加法原理、乘法原理

1、加法原理、乘法原理基础知识：1 .加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所 有类 中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2 .乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步3.分类原则：分类要做到“不重不漏”骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后” .无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有 相同多的方法

2、数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例1.从1开始依次写下去一直到999 得到一个多位数1234567891011121314- 997998999，请 问：(1 )这个多位数一共有多少位？(2)第999位数字是多少？(3)在这个多位数中，数字9 一共出现了多少次？(4)数字0一共出现了多少次？问题(1 )这个多位数一共有多少位？答疑编号5721040101【答案】(1 ) 2889 ； ( 2)9； ( 3) 300 ； ( 4) 189【解答】分析1 ： 999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数 的位数.将这999个自然数分成3类：第1

3、类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计 算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了 .详解1 ：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了 9位；2位数有90个，占了 2x90=180位；3位 数有900个，占了 3x900= 2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题(2 )第999位数字是多少?详解2 ： 1位数和2位数一共占了 189位，999位数数字还需要3位数占据999- 189=810位.由 8103=2700可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999 位数字是

4、9.问题(3)在这个多位数中，数字9 一共出现了多少次？分析3 ：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一 类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了 ： 1位数含有1个9，2位数含有19个9，但 是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类199 ；第2类100199 ；第3类200- 299 ； 第10类900999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了 .注意利用每一类的相似 性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900999

5、中9的个数比前 9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在 十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3 ：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的(199可以看成百位数为0) .考虑第1类1-99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89， 99 一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1一99中9在个位和十位各出现了 10次，一共是20次.同理，第2类100 199

6、 ；第3类200299 ；第9类800899 ；每一类中也都包含20个 9.第10类900- 999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有 20x9+ 120=300 个 9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题(4)数字0一共出现了多少次？详解4 :按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为19，个位可以为09，根据乘法原理，共有9x 10=90次；同 理，当0出现在个位时，共有9x10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了 99+ 90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的

7、三位数？答疑编号 5721040102【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5x6x6=180 个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有 个.答疑编号5721040103【答案】162【解答】个位是2的有9x10=90个；十位是2但个位不是2的偶数有9x4= 36个；百位 是2但十位和个位都不是2的偶数有9x4=36个，所以一共有90+36+ 36= 162个符合条件的三位 数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例

8、如1234、 1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有 个.答疑编号5721040104【答案】480个【解答】方法1 ：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5x4x3x2=120个；如果包含 3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以 重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120+ 360= 480个四位数.方法2 ：排除法.所有可能的四位数有5x5x5x 5 = 625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数 字的有5

9、x4x (2x2x2- 1 ) =140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625-5- 140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要 从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？答疑编号5721040105【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1x9x9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有 1x9x7种拿 法，同理另外两种情况分别有1x9x7种和9x9x7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1x 9x9 +1 x9x7 +1

10、 x9x7 + 9x9x7 = 1x9x16 + 10x9x7 = 144+ 630 = 774 种拿法.例1.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.答疑编号5721040201【答案】（1） 120 （个）；（2） 96 （个）；（3） 36 （个）.解答】（1 ）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第一步选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第二1选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第二选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法；工二：2

11、）完成.“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第四步由乘法原理，可组成不同的四位密码共有 n=5x4x3x2=120 （个）第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有 2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有n=4x4x3x2=96 （个）3）完成.“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选

12、取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有 2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有n=2x3x3x2=36 （个）.例2.在120共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？答疑编号5721040202【答案】90 （种）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性，第一类偶偶相加，由乘法原 理得（10x9） /2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有（10x9） /2=45种取法根

13、据加法原理共有45十 45=90种不同取法.例3.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方 案有多少种？答疑编号5721040203【答案】150（种）【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，1和2，2，1两类，第一类：分成3 7，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有 种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有 3x10x2=60 （种）；第二类：分成2，2 7，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出 一个人，共有5种

14、选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5x3x6=90 （种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60+ 90=150 （种）.例4.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同， 且1和2相邻，这样的六位数有多少个？答疑编号5721040204【答案】40（个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个， 共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2x2=4种排法

15、； 第三步：将1、2放至3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2x4x5=40 （种）.例5.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做 限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求 每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？答疑编号5721040205【答案】81 （种）；1944 （种）【解答】问题14枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考 虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑 第3列的棋子放在什么

16、位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以 方法数一共有3x 3x 3x 3=81种.问题2假设4枚互不相同的棋子为a，b，c，d.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子 a，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子b，人那一列的3个格子不能选择，其 它的格子都可以放b，所以一共有9种方法.第3步放棋子c，a、b那两列一共6个格子不能选，所 以一共有6种方法.第4步放棋子d，a、b、c三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共 有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12x 9x 6x 3=1944种方法.另外一种解法.问题2j 4

17、个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第 1问是完全相同的，总共有3x 3x 3x 3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择a，b，c，d中的任何一个棋子，所以有 4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可 供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是 4x3x2x1=24 种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81x24=1944种.例6.如图，把图中的8个部分用红、黄

18、、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一 种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？答疑编号5721040206【答案】768 （种）【解答】按照a，b，d，e，c，g，f，h的步骤进行染色.对a进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对b进行染色的时候由于不能 和a同色，所以有3种染色的方法；对d进行染色的时候由于不能和a，b同色，所以只剩2种染色的 方法；对e进行染色时不能和b，d同色，所以有2种染色的方法；对c进行染色时不能和b，e同色， 所以有2种染色方法；对g进行染色时不能和d，e同色，所以有2种染色的方法；对f进行染色时 不能和d，g同色，所以有2种染色的方法；对h进行染色时不能和e，g同色，所以有2种染色的方 法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4x3x2x2x2x2x2x2=768种着色的方法.评议本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照 a，b，c，d，e，f，g，h的步骤进行 染色是否可以？可能有同学发现按照a，b，c，d，e，f，g，h的步骤进行染色会算出另外一个答案 4x3x3x2x1x3x1x2 =432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后” .无论前面步骤采取哪种染色