lnln(ln n)1,故原级数收敛.例：判别级数In na-(a 1)的敛散性.2nIn naln n ln nn ln 2 ln n ln aln nIn 2lna ln n1ln a) ln2 Jim (彳 ln a)由LHospital法则知,xxlim (ln2 ln a) ln 2 lim ( xln xx

15、 in x故对0,存在n,使当n n时,l n2丄 ln a 1ln n原级数收敛.5拆项法有一种应用广泛，形式多变，方便灵活的方法，即将一般项通过等价 变换、有理化、三角函数基本公式等拆成几项之差 ，大大降低了难度, 解决了无从下手的窘境这也是一种常见的方法，容易掌握.2sin(n ) nsin例：判别级数n 12 n的敛散性.sin(n )2n si nsin(n )2sin解：2 nn2n而sin(n )21sin(n）收敛;而对于 sin ,当 k时收敛,222nnn 1nn 1 n当 k时发散.综上可知，原级数当当k时收敛，当 k时发散.例：判断级数sin( . a2 n2)的敛散性

16、,若收敛，是条件收敛还是绝对收n 1敛？解：ansin(. a2n2)sin(n ( a2 n2n)(1)n sin(a2n2n)2(1)nsin，得到一个交错级数Ja2 n2 n则易知级数收敛，但其绝对值级数发散.故原级数条件收敛.总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路后，我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果.参考文献：1 华东师范大学数学系编数学分析(第三版)北京大学高等教育出版社，19912 数学分析习题解析下册，陕西师范大学出版社，19933 刘羽.正项级数敛散性的判别法研究J.网络财富,2009.23(23):98-101.4 斯琴.正项级数的敛散性判别法J.河套大学学报,2009.6(2):18-22.5 杨钟玄 . 关于正项级数敛散性判别法及其联系 J. 天水师专学 报,1999,19(3):80-83.6 费定晖 ,周学圣 ,郭大钧 ,等.吉米多维奇数学分析习题集题解 (四) M.2 版. 济南: 山东科学技术出版社 , 1999:2- 3,38- 41.The Induction about Convergence Criterions of Constant TermSeries and the An