全概率公式与贝叶斯公式（经典实用）

1、全概率公式与贝叶斯公式16.6.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式解：B=AB+B且AB与B互不相容。P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.70.95+0.30.8=0.905P ABP A BP B()(|)( )P A P B AP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)0 7 0 950 7 0 950 3 0 8.0 735.例1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70，乙厂占30，甲厂产品的合格率是95，乙厂的合格率是80若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品。求市场上买

2、一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率。全概率公式与贝叶斯公式2定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组并且都具有正概率，则对任何一个事件B,有iiiP BP A P B A( )() (|)证：A1,A2,两两互斥，故A1B,A2B,两两互斥BB且iiBA()iiA B由加法法则iiP BP A B( )()再由乘法法则iiiP A BP A P B A()() (|)iiiP BP A P B A( )() (|)故全概率公式与贝叶斯公式3定理2 (贝叶斯公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B,有mmmiiiP

3、 AP B AP A |BP A P B A() (|)()() (|)mmP A BP ABP B证：()(|)( )mmiiiP AP B AP A P B A() (|)() (|)各原因下条件概率已知 求事件发生概率求是某种原因造成得概率 事件已发生全概率贝叶斯全概率公式与贝叶斯公式4例2 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4。(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶3P A5( ),则2P A5( ) P B

4、 A0 9(|).P B A0 1(|).P B A0 4(|).P B A0 6(|).1 P BP A P B AP A P B A( ) ( )( ) (|)( ) (|)320 90 455.0 7 .P A P B A2 P A BP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)20 65230 60 155.0 8 .全概率公式与贝叶斯公式5例3 有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球，B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球。现任取一箱，再从中任取一球，求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：

5、用A、B、C表示A、B、C三个箱子取球用D表示取出的是白球。则A、B、C是完备事件组。1P AP BP C3( )( )( )且115P D AP D BP D C528(|)(|)(|)全概率公式与贝叶斯公式61 P DP A P D AP B P D BP C P D C( ) ( )( ) (|)( ) (|)( ) (|)111115353238531200 442.P B P D B2 P B DP A P D AP B P D BP C P D C( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)113211111535323820530 378.全概率公式与贝

6、叶斯公式74P A0 410( ).例4 (抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。P BP A P B AP A P B A( )( ) (|)( ) (|)436410910936900 4 .P CP AB P C ABP AB P C ABP AB P C ABP AB P C AB( )() (|)() (|)() (|)() (|)P A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C AB( ) (|) (|)( ) (|

7、) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)432463643643654109810981098109810982887200 4 .全概率公式与贝叶斯公式8例5 设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5，即若用A表示验血阳性，B表示受验者患病，则P A BP A B5(|)(|)%。若受检人群中仅有0.5患此病，即P(B)=0.005。求一个验血阳性的人确患此病的概率。P B P A BP B AP B P A BP B P A B解：( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)0 005 0 950 005 0 950 995 0 05.0 087.若有10000人受检，患病者仅5

8、0人，其中验血阳性约47.5人而9950健康人中，验血阳性者为99500.05497.5人全概率公式与贝叶斯公式97 7 独立试验概型独立试验概型(一一)事件的独立性事件的独立性故若A独立于B，则B也独立于A,称事件A与事件B相互独立。P AP A B( )(|)若P ABP B()( )P ABP BP A()( )( )则P B A(|)关于独立性有如下性质：定义1 若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。定义2 若n (n2)个事件A1,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，称A1,A2,An相互独立。

9、全概率公式与贝叶斯公式10(1)事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)证：必要性若A与B中有一个事件概率为零，结论成立。设A与B的概率都不为零，由独立性P(B|A)=P(B)而由乘法法则可得P(AB)=P(A)P(B|A) =P(A)P(B)充分性设P(B)0,则P ABP A BP B()(|)( )P A P BP B( ) ( )( )=P(A)即A与B独立。全概率公式与贝叶斯公式11(2)若事件A与B独立，则A与B， A与B， A与B中的每一对事件都相互独立。证：P ABP AAB()()P AP AB( )()P A P B( ) ( )类似可证其它两对事件独立。

