信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质

1、第四章第四章 透镜的透镜的位相调制和傅里叶变换性质位相调制和傅里叶变换性质 从单透镜的位相变换作用入手从单透镜的位相变换作用入手,导出透镜导出透镜的傅里叶变换性质和成像性质；的傅里叶变换性质和成像性质； 将透镜成像看成线性不变系统的变换，将透镜成像看成线性不变系统的变换，研究评价透镜成像质量的频域方法。研究评价透镜成像质量的频域方法。分析方法分析方法( (孔径孔径+ +透镜透镜)()(有限大小有限大小, ,有衍射作用有衍射作用, ,位相变位相变换作用换作用) ) + + 光在自由空间的传播光在自由空间的传播( (菲涅耳衍射菲涅耳衍射) )逐面计算逐面计算, ,在不同的几何配置下可以得到在不同的

2、几何配置下可以得到傅里傅里叶变换叶变换或或成像成像 4.1 透镜的位相调制作用透镜的位相调制作用 几何光学中，透镜是折射成像元件，几何光学中，透镜是折射成像元件， 将物点变换为像点，将物点变换为像点，物、像点均可在无穷远。物、像点均可在无穷远。 物理光学中，透镜是实现位相变换的元件，物理光学中，透镜是实现位相变换的元件， 其前后表面其前后表面的光场复振幅分布不同。的光场复振幅分布不同。需要首先解决需要首先解决: 透镜的透镜的位相变换位相变换，透镜的，透镜的F.T.性质性质基本假设基本假设透镜是薄的透镜是薄的, , 忽略折射引起的光线的横向偏移忽略折射引起的光线的横向偏移透镜无吸收透镜无吸收,

3、, 完全透明完全透明, , 均匀均匀, ,折射率为折射率为n, ,不改变光场振幅不改变光场振幅, ,仅改变位相仅改变位相透镜孔径为无限大透镜孔径为无限大 ( (以后再考虑孔径影响以后再考虑孔径影响) )无像差的正薄透镜对点光源的成像过程：无像差的正薄透镜对点光源的成像过程： P1P2qpS S S S SSx-yO1O2z薄透镜近似：薄透镜近似：1.忽略折射引起的光线忽略折射引起的光线的横向偏移的横向偏移2. P1、P2面是同一面是同一xy平平面的前后表面面的前后表面从几何光学的观点看，图示从几何光学的观点看，图示的成像过程是点物成点像的成像过程是点物成点像 从波面变换的观点看从波面变换的观点

4、看透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。 发散球面波在给定平面上的的复振幅分布为：发散球面波在给定平面上的的复振幅分布为：22000( , )exp()exp()() 2akU x yjkzjxxyyzz定义透镜的复定义透镜的复振幅透过率振幅透过率: ),(),( ),(yxUyxUyxtllP2面是会聚球面波分布面是会聚球面波分布:)(2exp)exp(),( 22yxqkjjkqAyxUlP1P2qpS S S S SSx-yO1O2zP1面是发散球面波分布：面是发散球面波分布：)(2exp)exp(),(22yxpkjjkpAyxUlqpyx

5、kjyxUyxUyxtll11)(2exp),(),(),(22略去常数位相因子略去常数位相因子透镜的复振幅透过率透镜的复振幅透过率或相位变换因子为：或相位变换因子为： 此变换与入射波的复振此变换与入射波的复振幅无关幅无关, 它实现变换它实现变换:fyxjkyxUyxUll2exp),(),( 22由透镜成像的高斯公式由透镜成像的高斯公式: fpq111f 为透镜的像方焦距。为透镜的像方焦距。透镜的相位变换因子可简单地表为透镜的相位变换因子可简单地表为)(2exp),(22yxfkjyxtfyxjkyxUl2exp),(22单位振幅的平面波垂直入射，单位振幅的平面波垂直入射，P1面上的复振幅分

