2010年高三第一轮复习

1、2010年高三第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案（人教版A版）教学目标：1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法。 2.会运用数形结合的思想将交点问题转化为方程根的问题来研究3.能解决直线与圆锥曲线相交所得的弦的有关问题教学重点：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系。教学难点：弦长问题 中点弦问题教学过程：1.直线与圆锥曲线的位置关系 几何角度：直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点.1）相离2）相切 3）相交 无公共点 一个公共点 两个不同公共点代数角度：直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程

2、组解的个数与交点的个数是一样的. 设直线L的方程为： 圆锥曲线的方程为： 联立： 消（也可消）得到一个关于变量（或变量）的一元二次方程： （1） 当0时，则有下表中的结论：（方程的判别式=）方程的判别式方程组的解的个数交点个数位置关系000相离=011相切022相交2 / 12（2） 当=0时，即得到一个一次方程，则直线L与圆锥曲线相交，且只有一个交点。若C为双曲线，则直线L与双曲线的渐近线平行。若C为抛物线，则直线L与抛物线的对称轴平行或重合。即直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件（对于椭圆来说，这个方程二次项系数一般不为0，不过当直线与椭圆相

3、切时，若已知直线过某点，则当点在椭圆外部时，切线有两条；当点在椭圆上时，切线有一条）注意：直线与圆锥曲线位置关系问题常利用数形结合方法解决。 转化为研究方程组解的问题。 例1.直线L：y=kx+1,抛物线C:，当k为何值时L与C有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点。分析：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时考查综合分析问题的能力、数形结合的思想及分类讨论思想。可以由直线L与抛物线C的方程联立方程组解的个数来解决。解：将L和C的方程联立消去y得 当k=0时，方程只有一个解.直线L与C只有一个公共点（），此时直线L平行于抛物线的对称轴。当k0时，方程是一个一元二次方程， =.

4、（1） 当0时，即k1且k0时，L与C有两个公共点，此时称直线L与C相交;（2） 当=0时，即k=1时，L与C有一个公共点，此时称直线L与C相切；（3） 当0时，即k1时，L与C没有公共点，此时称直线L与C相离。综上所述，当k=1或k=0时，直线L与C有一个公共点；当k1，且k0时，直线直线L与C有两个公共点；当k1时，直线L与C没有公共点。点评：当联立所得关于x的方程为二次方程时，才能用判别式判定其交点个数；当所得关于x的方程二次项系数带有字母时，应该进行讨论。2.直线与圆锥曲线相交形成的弦长问题 直线L的方程为: 圆锥曲线的方程为： L与有两个不同的交点），），则（），）是方程组的两组解，

5、方程组消元（消x或消y）后化成关于x（或y）的一元二次方程 （0） 由根与系数的关系（韦达定理）有，所以弦长 或注：当斜率k不存在时，可求出交出坐标，直接运算（利用轴上两点间的距离公式） 经过圆锥曲线的焦点的弦（也称焦点弦）的长度，应用圆锥曲线的定义，转化成两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷。 如：已知过抛物线0）的焦点的直线交抛物线于A,B两点，设A(） B(),则有 或利用性质：AB= （为直线AB的倾斜角）。例2.已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.解析：a=3,b=1,c=2，则F（-2，0）。由题意知：与联立消去y得：。设A（、B（，则是上面方程

6、的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。例3已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解析：设与抛物线交于由距离公式|AB|=由从而由于p0，解得点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。3.有关弦的中点问题 求以某一定点为中点的圆锥曲线的弦的方程问题，有以下几种方法：（1） 将弦的两个端点代入圆锥曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后可以利用点斜式写出弦的方程，这种方法叫做“点差法”;（2） 设弦的方程为点斜式，弦的方程与圆锥曲线方程联立，消去

7、（或消去）后得到关于（或）的一元二次方程，用根于系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率，然后写出弦的方程;(3)设弦的两个端点分别为（），），则由这两点坐标分别满足曲线方程，又（），为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从 而求出弦的方程。 例4.(1,1)为椭圆内一定点，经过引一弦，使此弦在（1，1）点被平分，求此弦所在的直线方程。 分析：可利用点斜式求出直线方程，关键是确定出直线的斜率。 解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为，弦的两端点（），）. 由 消去得 （故弦所在的直线方程为即解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为，且设弦的两端点坐标为

8、（），），则，两式相减得.此弦所在的直线方程为.点评：解决弦的中点问题有两种方法：一是利用“待定系数法”结合韦达定理得出待定系数k，二是用“设而不求”法，利用端点的曲线上坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，点差法在解决有关弦中点，弦所在直线的斜率，弦中点与原点连线斜率问题时可以简化运算过程。4.曲线上存在点关于直线对称的问题.例5.若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的取值范围。解析：设抛物线上关于对称的两点为，B(），AB的方程可设为：. =1+0. 又，则AB中点横坐标为，由得AB中点横坐标为，则，代入中得.点评：已知圆锥曲线上存在关于某条直线对称的两点，求直线或圆锥曲线方程中

9、某个参数的取值范围时常联立直线与圆锥曲线的方程用根与系数的关系和中点坐标公式解决。直线与圆锥曲线相关练习题：1、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A，B2，2C1，1 D4，42、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F,直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A. B. C. D. 3、已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在中，若两边之和是11,则第三边的长度是（ ）A.5 B.4 C.3 D.104、已知A、B是抛物线上两点，若，且的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程为（ ）A. B. C. D. 5、对任意实数K，直线：与椭圆：恒有公共点，则b取值范围是_ 6.正方形ABC