高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨测评新人教A版选修411106256

1、第三讲圆锥曲线性质的探讨测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.圆在平面上的平行射影可能是()a.线段b.圆c.椭圆d.以上都有可能答案:d2.过球面上一点可以作球的()a.一条切线和一个切平面b.两条切线和一个切平面c.无数条切线和一个切平面d.无数条切线和无数个切平面解析:过球面上一点可以作球的无数条切线,并且这些切线在同一个平面内,过球面上一点可以作一个球的切平面.答案:c3.若一直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直,则这条直线与这条斜线的位置关系是()a.垂直b.异面c.相交d.不能确定解析:当这条直线在平面内时,则a成立;当这

2、条直线是平面的垂线时,则b或c成立,故选d.答案:d4.如图,平面截圆柱,截面是一个椭圆.若截面与圆柱底面所成的角为60,则椭圆的离心率为()a.155b.336c.32d.53解析:依题意,得截面与圆柱母线的夹角为30,因此椭圆离心率e=cos 30=32.答案:c5.方程x2-3x+2=0的两根可作为()a.两个椭圆的离心率b.一双曲线、一条抛物线的离心率c.两双曲线的离心率d.一个椭圆、一条抛物线的离心率解析:方程的两根分别为x1=1,x2=2,而椭圆离心率满足0e1,抛物线的离心率e=1,故可以作为一双曲线、一条抛物线的离心率.答案:b6.给出以下结论:圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的

3、射影不可能是圆;平行四边形的平行射影仍然是平行四边形(平行四边形所在平面与投射线不平行);圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.其中正确的是()a.b.c.d.解析:因为平面图形的射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了,所以是错误的;是正确的;因为当平行四边形所在平面与投射线不平行时,平行线的平行射影仍然是平行线,所以平行四边形的平行射影仍然是平行四边形,故也正确.答案:b7.如图,用一平面竖直地去截放在桌面上的圆柱,给出下列结论:截面呈正方形;adbc,abcd;abbc,adab;ad=bc,

4、ab=cd.其中正确的个数为()a.1b.2c.3d.4解析:只能判断截面abcd为矩形,故错误;adbc,abcd,故正确;abbc,adab,故正确;ad=bc,ab=cd,故正确.综上可得正确,故正确的有3个.答案:c8.一个圆锥的底面半径为3,高为4,用一个不经过圆锥顶点且与圆锥轴的夹角为60的平面截该圆锥,所得圆锥曲线的离心率等于()a.58b.85c.56d.65解析:由已知得圆锥母线长为5.若设圆锥母线与轴的夹角为,则cos =45.又平面与圆锥轴的夹角=60,所以所得圆锥曲线的离心率e=coscos=1245=58.答案:a9.已知一个平面与一个等边圆锥(轴截面为正三角形)的轴

5、的夹角为75,则该平面与圆锥面交线是()a.圆b.椭圆c.双曲线d.抛物线解析:由已知得圆锥母线与轴的夹角为30,而平面与轴的夹角为75,即,故该平面与圆锥面交线是椭圆.答案:b10.若双曲线x264-y236=1上一点p到双曲线右焦点的距离是4,则点p到左准线的距离为()a.165b.645c.16d.8解析:由双曲线x264-y236=1,得a=8,b=6,c=a2+b2=64+36=10,准线方程为x=a2c=6410=325.设点p到右准线的距离为d,则由双曲线的第二定义知4d=e=ca=108,d=3210=165.点p到左准线的距离为d+2a2c=165+645=16.答案:c11

6、.已知平面与圆锥轴线夹角为45,圆锥母线与轴线夹角为60,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为()a.2b.22c.42d.22解析:e=coscos=ca,cos45cos60=c1.c=2,2c=22.答案:b12.导学号52574056如图,一个圆柱被一个平面所截,截面椭圆的长轴长为5,短轴长为4,被截后的几何体的最短母线长为2,则这个几何体的体积等于()a.42b.28c.21d.14解析:圆柱的底面直径为椭圆的短轴长4,几何体的最长母线长为2+52-42=5.用一个同样的几何体补在上面,可得底面半径为2,高为 5+2=7的圆柱,其体积的一半为所求几何体的体积,即2271