6、布面上的复振幅分布Ul(x,y)=1，在平面在平面P2上造成的复振幅分布为上造成的复振幅分布为:这是一个球面波的表达式这是一个球面波的表达式 与几何光学的结果相同与几何光学的结果相同实际透镜有一孔径，透镜孔径函数（光瞳函数）为实际透镜有一孔径，透镜孔径函数（光瞳函数）为其它，透镜孔径内，01),(yxP透镜的相位变换因子为透镜的相位变换因子为)(2exp),(),(22yxfkjyxPyxt 透镜对光波的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定的，透镜对光波的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅与入射光波复振幅Ul(x,y)的具体形式无关。的具体形式无关。 Ul(x,y)可以是

7、平面波的复振幅，也可以是球面波的复振幅，可以是平面波的复振幅，也可以是球面波的复振幅，还可以是某种特定分布的复振幅还可以是某种特定分布的复振幅. 只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对Ul(x,y)进行相进行相位变换。位变换。任何衍射屏任何衍射屏,若其复振幅透过率可写为若其复振幅透过率可写为 的形式的形式,都可都可看成一个焦距为看成一个焦距为 f 的透镜！的透镜！22exp2xyjkf屏的复振幅透过率屏的复振幅透过率: 问问: 1. 是否类似透镜是否类似透镜? 2. 焦焦 距距? 3. 成像的波长特性成像的波长特性?例题（作业例题（作业4.84.8）l

8、rarrtyxtcirc)cos(2121)(),(2解解:22222222211( , )( )cos() circ2211circ222111exp()exp() circ244jarjarrt x yt rarleerlxyja xyja xyl设设a0, 分别考察圆括号中的三项分别考察圆括号中的三项:lyxyxjayxjayxt222222circ)(exp41)(exp4121),(代表负透镜代表负透镜焦距焦距f = -k/2a = -p p/al lakyxjkyxja22exp)(exp2222akyxjkyxja22exp)(exp2222代表正透镜代表正透镜 焦距焦距f =

9、k/2a = p p/al l22exp2121yxjk代表平镜代表平镜, 焦距焦距f =, 无焦度无焦度, 仅衰减振幅仅衰减振幅circ(r0/l)是孔径函数是孔径函数P(x,y),代表直径为代表直径为l的圆孔的圆孔.此屏类似透镜此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换可作位相变换三个透镜的直径为三个透镜的直径为2l, 焦距分别为焦距分别为, -p p/all和和 p p/al l。当单色平当单色平面波垂直入射时面波垂直入射时, , 有三部分出射光束有三部分出射光束(1)直接透过直接透过,循原方向传播循原方向传播(2)会聚到透镜后焦面处会聚到透镜后焦面处

10、, 与透镜距离为与透镜距离为p p/al l(3)从透镜前焦点从透镜前焦点 p p/al l 处发散的球面波处发散的球面波正、负透镜的焦距与波长有关正、负透镜的焦距与波长有关, , 即有很大的色差。即有很大的色差。只有用单色光照明只有用单色光照明, ,才能得到清晰的像。才能得到清晰的像。用全息方法很容易实现上述透过率函数用全息方法很容易实现上述透过率函数, 此屏即为此屏即为同轴全息透同轴全息透镜镜, 是球面波与平面波干涉的结果是球面波与平面波干涉的结果# #4.2 透镜的傅里叶变换特性透镜的傅里叶变换特性目的目的 证明证明: 平面型透明片，在单色光照明下，通过透镜的平面型透明片，在单色光照明下

11、，通过透镜的位相调制作用，在位相调制作用，在照明光源的共轭平面上照明光源的共轭平面上可以得到透明片的可以得到透明片的傅里叶变换。傅里叶变换。光学系统由光学系统由孔径孔径和和透镜透镜组成组成, ,光波由一个平面向另一个平面光波由一个平面向另一个平面传播传播孔径孔径: :真实开孔真实开孔, ,屏屏, ,透明片等透明片等用复振幅透过率用复振幅透过率t(x0,y0)描述描述光学系统的一般描述光学系统的一般描述U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)Ul (x,y)Ul (x,y)透镜透镜: :y0 x0U0 (x0,y0,0-)U0 (x0,y0,0+)t(x0,y0

