中考数学专题复习 第十八讲 解直角三角形(共77张PPT)

1、第十八讲解直角三角形一、特殊角的三角函数值一、特殊角的三角函数值303045456060sinsin_coscos_tantan_1222323222123331 1二、直角三角形中的边角关系二、直角三角形中的边角关系1.1.三边之间的关系三边之间的关系:_.:_.2.2.两锐角之间的关系两锐角之间的关系:_.:_.3.3.边角之间的关系边角之间的关系:sina=cosb=_,sinb=cosa=_,:sina=cosb=_,sinb=cosa=_,tana=_,tanb=_.tana=_,tanb=_.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a+b=90a+b=90acbcabba三、解直角

2、三角形的应用三、解直角三角形的应用1.1.仰角和俯角仰角和俯角: :如图如图1,1,在同一铅垂面内视线和水平线在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角间的夹角, ,视线在水平线视线在水平线_的叫做仰角的叫做仰角, ,在水平线在水平线_的叫做俯角的叫做俯角. .上方上方下方下方2.2.坡度坡度( (坡比坡比) )和坡角和坡角: :如图如图2,2,通常把坡面的铅直高度通常把坡面的铅直高度h h和和_之比叫做坡度之比叫做坡度( (或叫做坡比或叫做坡比),),用字母用字母_表表示示, ,即即i=_;i=_;坡面与坡面与_的夹角叫做坡角的夹角叫做坡角, ,记作记作.所所以以i=_=tan.i=_=tan.水平

3、宽度水平宽度li ihl水平面水平面hl3.3.方位角方位角: :指北或指南的方向线与目标方向所成的小指北或指南的方向线与目标方向所成的小于于9090的角叫做方位角的角叫做方位角. .【自我诊断】【自我诊断】( (打打“”或或“”)”)1.1.三角形任意一个角的对边与邻边的比是这个角的三角形任意一个角的对边与邻边的比是这个角的正切正切. .( )( )2.2.在在rtrtabcabc中中,c=90,c=90, ,若若sina= ,sina= ,则则cosbcosb的值的值是是 . .( )( )35453.3.abcabc中中,a,b,a,b都是锐角都是锐角, ,若若sina= ,cosb=

4、,sina= ,cosb= ,则则c=90c=90. .( )( )4.4.若若sin(a+30sin(a+30)= ,)= ,则则a=15a=15. .( )( )3212325.5.如图如图, ,在下列网格中在下列网格中, ,小正方形的边长均为小正方形的边长均为1,1,点点a,b,a,b,o o都在格点上都在格点上, ,则则aobaob的正弦值是的正弦值是 . .( )( )3 10106.6.对应任意直角三角形的两个锐角对应任意直角三角形的两个锐角a,b,a,b,则有则有sinsin2 2a+a+sinsin2 2b=2.b=2.( )( )7.7.坡的坡度是坡角的一个度数坡的坡度是坡角

5、的一个度数. .( )( )考点一考点一 求三角函数值求三角函数值【示范题【示范题1 1】(2017(2017日照中考日照中考) )在在rtrtabcabc中中, , c=90c=90,ab=13,ac=5,ab=13,ac=5,则则sinasina的值为的值为( () )【思路点拨】【思路点拨】根据勾股定理求出根据勾股定理求出bc,bc,根据正弦的概念根据正弦的概念计算即可计算即可. .512512a.b.c.d.1313125【自主解答】【自主解答】选选b.b.在在rtrtabcabc中中, ,由勾股定理得由勾股定理得,bc= =12,bc= =12,sina=sina=22abacbc1

6、2.ab13【答题关键指导】【答题关键指导】 根据定义求三角函数值的方法根据定义求三角函数值的方法(1)(1)分清直角三角形中的斜边与直角边分清直角三角形中的斜边与直角边. .(2)(2)正确地表示出直角三角形的三边长正确地表示出直角三角形的三边长, ,常设某条直角常设某条直角边长为边长为k(k(有时也可以设为有时也可以设为1),1),在求三角函数值的过程在求三角函数值的过程中约去中约去k.k.(3)(3)正确应用勾股定理求第三条边长正确应用勾股定理求第三条边长. .(4)(4)应用锐角三角函数定义应用锐角三角函数定义, ,求出三角函数值求出三角函数值. .【变式训练】【变式训练】1.(201