7、2=14.答案:d二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.两个大小不等的球相交,交线是.答案:圆14.将两个半径均为2 cm的球嵌入底面半径为2 cm的圆柱中,使两球心的距离为6 cm;用一个平面分别与两个球相切,所成的截线为一个椭圆,则该椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为,离心率为.答案:64255315.已知圆面积为5,该圆与平行射影方向垂直,其射影面积为10,则平行射影方向与射影面的夹角是.解析:如图,bc为射影方向,显然ab所在平面为圆所在平面,ac所在平面为射影面,设为射影方向与射影面的夹角,利用sin =510=22,解得=45,即夹角是45.答案:4516.如图,设

8、椭圆两个焦点的距离f1f2=2c,两个端点的距离g1g2=2a,则l1与l2之间的距离为.解析:如图,设椭圆上任意一点p,过p作pq1l1于点q1,过p作pq2l2于点q2.连接pf1,pf2.因为e=pf1pq1=pf2pq2=ca,所以pf1=capq1,pf2=capq2.由椭圆定义,知pf1+pf2=2a,所以capq1+capq2=2a.所以pq1+pq2=2a2c,即l1与l2之间的距离为2a2c.答案:2a2c三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为半径为3的圆,另一截面与圆柱的轴线的交角为60,求椭圆截线的两个焦

9、点之间的距离.解:如图所示,已知斜截面与圆柱的轴线的交角为60,即与圆柱母线的交角为60,故椭圆的长半轴长a=rsin=3sin60=23,又椭圆的短半轴长b=r=3,故椭圆的焦距2c=2a2-b2=23.即椭圆截线的两个焦点之间的距离为23.18.(本小题满分12分)平面内两个定点的距离为8,动点m到两个定点的距离的和为10,求动点m的轨迹方程.解:以两点的连线段所在的直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立直角坐标系.由椭圆的定义知,动点的轨迹是椭圆.设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0).因为2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,则b2=9,故所求椭圆的方程为x225+y29=1

10、.19.(本小题满分12分)求证:在同一直线上的两条线段的平行射影(不是点)的比等于这两条线段的比.解:已知:如图,c是线段ab上任一点,c,a,b分别是c,a,b在平面上沿直线l方向的平行射影.求证:acac=cbcb.证明:由平行射影的定义知,aal,bbl,ccl,aabbcc.由平行线分线段成比例定理,得acac=cbcb.20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为22,焦距为2,右焦点为f,右准线为l,点al,线段af交椭圆于b点,若fa=3fb,求af的长.解:因为2a=22,所以a=2.又因为2c=2,所以c=1.设b在l上的射影为b1,f在l上的射影

11、为h,如图.因为bfbb1=e=ca=22,所以bb1=2bf.又fa=3fb,所以ab=2bf.在rtabb1中,cosabb1=bb1ab=2bf2bf=22,所以cosbfh=22.因为fh=a2c-c=2-1=1,所以在rtafh中,af=fhcosbfh=122=2.故线段af的长等于2.21.(本小题满分12分)如图,圆柱被平面所截.已知ac是圆柱口在平面上最长的投影线段,bd是最短的投影线段,eg=fh,efab,垂足在圆柱的轴上,eg和fh都是投影线,分别与平面交于点g,h.(1)比较ef,gh的大小;(2)若圆柱的底面半径为r,平面与母线的夹角为,求cd.解:(1)eg和fh都是投影线,egfh.又eg=fh,四边形efhg是平行四边形,ef=gh.(2)如图,过点d作dpac于点p.则在rtcdp中,有sindcp=dpcd,又dcp=,dp=2r,cd=2rsin.22.导学号52574057(本小题满分12分)如图,已知圆锥的母线与轴线的夹角为,圆锥嵌入半径为r的dandelin球,平面与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.解:设f为抛物线的焦点,a为顶点,fa的延长线交