12、)fyxjkyxUyxUll2exp) , () , ( 22实现位相变换实现位相变换: :其它透镜孔径内 0 1) , (yxP透镜光瞳函数：透镜光瞳函数：传播传播光波由一个平面光波由一个平面(x0,y0)向另一个平面向另一个平面(x,y)传播一段距离传播一段距离(z)y0 x0U (x,y)U0 (x0,y0)yxzz有限距离的传播用菲涅耳衍射处理有限距离的传播用菲涅耳衍射处理.在空域有二种表达形式：在空域有二种表达形式：菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式观察平面观察平面 孔径平面孔径平面 空域空域 U(x, y) U(x0, y0) U(x, y) zyfzxfyxll,0020200,0,)

13、()(2exp)()exp(1)(dydxyyxxzkjyxUjkzzjyxU lF.T.表达表达:)(2exp),( 202000yxzkjyxU上述基本单元和过程组成光学系统上述基本单元和过程组成光学系统确定坐标系确定坐标系. 一个特定平面用一组固定的一个特定平面用一组固定的xy坐标描述坐标描述, 不要混淆不要混淆正确描述入射光波复振幅正确描述入射光波复振幅U (x, y)(平面波平面波:垂直入射或斜入射垂直入射或斜入射; 球面波球面波:会聚或发散会聚或发散)光波由左向右传播光波由左向右传播,传播距离标绝对值传播距离标绝对值 遇到孔径遇到孔径: 乘上透过率函数乘上透过率函数t(x, y),

14、 遇到透镜遇到透镜: 乘上位相变换因子乘上位相变换因子传播过程传播过程: 看成菲涅耳衍射看成菲涅耳衍射, 采用适当的形式采用适当的形式ylxlU (xi,yi)U0 (x0,y0)yixizy0 x0UlUldid0分析时注意：分析时注意：在一定的几何关系下在一定的几何关系下, ,可以得到傅里叶变换性质和成像性质可以得到傅里叶变换性质和成像性质# #S: 单色点光源发出球面波照明物体单色点光源发出球面波照明物体t (x0,y0)的前表面的前表面S: S的共轭像点。的共轭像点。注意：注意： xy 平面不是平面不是t (x0,y0)的像平面。的像平面。要证明：要证明： t (x0,y0) 的傅里叶

15、变换的傅里叶变换T(fx,fy)出现在出现在xy 平面上。平面上。UlUlx-yp透镜前透镜前|后平面后平面P1 | P2x-yzqpSSt (x0,y0)d0 x0- y00: 输入面输入面输出面输出面1、物在透镜前、物在透镜前t (x0,y0) 的傅里叶变换的傅里叶变换T(fx,fy)出现在出现在x-y 平面上平面上基基本本思思路路直接写出发散球直接写出发散球面波复振幅分布面波复振幅分布菲涅耳衍射菲涅耳衍射菲涅耳衍射菲涅耳衍射fpq111物像共轭物像共轭关系：关系：复振幅复振幅透过率透过率透镜位透镜位相变换相变换UlUlx-yp透镜前透镜前|后平面后平面P1 | P2x-yzqpSSt (

16、x0,y0)d0 x0- y00: 输入面输入面输出面输出面在傍轴近似下，单色点光源发出的球面在傍轴近似下，单色点光源发出的球面波在物的前表面上形成的场分布为：波在物的前表面上形成的场分布为： )(2exp020200dpyxjkA)(2exp),(),(0202000000dpyxjkyxtAyxU透过物体，从输入面透过物体，从输入面上出射的光场为：上出射的光场为： 从输入平面出射的光场传播到透镜平面从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：，为菲涅耳衍射：00020200202000002)()(exp)(2exp),(),(0dydxdyyxxjkdpyxjkyxtdjAyx

17、Ul略去常数相位因子，略去常数相位因子，0 0为物函数所在的范围为物函数所在的范围 P P2 2 平面平面( (紧靠透镜后紧靠透镜后) )光场复振幅光场复振幅: :)2exp(),(),(),(22fyxjkyxPyxUyxU透镜的透镜的光瞳函数光瞳函数 略去常数相位因子略去常数相位因子输出面上，即光源的共轭面上的光场分布为输出面上，即光源的共轭面上的光场分布为: : 22221()()( , )( ,)exp()exp22pxyxxyyU x yUx yjkjkdx dyj qfqlp p为光瞳函数所确定的范围为光瞳函数所确定的范围 利用物像共轭关系利用物像共轭关系1/p + 1/q = 1