7、71.(2017滨州中考滨州中考) )如图如图, ,在在abcabc中中,acbc, ,acbc, abc=30abc=30, ,点点d d是是cbcb延长线上的一点延长线上的一点, ,且且bd=ba,bd=ba,则则tandactandac的值为的值为( () )a.23b.2 3c.33d.3 3【解析】【解析】选选a.a.设设ac=a,ac=a,则则ab=aab=asin30sin30=2a,bc=2a,bc=a atan30tan30= a,bd=ab=2a.tandac= = a,bd=ab=2a.tandac= =2+ .=2+ .3(23)aa32.(20172.(2017怀化中

8、考怀化中考) )如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,点点a a的坐标为的坐标为(3,4),(3,4),那么那么sinsin的值是的值是( () )3344a.b.c.d.5453【解析】【解析】选选c.c.作作abxabx轴于点轴于点b,b,如图如图,点点a a的坐标为的坐标为(3,4),ob=3,ab=4,oa= =5,(3,4),ob=3,ab=4,oa= =5,在在rtrtaobaob中中, ,sin= sin= 2234ab4.oa5考点二考点二 特殊锐角三角函数值的应用特殊锐角三角函数值的应用 【示范题【示范题2 2】(2017(2017烟台中考烟台中考) )在在

9、rtrtabcabc中中,c=,c=9090,ab=2,bc= ,ab=2,bc= ,则则sin =_.sin =_.【思路点拨】【思路点拨】根据根据a a的正弦求出的正弦求出a=60a=60, ,再根据再根据3030的正弦值求解即可的正弦值求解即可. .3a2【自主解答】【自主解答】在在rtrtabcabc中中,c=90,c=90,ab=2,bc= ,ab=2,bc= ,sina= .a=60sina= .a=60.答案答案: : 332a1sin.2212【答题关键指导】【答题关键指导】 熟记特殊角的三角函数值的两种方法熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)(1)按值的变化按值的变化:30

10、:30,45,45,60,60角的正余弦的分母角的正余弦的分母都是都是2,2,正弦的分子分别是正弦的分子分别是 余弦的分子分别余弦的分子分别是是 正切分别是正切分别是1, 2, 3,3, 2,1,3,1, 3.3(2)(2)特殊值法特殊值法: :在直角三角形中在直角三角形中, ,设设3030角所对的直角边为角所对的直角边为1,1,那么那么三边长分别为三边长分别为1, ,2;1, ,2;在直角三角形中在直角三角形中, ,设设4545角所对的直角边为角所对的直角边为1,1,那么那么三边长分别为三边长分别为1,1, ,1,1, ,再根据锐角三角函数的定义推再根据锐角三角函数的定义推导即可导即可. .

11、32【变式训练】【变式训练】1.(20171.(2017天津中考天津中考)cos60)cos60的值等于的值等于( () )【解析】【解析】选选d.d.由特殊角的三角函数值得由特殊角的三角函数值得cos 60cos 60= =21a. 3b.1c.d.221.22.(20172.(2017聊城中考聊城中考) )在在rtrtabcabc中中,cosa= ,cosa= ,那么那么sinasina的值是的值是( () )【解析】【解析】选选b.b.在在rtrtabcabc中中,cosa=,cosa=a=60a=60,sina=sin60,sina=sin60= =122331a.b.c.d.2232

12、1,23.2考点三考点三 解直角三角形解直角三角形 【示范题【示范题3 3】(2017(2017广州中考广州中考) )如图如图,rt,rtabcabc中中, ,c=90c=90,bc=15,tana= ,bc=15,tana= ,则则ab=_.ab=_.158【思路点拨】【思路点拨】根据根据aa的正切求出的正切求出ac,ac,再利用勾股定理再利用勾股定理列式计算即可得解列式计算即可得解. .【自主解答】【自主解答】rtrtabcabc中中,c=90,c=90,tana= ,tana= ,bc=15,bc=15, , ,解得解得ac=8,ac=8,根据勾股定理得根据勾股定理得,ab= =17.,