10、=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)由(1)可知，A与B独立。全概率公式与贝叶斯公式12(3)若事件A1,A2,An相互独立，则有P(A1An)=P(A1)P(An)证：P(A1An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An-1)12n1n1n4A AAP AA1P AP A若事件相互独立，则有( ),.,(.)(). ()而P(A2|A1)=P(A2),P(An|A1An-1)=P(An)故P(A1An)P(A1)P(A2)P(An)n1n1由于A ,.，A 对立， A ,.证, A：也对立1nnP AA1(.)1P(A +.+A )1n1P AA(.) 1n1 P AP

11、 A(). () 全概率公式与贝叶斯公式13例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被击中的概率。解：分别用A,B表示甲、乙击中目标。目标被击中，即至少有一人击中，即A+BA与B独立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.90.8=0.98或由性质(4)=0.98P AB1P A P B()( ) ( ) =1-0.10.2全概率公式与贝叶斯公式14例2 一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求：(1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。(2)多少名士兵同时

12、射击，才能使飞机被击中的概率达到99？解：用Ai表示第i名士兵击中飞机，P(Ai)0.004125012501 P AA1P AP A( ) (.)(). () 2501 0 996. 0 63.2n( )设要 名士兵同时射击1n1nP AA1P AP A(.)(). ()n1 0 996. 0.99即0.996n0.010 01n0 996lg .lg .故1150全概率公式与贝叶斯公式15例3 甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。解：用A、B、C分

13、别表示在这段时间内机床甲、乙、丙不需要照管。则A、B、C相互独立，且P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85P ABC()P ABC()1 P ABC() 1P A P B P C( ) ( ) ( ) 10 9 0 8 0 85. 0 388.P ABBCAC()P ABP BCP AC2P ABC()()()()0 1 0 20 2 0 150 1 0 152 0 1 0 2 0 15. 0 059.全概率公式与贝叶斯公式16例4 图中开关a、b、c开或关的概率都是0.5，且各开关是否关闭相互独立。求灯亮的概率以及若已见灯亮，开关a与b同时关闭的概率。解：令A、B、C分别表示开关

14、a、b、c关闭，D表示灯亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.50.5+0.5-0.50.50.5=0.625ABD,由于ABD=ABP ABDP AB DP D()(|)( )P ABP D()( )0 5 0 50 625.=0.4abc全概率公式与贝叶斯公式17例5 甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人摧毁的概率。解：用Ai表示有i个人击中

15、目标，i=0,1,2,3用B表示目标被摧毁。P(B|A0)=0P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6P(B|A3)=1P(A0)=0.60.50.3=0.09P(A1)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36P(A2)=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7=0.41P(A3)=0.40.50.7 =0.143iii0P BP A P B A( )() (|)0.458全概率公式与贝叶斯公式18(二二)独立试验序列概型独立试验序列概型进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次试验是相互

16、独立的。在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事件A发生的概率都是p(0p1)。这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。全概率公式与贝叶斯公式19例6 一批产品的废品率为p,(0p1)重复抽取n次，求有k次取到废品的概率。解：设所求事件的概率为P(B),事件B由下列m个互不相容的事件组成：B1=(废，废，正，正)B2=(废，废，正，废，正，正)Bm=(正，正，废，废)P(B1)=P(B2)=P(Bm)=pk(1-p)n-kknmC ,而故mkkn ki1ni 1P BP BmP BC

17、P 1 P( )()()()全概率公式与贝叶斯公式20一般地，有如下的定理：解：设B表示至少有两件一级品1010k 2P BPk( )( )1-P10(0)-P10(1)1019101 0 4C0 6 0 4. 0 998.nkkn knn1AppnkP (k)P kC p qk0 1nq1 p 定理贝努里定理 设一次试验中事件 发生的概率为 ，(0 1),则 重贝努里试验中，事件A恰好发生次的概率为其中()( ),(, ,., )例7 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。全概率公式与贝叶斯公式21例8 某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药

18、的病人中至少有6人治愈的概率。解：设A表示至少有6人治愈。1010k 6P APk( )( )P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)664773882991010101010C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 20 8.0 97.而正好有8人治愈的概率为8821010P8C 0 8 0 2( ).=0.302全概率公式与贝叶斯公式22例9 在四次独立试验中，A至少出现一次的概率为0.59，求A至多出现一次的概率。解：设在一次试验中A出现的概率为p则A至少出现一次的概率为4444k 1P k1 P 011 p0 59( )( )(). 故(1-p)4=0.411-p=0.8p=0.2A至多出现一次的概率为：P4(0)+P4(1)41341pC p 1p()()=0.8241340 8C0 2 0 8.全概率公式与贝叶斯公式23例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中