高考反函数问题常见类型解析

1、高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。一. 条件存在型例1.函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）a. b. c. d. 解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。而已知函数在区间1，2上存在反函数，所以或者，即或。故选（c）点评：函数在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数在定义域内的单调函数，那么函数f（x）必存在反函数；如果函数f（x）不是定义域内的单调函数，但

2、在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f（x）在这个子区间上必存在反函数。二. 式子求解型例2.函数的反函数是（ ）a. b. c. d. 解析：由可得，故，从解得因，所以即其反函数是故选（b）。点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。三.求定义域值域型例3.若为函数的反函数，则f1（x）的值域为_。解析：通法是先求出f（x）的反函数，可求得f1（x）的值域为，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f1（x）的值域为。点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。四.性质

3、判断型例4. 函数的反函数是（ ）a. 奇函数，在（）上是减函数；b. 偶函数，在（）上是减函数c. 奇函数，在（）上是增函数；d. 偶函数，在（）上是增函数解析：因为在（）上是增函数，在（）上是减函数，所以在（）上是增函数易知为奇函数利用函数与f1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（c）。五. 反函数求值型例5. 设，已知 y=g(x)的图象与的图象关于直线y=x 对称，则 g(3)= 。解析 ：我们知道， 反函数有一个非常重要的性质，即若点（a，b）在原函数上，则（b，a）一定在反函数上，反之也成立。于是可设（4，a）为 y=g(x) 图象上的任一点，则（a

4、，4）为图象上的一点，（a+1，4）为图象上的一点，从而（4，a+1）为 y=f(x) 图象上的一点,代入y=f(x)的解析式，有。点评：在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若，则。得来全不费工夫，反函数的一个简单而又重要的性质发挥了威力，这是逆向思维在解题中的重要体现。六.方程关联型例6.已知函数，则方程f1（x）=4的解x=_。解析：当函数f（x）存在反函数时，若，则。所以只需求出的值即为f1（x）=4中的x的值。易知，所以即为所求的值。点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数f1（x）的解析式，再解方程f1（x）=4，也可得。七.不等式关联

5、型例7.设f1（x）是函数的反函数，则f1（x）1成立时x的取值范围是（ ）a. b. c. d. 解析：由，知函数f（x）在r上为增函数，所以f1（x）在r上也为增函数。故由f1（x）1，有而，可得，故选（a）。点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。八.图象挖掘型例8.已知函数的反函数是，则的图象是（ ）解析：由题意知，则所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。故选（c）。点评：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x对称，这种函数称为自反函数。九.问题综合型例9.设，f（x）是奇函数，且。（1）试求f（x）的反函数f1（x）的解析式及f1（x）的定义域；（2）设，若时，恒成立，求实数k的取值范围。解析：（1）因为f（x）是奇函数，且，所以，得所以，可求得，令，反解出，从而（2）因为，所以，由得所以，即对恒成立。令其在上为单调递减函数，