18、/f，将位相因子进一步化简，将位相因子进一步化简; ;先不考虑透镜有限孔径的影响，对先不考虑透镜有限孔径的影响，对p p积分可扩展到无穷积分可扩展到无穷；利用概率积分公式利用概率积分公式 完成积分完成积分2axedxap下面的步骤：下面的步骤： 00020200202000002)()(exp)(2exp),(),(0dydxdyyxxjkdpyxjkyxtdjAyxUl)2exp(),(),(),(22fyxjkyxPyxUyxU将将Ul(x,y)的表达式代入的表达式代入, ,对位相因子进行代数运算和整理对位相因子进行代数运算和整理；输入平面位于透镜前，输入平面位于透镜前，在光源共轭面上场在

19、光源共轭面上场分布的一般公式分布的一般公式: : 照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此式中的照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此式中的 q 由照明光源位置由照明光源位置 p 和焦距和焦距 f 决定。决定。 0000000000220)()(exp ),()( 2)(exp),(dydxfddfqyyxxfjkyxtfddfqyxdfjkcyxU结果结果讨论讨论0000000000220)()(exp ),()( 2)(exp),(dydxfddfqyyxxfjkyxtfddfqyxdfjkcyxU输入平面位于透镜前，在光源共轭面上场分布的一般公式输入平面位于透镜前，在光源共

20、轭面上场分布的一般公式: : (1) d0=f, 输入平面位于透镜前焦面输入平面位于透镜前焦面:0000000000002exp),( )exp(),(),(dydxyfyxfxjyxtcdydxfyyxxjkyxtcyxUllpF.T.的核的核二次位相二次位相因子因子只要照明光源和观察平面满足共轭关系只要照明光源和观察平面满足共轭关系，衍射场的复振幅分，衍射场的复振幅分布是物函数的准确的傅里叶变换。观察面上空间频率与位置布是物函数的准确的傅里叶变换。观察面上空间频率与位置坐标的关系始终为坐标的关系始终为 fx=x/l lf, fy=y/l lf.当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时

21、，当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，q=f，这时观察平面位于透镜后焦面。这时观察平面位于透镜后焦面。 d0=f, 输入平面位于透镜前焦面输入平面位于透镜前焦面:fyyffxxfyxfyyffxxfffTcyxtcdydxyfyxfxjyxtcyxUllllllp,00000000),(),( 2exp),(),( 此时，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布，不此时，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。 观察面上的空间坐标与空间频率的关系为观察面上的空间坐标与空间频率的关系为fx=x

22、/l lq, fy=y/l lq ，随随q 的值而不同的值而不同。也就是说，频谱的空间尺度上能按一定的比例也就是说，频谱的空间尺度上能按一定的比例缩放，这对光学信息处理的应用将带来一定的灵活性，并且也缩放，这对光学信息处理的应用将带来一定的灵活性，并且也利于充分利用透镜孔径。利于充分利用透镜孔径。(2) d0=0, 输入面紧贴透镜输入面紧贴透镜:00000022)exp(),()2exp(),(dydxqyyxxjkyxtqyxjkcyxU2、物在透镜后方物在透镜后方, ,平面波照明平面波照明p透镜前透镜前|后平面后平面P1 | P2x-yUlt (x0,y0)d0 x0- y00: 输入面输

23、入面x-yzS输出面输出面f第一步：直接写出第一步：直接写出0前表面的光场分布：前表面的光场分布：)()(2exp1),(20200000yxdfkjdfyxU第二步：写出第二步：写出0后后表面的光场分布：表面的光场分布：),()()(2exp1),( 0020200000yxtyxdfkjdfyxU第三步：由第三步：由x0-y0平面传输到观察平面平面传输到观察平面x-y上造成的场分布为（利上造成的场分布为（利用用 Fresnel衍射的衍射的F.T.表达式，表达式，注意注意 z=f-d0 ）：）：zyfzxfyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUyxlll,)(2exp),( )(2exp