13、ab= =17.答案答案: c82222acbc815【答题关键指导】【答题关键指导】 解直角三角形的类型及方法解直角三角形的类型及方法(1)(1)已知斜边和一个锐角已知斜边和一个锐角( (如如c,a),c,a),其解法其解法:b=90:b=90-a,a=csina,b=ccosa(-a,a=csina,b=ccosa(或或b= ).b= ).(2)(2)已知一直角边和一个锐角已知一直角边和一个锐角( (如如a,a),a,a),其解法其解法: :b=90b=90-a, -a, 22ca22aac,b(bca ).sin atan a或(3)(3)已知斜边和一直角边已知

14、斜边和一直角边( (如如c,a),c,a),其解法其解法: :由由sina= ,sina= ,求出求出a,b=90a,b=90-a.-a.(4)(4)已知两条直角边已知两条直角边a a和和b,b,其解法其解法:c= :c= 由由tana=tana= 得得a,b=90a,b=90-a.-a.22bca，ac22ab，ab【变式训练】【变式训练】(2017(2017安顺中考安顺中考) )如图如图, ,o o的直径的直径ab=4,bcab=4,bc切切o o于点于点b,ocb,oc平行于弦平行于弦ad,oc=5,ad,oc=5,则则adad的长为的长为( () )6872 3a.b.c.d.5555

15、【解析】【解析】选选b.b.连接连接bd.bd.abab是直径是直径,adb=90,adb=90. .ocad,a=boc,cosa=cosboc.ocad,a=boc,cosa=cosboc.bcbc切切o o于点于点b,obbc,b,obbc,cosboc=cosboc=cosa=cosboc= .cosa=cosboc= .ob2oc5，25又又cosa= ,ab=4,cosa= ,ab=4,ad= .ad= .adab85考点四考点四 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 【考情分析】【考情分析】利用解直角三角形解决实际问题是各地利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点中考的热点,

16、 ,这一类题题型通常以解答题为主这一类题题型通常以解答题为主, ,利用直利用直角三角形求物体的高度角三角形求物体的高度( (宽度宽度),),解决航海问题等解决航海问题等. .命题角度命题角度1:1:利用直角三角形解决和高度利用直角三角形解决和高度( (或宽度或宽度) )有关有关的问题的问题【示范题【示范题4 4】(2017(2017菏泽中考菏泽中考) )如图如图, ,某某小区小区1 1号楼和号楼和1111号楼隔河相望号楼隔河相望, ,李明家住李明家住在在1 1号楼号楼, ,他很想知道他很想知道1111号楼的高度号楼的高度, ,于于是他做了一些测量是他做了一些测量, ,他先在他先在b b点测得点

17、测得c c点的仰角为点的仰角为6060, ,然后到然后到4242米高的楼顶米高的楼顶a a处处, ,测得测得c c点的仰角为点的仰角为3030, ,请你请你帮李明计算帮李明计算1111号楼的高度号楼的高度cd.cd.【思路点拨】【思路点拨】过点过点a a作作aecdaecd于点于点e,e,在在rtrtbcdbcd中中, ,用用三角函数表示出三角函数表示出cd,cd,在在rtrtaceace中中, ,用三角函数表示出用三角函数表示出ce,ce,根据根据ab=cd-ceab=cd-ce列式求出列式求出bd,bd,进而求出进而求出cd.cd.【自主解答】【自主解答】过点过点a a作作aecdaecd

18、于点于点e,e,在在rtrtbcdbcd中中,tancbd=,tancbd=所以所以cd=bdcd=bdtan60tan60= bd,= bd,在在rtrtaceace中中,tancae= ,tancae= ,所以所以ce=bdce=bdtan30tan30= =ab=cd-ce=ab=cd-ce=解得解得bd=bd=cd=bdcd=bdtan60tan60= bd=63m.= bd=63m.答答:11:11号楼的高度号楼的高度cdcd为为63m.63m.cdbd，3cebd3bd3，32 33bdbd42bd4233，21 3，3命题角度命题角度2:2:利用直角三角形解决航海问题利用直角三角

19、形解决航海问题【示范题【示范题5 5】(2017(2017天津中考天津中考) )如图如图, ,一艘海轮位于灯一艘海轮位于灯塔塔p p的北偏东的北偏东6464方向方向, ,距离灯塔距离灯塔120120海里的海里的a a处处, ,它沿它沿正南方向航行一段时间后正南方向航行一段时间后, ,到达位于灯塔到达位于灯塔p p的南偏东的南偏东4545方向上的方向上的b b处处, ,求求bpbp和和baba的长的长( (结果取整数结果取整数).).参考数据参考数据:sin 64:sin 640.90,cos 640.90,cos 640.44,tan 640.44,tan 642.05, 2.05, 取取1.

