反面出击快速解题—浅谈用反证法

1、反面出击，快速解题浅谈用反证法解题华懈勇 摘要：反证法是一种重要的数学思维方法和数学解题方法。它与一般的证题方法不同，采 用的是逆向思维方式，是一种间接的证明方法。主要分为三个步骤：反设、归谬、结论。适合用反证法证明的题型很多，如：“否定性命题”、“唯一性命题”、“存在性与探索性命题” 等等，恰到好处的利用反证法去解决问题，会达到事半功倍的效果。关键词：反证法命题 步骤 分类我们在解决数学问题时，一般总是先从正而入手，按照常规的思维途径去进行思考， 这就是所谓的正向思维。但当遇到从正面入手较繁较难，或出现一些逻辑上的困境，这时 就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维，从己有的习惯思路的反方向去

2、思考分析问题， 用反证法解决问题。反证法在初中的数学学习中虽不常用，但它特有的论证方式可以为我们解决许多通常 从正面入手非常棘手的问题，更重要的是这种证法，证明过程简捷明快，因而熟练掌握和 运用反证法，对于提高逆向逻辑思维能力和解决实际问题的能力，有着十分重要的意义。 一、什么是反证法反证法又叫归谬法，它是利用矛盾律和排中律，从要证明的结论的否定而出发，以有 关的定义、公理、定理为依据，结合原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断定原 命题结论否定而不能成立，也就断定了原命题成立，这种证题方法就叫反证法。二、反证法的一般步骤1 .反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反而（否定命题）成立：

3、2 .归谬：将“反设”作条件，根据正确的逻辑推理， 推出矛盾（与已知矛盾；与已知 定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否 定假设：3 .结论：肯定原命题的结论是正确的。因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的 谬误.既然结论的反而不成立，从而肯定了结论成立。三、宜用反证法证明的题型什么样的数学命题适合用反证法证明呢？这是个很难确切回答的问题，因为数学问题 是多种多样、千变万化的。当一个命题的结论难以直接证明时，可考虑用反证法。对此，我们只能根据在证题实践中的经验积累，粗略地进行归类探讨c1、结论为“否定性”的命题例l如图一，在aabc中，d、e分别为a

4、c、ab上的两点，bd、ce交于点o.求证：bd、ce不能互相平分.证明：（反设）假设bd、ce能互相平分.（归谬）在aboe与adoc中，v bo=doz1 = z2oe=ocaaboeadoc （sas）az3=z4，becd这与be、cd相交于点a相矛盾.（结论）所以bd、ce不能互相平分.2、结论为“惟一性”的命题例2.求证：一元一次方程只有一个根。分析：此题目文字叙述题，因此须先将文字语言转化为数学语言，再进行证明。已知：一元一次方程ax+b=0 （awo）.求证：方程ax+b=o （a#0）只有一个根.证明：（反设）假设此方程不只有一个根，不妨设有两个根治,4且（归谬） 则：ax：

5、+b=o, ax：+b=o/. a（xi-x：） =0/ aho, xi -xc = 0:.xi = xc这与假设x,wx二矛盾假设方程不只有一个根是错误的.（结论）所以一元一次方程只有一个根.3、结论为“至多”、“至少”或“不大于”等形式陈述的命题 例3.证明：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 .已知：在 rt4abc 中，za=90 .求证：在rtabc中，至少有一个锐角不大于45 .证明：（反设）假设nb45且nc45（归谬）贝ij： nb + nc90即：za+zb4-z01800这与三角形内角和等于180。矛盾.故假设不成立.（结论）所以，在直角三角形中，至少有一个锐角不大于

6、45 .4、结论为“肯定性”的命题例4.证明：等腰三角形的底角必定是锐角。已知：在aabc中，ab=ac,求证：na、nb为锐角。证明：（反设）假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：（1）两个底角都是直角；（2）两个底角都是钝角.（归谬）情形（1）两个底角都是直角即：na=nb=90贝ij： na+nb + nc=9（t +90 +zc180这与三角形内角和定理矛盾.na=nb=90这个假设不成立.情形（2）两个底角都是钝角即：90 zb180 , 90 zc 180这与三角形内角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不成立.故原命题正确。（结论）等腰三角形的底角必定是锐角.分析：本

7、例中“是锐角（小于90 ） ”的反面有“是直角（等于90。”和“是钝角（大于90 ）”两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不成立，最后才能肯定命题的结论一定正确。5、结论为证明几何量之间关系的命题例5.如图二，在梯形abcd中，ab/7cd, e、f分别是ad、bc的中点，连续ef.求证：ef/7ab证明：（反设）假设ef与ab不平行.（归谬）作egab交bc于点g （如图所示）cg dedc则有=冠/ . e为ad的中点/1cg=bg即g是bc的中点 人 图二 b 一条线段只有一个中点， . f不是bc的中点，这与已知条件矛盾因此假设ef与ab不平行是错误的.（结论），efab四、用反证法证题时应注意的事项1 .周密考察原命题结论的否定事项：2 .反设要十分准确，防止否定不当或有所遗漏：3 .推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性。常用反证法求证的命题形式还有许多，例如：某些定理的逆命题：整除性问题；一些 不等量命题的证明：有些基本定理或某一知识体系的初始阶段：存在性与探索性命题；涉 及各种“无限”结论的命题等等。鉴于初中阶段课标对掌握反证法的要求不高，这里主要 总结了五类较为典型的命题形式，对于这几类命题，反证法一般较为有效。牛顿曾经说过：“