24、)exp(),(20200022),()()(2exp),( 002020000yxtyxdfkjcyxUp透镜前透镜前|后平面后平面P1 | P2x-yUlt (x0,y0)d0 x0- y00: 输入面输入面x-yzS输出面输出面f对于平面波照明，对于平面波照明，得到：得到： )(,)(),(2exp),(0000022dfyfdfxfffTdfyxjkcyxUyxyxll对于球面波照明，对于球面波照明，得到：得到： )(,)()()(2exp),(00220dqydqxTyxdqkjcyxUll仍为物体的仍为物体的F.T., 但但 1.仍有二次位相因子仍有二次位相因子 2. 频谱面取值频

25、谱面取值fx =xf /l l q d0), fy = yf /l l q d0), , 随距离随距离d0 而变。而变。 通过调整通过调整d0, 可改变频谱的尺度可改变频谱的尺度 当当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都是等价的。是等价的。 透镜的作用透镜的作用透镜将照明光波变换成会聚球面波，透镜将照明光波变换成会聚球面波，会聚点是照会聚点是照明点光源的共轭像点明点光源的共轭像点。从而在此会聚点处。从而在此会聚点处(注意注意:不是物本身的像点不是物本身的像点)得到物的得到物的F.T.，但比例尺度改，但比例尺度改变。变。 不管衍射物

26、体位于何种位置，只要观察面是不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅禾费型。观察面上的衍射场都是夫琅禾费型。我们特别关注物在透镜前我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时的特殊情形。此时 用单色平面波照明物体，用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦透镜的后焦

27、面称为频谱面。面称为频谱面。fyyffxxfyxtcdydxyfyxfxjyxtcyxUllllp,00000000),( 2exp),(),(透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 物理解释物理解释 后焦面上光场分布与频谱的对应关系后焦面上光场分布与频谱的对应关系物分布物分布t (x0,y0)是一个复杂结构是一个复杂结构, 含有含有多种空频成分多种空频成分.它调制入射的均匀平它调制入射的均匀平面波面波,使透射光场携带物体的信息使透射光场携带物体的信息.此平面波分量的空频此平面波分量的空频fy = cosb bll = yf /l lf由几何关系易见由几何关系易见: yf = ftan fs

28、in = fcosb b 方向余弦方向余弦(近轴近似近轴近似)后焦面上后焦面上(0, yf)点的复振幅点的复振幅,对应空频为对应空频为 (fx =0, fy = yf /l lf) 的平面波分量的振幅的平面波分量的振幅和位相和位相.透射光场的角谱代表物函数的频谱透射光场的角谱代表物函数的频谱, ,即含有向不同方向衍射的许多平面即含有向不同方向衍射的许多平面波波. . 其中向其中向 角方向衍射的平面波角方向衍射的平面波分量经过透镜后聚焦到分量经过透镜后聚焦到(0, yf)点点. .推广之推广之, 任意任意 (xf, yf)点的复振幅点的复振幅, 对应空频对应空频为为 (fx =xf /l lf,

29、 fy = yf /l lf) 的平面波分量的振的平面波分量的振幅和位相幅和位相. 透镜的后焦面是物体的频谱面透镜的后焦面是物体的频谱面.#透镜后焦面上不同位置的点透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场对应物体衍射光场的不同空间频率分量的不同空间频率分量fx0 xffx1fx2fx2 fx1透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜的后焦面是输入物体的频谱面 透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜的后焦面是输入物体的频谱面频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上. F.T.F.T.变换的尺度问题变换的尺度问题对应于物的同一空频分量对应于物的同一空频分量, 变换的尺度随变换的尺度随波长和焦距波长和焦距而变而变f1l l2l l2l l1l l1f2 f1f2xf = l lf fx, yf = l lf fy透镜光瞳函数为透镜光瞳函数为P(x, y)物在透镜后物在透镜后: : 透镜形成会聚球面波透镜形成会聚球面波, , 在物面上形成投影光瞳函数在物面上形成投影光瞳函数: :