20、414.1.414.2【思路点拨】【思路点拨】过点过点p p作作pcab,pcab,垂足为点垂足为点c,c,由题意可由题意可知知,a=64,a=64,b=45,b=45,pa=120,pa=120,在在rtrtapcapc中中, ,求得求得pc,acpc,ac的长的长; ;在在rtrtbpcbpc中中, ,求得求得bp,bcbp,bc的长的长, ,即可得即可得baba的的长长. .【自主解答】【自主解答】如图如图, ,过点过点p p作作pcab,pcab,垂足为点垂足为点c.c.由题意可知由题意可知,a=64,a=64,b=45,b=45,pa=120.,pa=120.在在rtrtapcapc

21、中中,sina= ,cosa= ,sina= ,cosa= ,pc=papc=pasina=120sina=120sin 64sin 64, ,ac=paac=pacosa=120cosa=120cos64cos64. .pcpaacpa在在rtrtbpcbpc中中, ,bp=bp=bc= =pc=120bc= =pc=120sin 64sin 64. .ba=bc+ac=120ba=bc+ac=120sin 64sin 64+120+120cos64cos641201200.90+1200.90+1200.44161.0.44161.答答:bp:bp的长约为的长约为153153海里海里,ba

22、,ba的长约为的长约为161161海里海里. .pcpcsin b,tan b,bpbcpc120 sin 64120 0.90153,sin bsin 4522pcpctan btan 45命题角度命题角度3:3:利用直角三角形解决坡度问题利用直角三角形解决坡度问题【示范题【示范题6 6】(2017(2017海南中考海南中考) )为做好防汛工作为做好防汛工作, ,防汛防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固, ,专家提供专家提供的方案是的方案是: :水坝加高水坝加高2 2米米( (即即cd=2cd=2米米),),背水坡背水坡dede的坡度的坡度i=11(i

23、=11(即即dbeb=11),dbeb=11),如图所示如图所示, ,已知已知ae=4ae=4米米, , eac=130eac=130, ,求水坝原来的高度求水坝原来的高度bc.bc.( (参考数据参考数据:sin50:sin500.77,cos500.77,cos500.64, 0.64, tan50tan501.2)1.2)【思路点拨】【思路点拨】设设bc=xbc=x米米, ,用用x x表示出表示出abab的长的长, ,利用坡度利用坡度的定义得到的定义得到bd=be,bd=be,进而列出方程进而列出方程, ,求出求出x x的值即可的值即可. .【自主解答】【自主解答】设设bc=xbc=x米

24、米, ,在在rtrtabcabc中中, ,cab=180cab=180-eac=50-eac=50, ,在在rtrtebdebd中中, ,i=dbeb=11,i=dbeb=11,bcbc5bc5abxtan 501.266，bd=be,bd=be,cd+bc=ae+ab,cd+bc=ae+ab,即即2+x=4+ x,2+x=4+ x,解得解得x=12,x=12,即即bc=12,bc=12,答答: :水坝原来的高度为水坝原来的高度为1212米米. .56命题角度命题角度4:4:利用直角三角形解决实际问题利用直角三角形解决实际问题【示范题【示范题7 7】(2017(2017德州中考德州中考) )如

25、图所示如图所示, ,某公路检测某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器, ,检测点检测点设在距离公路设在距离公路10m10m的的a a处处, ,从从b b处行驶到处行驶到c c处所用时间为处所用时间为0.90.9秒秒. .已知已知b=30b=30,c=45,c=45. .(1)(1)求求b,cb,c之间的距离之间的距离.(.(保留根号保留根号) )(2)(2)如果此地限速为如果此地限速为80km/h,80km/h,那么这辆汽车是否超速那么这辆汽车是否超速? ?请说明理由请说明理由. .( (参考数据参考数据: 1.7, 1.4): 1.7, 1.4

26、)32【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)过点过点a a作作adbcadbc于点于点d,d,利用利用b=30b=30,c=45,c=45,ad=10,ad=10,求出求出bd,dcbd,dc的长的长, ,从而得出从而得出bcbc的长的长. .(2)(2)利用利用 1.7, 1.4,1.7, 1.4,求出求出bcbc的长的长, ,再求出汽车再求出汽车速度速度, ,与限速比较与限速比较, ,判断是否超速判断是否超速. .32【自主解答】【自主解答】(1)(1)如图如图, ,过点过点a a作作adbcadbc于点于点d,d,则则ad=10m.ad=10m. 在在rtrtacdacd中中,c=45,c

27、=45, ,rtrtacdacd是等腰直角三角形是等腰直角三角形.cd=ad=10m.cd=ad=10m.在在rtrtabdabd中中,tanb=,tanb=b=30b=30, .bd=10 m., .bd=10 m.bc=bd+dc=(10 +10)m.bc=bd+dc=(10 +10)m.答答:b,c:b,c之间的距离是之间的距离是(10 +10)m.(10 +10)m.333adbd，3103bd(2)(2)这辆汽车超速这辆汽车超速. .理由如下理由如下: :由由(1)(1)知知bc=(10 +10)m,bc=(10 +10)m,又又 1.7,1.7,bc27m.bc27m.汽车速度汽车

28、速度v= =30(m/s).v= =30(m/s).又又30m/s=108km/h,30m/s=108km/h,此地限速为此地限速为80km/h,80km/h,10880,10880,这辆汽车超速这辆汽车超速. .答答: :这辆汽车超速这辆汽车超速. .33270.9【答题关键指导】【答题关键指导】 解决解直角三角形的实际问题解决解直角三角形的实际问题, ,有图的要先将题干中有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来的已知量在图中表示出来, ,再根据以下方法和步骤解再根据以下方法和步骤解决决(1)(1)根据题目中的已知条件根据题目中的已知条件, ,将实际问题抽象为解直角将实际问题抽象为解直角三角

29、形的数学问题三角形的数学问题, ,画出平面几何图形画出平面几何图形, ,弄清已知条件弄清已知条件中各量之间的关系中各量之间的关系. .(2)(2)若三角形是直角三角形若三角形是直角三角形, ,根据边角关系进行计算根据边角关系进行计算, ,若三角形不是直角三角形若三角形不是直角三角形, ,可通过添加辅助线构造直可通过添加辅助线构造直角三角形来解决角三角形来解决. .解直角三角形的实际应用问题关键解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型是要根据实际情况建立数学模型, ,正确画出图形找准正确画出图形找准三角形三角形. .【变式训练】【变式训练】1.(20171.(2017烟台中考烟

30、台中考) )如图如图, ,数学实践活动小组要测量数学实践活动小组要测量学校附近楼房学校附近楼房cdcd的高度的高度, ,在水平地面在水平地面a a处安置测倾器测处安置测倾器测得楼房得楼房cdcd顶部点顶部点d d的仰角为的仰角为4545, ,向前走向前走2020米到达米到达aa处处, ,测得点测得点d d的仰角为的仰角为67.567.5. .已知测倾器已知测倾器abab的高度为的高度为1.61.6米米, ,则楼房则楼房cdcd的高度约为的高度约为( (结果精确到结果精确到0.10.1米米, , tan67.5tan67.52.414)2.414)( () )a.34.14a.34.14米米 b

31、.34.1 b.34.1米米 c.35.7 c.35.7米米 d.35.74d.35.74米米【解析】【解析】选选c.c.连接连接bbbb并延长交并延长交dcdc于点于点c,c,则则bc=bc= bc= bb=bc-bc, bc= bb=bc-bc, =20. =20.解得解得dc34.14.dc34.14.dc34.14+1.635.7.dc34.14+1.635.7.dctan 45，dc.tan 67.5dcdctan 45tan 67.52.(20172.(2017重庆中考重庆中考a a卷卷) )如图如图, ,小王在长江边某瞭望台小王在长江边某瞭望台d d处处, ,测得江面上的渔船测得

32、江面上的渔船a a的俯角为的俯角为4040, ,若若de=3de=3米米, , ce=2ce=2米米,ce,ce平行于江面平行于江面ab,ab,迎水坡迎水坡bcbc的坡度的坡度i=10.75,i=10.75,坡长坡长bc=10bc=10米米, ,则此时则此时abab的长约为的长约为( () )( (参考数据参考数据:sin40:sin400.64,cos400.64,cos400.77, 0.77, tan40tan400.84)0.84)a.5.1a.5.1米米 b.6.3b.6.3米米 c.7.1c.7.1米米 d.9.2d.9.2米米【解析】【解析】选选a.a.如图如图, ,延长延长de

33、de交交abab延长线于点延长线于点p,p,作作cqapcqap于点于点q,q,ceap,dpap,ceap,dpap,四边形四边形cepqcepq为矩形为矩形,ce=pq=2,cq=pe,ce=pq=2,cq=pe,i= i= 设设cq=4x,bq=3x,cq=4x,bq=3x,由由bqbq2 2+cq+cq2 2=bc=bc2 2可得可得(4x)(4x)2 2+(3x)+(3x)2 2=10=102 2, ,解得解得:x=2:x=2或或x=-2(x=-2(舍舍),),则则cq=pe=8,bq=6,cq=pe=8,bq=6,cq14bq0.753，dp=de+pe=11,dp=de+pe=1

34、1,在在rtrtadpadp中中,ap= 13.1,ap= 13.1,ab=ap-bq-pq13.1-6-2=5.1.ab=ap-bq-pq13.1-6-2=5.1.dp11tan atan 403.(20173.(2017德阳中考德阳中考) )如图所示如图所示, ,某拦水大坝的横断面某拦水大坝的横断面为梯形为梯形abcd,ae,dfabcd,ae,df为梯形的高为梯形的高, ,其中迎水坡其中迎水坡abab的坡角的坡角=45=45, ,坡长坡长ab=6 ab=6 米米, ,背水坡背水坡cdcd的坡度的坡度i=1 (ii=1 (i为为dfdf与与fcfc的比值的比值),),则背水坡的坡长为则背水

35、坡的坡长为_米米. .23【解析】【解析】在等腰直角在等腰直角abeabe中中,ab=6 ,ae=df=6,ab=6 ,ae=df=6,由坡由坡度知度知dcf=30dcf=30, ,则则cd=2df=12.cd=2df=12.答案答案: :121224.(20174.(2017青岛中考青岛中考) )如图如图,c,c地在地在a a地的正东方向地的正东方向, ,因有因有大山阻隔大山阻隔, ,由由a a地到地到c c地需绕行地需绕行b b地地. .已知已知b b地位于地位于a a地北地北偏东偏东6767方向方向, ,距离距离a a地地520km,c520km,c地位于地位于b b地南偏东地南偏东30

36、30方向方向. .若打通穿山隧道若打通穿山隧道, ,建成两地直达高铁建成两地直达高铁, ,求求a a地到地到c c地之间高铁线路的长地之间高铁线路的长.(.(结果保留整数结果保留整数) )( (参考数据参考数据:sin 67:sin 67 ,cos 67 ,cos 67 ,tan 67 ,tan 67 , 1.73) , 1.73)12135131253【解析】【解析】如图如图, ,作作bdacbdac于点于点d,d,在在rtrtabdabd中中,abd=67,abd=67, ,sin 67sin 67= =ad ab=480(km),ad ab=480(km),cos 67cos 67= ,bd ab=200(km),= ,bd ab=200(km),在在rtrtbcdbcd中中,cbd=30,cbd=30, ,ad12ab13，1213bd5ab13513tan 30tan 30= ,cd= bd115(km),= ,cd= bd115(km),ac=cd+da595(km),ac=cd+da595(km),答答:ac:ac之间的距离约为之间的距离约为595km.595km.cd3bd3335.(20175.(2017临沂中考临沂中考) )如图如图, ,两座建筑物的水平距离两座建筑物的水平距离bc=